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第1讲 函数的图象与性质
2025
领航高考风向标
通览主干知识
一、函数的概念与性质
1.求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则f[g(x)]的定义域是由m≤g(x)≤n,解得x的取值范围;
(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n,得到g(x)的值域即为f(x)的定义域;
(3)对于分段函数的定义域为每段x的取值范围的并集,值域为每段y的取值范围的并集.
2.求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.
3.函数的单调性
函数单调性的判断方法 (1)定义法.
(2)图象法.
(3)性质法,即f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上):简记为↗+↗=↗;↘+↘=↘;↗-↘=↗;↘-↗=↘.
(4)导数法
复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同,则y=f[g(x)]为增函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称“同增异减”
4.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x) =f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
奇偶性 偶函数 奇函数
性质 图象关于y轴对称 图象关于原点对称
如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|) 如果函数f(x)是奇函数,且0在定义域内,那么f(0)=0
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性
奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)奇函数=偶函数;偶函数×(÷)偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)偶函数=奇函数;(两个函数定义域的交集非空,除法时作分母的函数不等于0) 5.函数的周期性与对称性
二、基本初等函数、函数的应用
1.基本初等函数
名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 a>1 增函数 在(0,+∞)内为增函数 α>0 幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)内单调递增
名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 0
过定点 过定点(0,1) 过定点(1,0) 过定点(1,1) 对称性 指数函数y=ax与 的图象关于y轴对称 函数y=logax与 y= 的图象关于x轴对称 函数f(x)=kxα为幂函数,则k=1 指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线y=x对称 2.函数的应用
函数的零点与方程解的关系 方程F(x)=f(x)-g(x)的零点 f(x)=g(x)的根 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象交点的横坐标
确定函数零点的方法 (1)直接解方程法;(2)利用零点存在性定理;(3)数形结合,利用两个函数图象的交点求解
三、利用导数研究函数的单调性、极值、最值
导数的几何意义 (1)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同;
(3)切点既在曲线上,又在切线上
利用导数研究函数的单调性 导数法求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f'(x)(通分、合并、因式分解);
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间
利用导数研究函数的极值 (1)导函数f'(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点;
(2)函数的极大值不一定大于函数的极小值
利用导数研究函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.f(x)在[a,b]上的最值在极值点或端点处取得.
常用不等式 ex≥x+1,ln x≤x-1,x≥sin x(x≥0)
链高考1.(2021全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是( )
A.y=x2+2x+4
C.y=2x+22-x
C
链高考2.(2024新高考Ⅰ,6)已知函数 在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
解析 当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足 解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0].
B
链高考3.(2024天津,4)下列函数是偶函数的是( )
B
微点拨 若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期为
2|a-b|;若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)的周期为4|a-b|;若函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0),则函数f(x)的周期为
2|a-b|.
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
A
链高考5.(2024北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是( )
A
链高考6.(2024新高考Ⅱ,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=( )
D
(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x.又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故选D.
链高考7.(2024全国甲,理6)设函数 ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A
链高考8.(多选题)(2024新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( )
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
AD
解析 由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确;
当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误;
任何三次函数不存在对称轴,C错误;
f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.故选AD.
考点一 函数的概念及表示
A.(2,3)
B.(2,3]
C.(2,3)∪(3,6]
D.(2,3)∪(3,4]
A
A.8 B.12 C.16 D.24
D
解析 由1所以f(2+log23)=f(3+log23)= =24.故选D.
(3)(2023上海)已知函数 则函数f(x)的值域为 .
[1,+∞)
解析 当x≤0时,f(x)=1,当x>0时,f(x)=2x>1,所以函数f(x)的值域为[1,+∞).
[对点训练1](1)若函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则y=f(x)-f(-x)的定义域
为( )
A.[-2,2] B.[-2,4]
C.[-4,4] D.[-8,8]
C
解析 因为函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则-2≤x≤4,可得-4≤2x≤8,所以函数y=f(x)的定义域为[-4,8],对于函数y=f(x)-f(-x),则有 解得-4≤x≤4,因此,函数y=f(x)-f(-x)的定义域为[-4,4].故选C.
(2)(2024山东名校联考模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)= ,则函数y=[f(x)]的值域为( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.N D.N*
C
解析 因为f(x)= ,所以x≥0,故 ≥0,即f(x)≥0,而由题意可知,当x≥0时,函数y=[f(x)]的值域为N,故选C.
(3)存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有( )
A.f(|x|)=x3 B.f(sin x)=x2
C.f(x2+2x)=|x| D.f(|x|)=x2+1
D
解析 对于A,当x=1时,f(|1|)=f(1)=1;当x=-1时,f(|-1|)=f(1)=-1,不符合函数定义,A错误;
对于B,令x=0,则f(sin 0)=f(0)=0,令x=π,则f(sin π)=f(0)=π2,不符合函数定义,B错误;
对于C,令x=0,则f(0)=0,令x=-2,则f((-2)2+2×(-2))=f(0)=2,不符合函数定义,C错误;
对于D,f(|x|)=x2+1=|x|2+1,x∈R,因为|x|≥0,则存在x≥0时,f(x)=x2+1,符合函数定义,D正确.
考点二 函数的图象
例2(1)(2023天津,4)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
D
(2)(多选题)(2024江西吉安模拟)已知函数 若x1A.x1+x2=-4 B.x3x4=1
C.1AB
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0对于A,函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称,则x1+x2=-4,故A正确;
对于B,由图象可知|log2x3|=|log2x4|,且0当x≤0时,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4≤4,由图象可知log2x4∈(0,4),则1由图象可知-4[对点训练2](1)(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cos x在区间 的图象大致为( )
A
解析 设f(x)=(3x-3-x)cos x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.
又f(1)=(3-3-1)cos 1>0,排除C选项.故选A.
(2)(多选题)已知函数 若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,则实数m的取值范围是 .
[1,3)∪{0}
解析 因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m的图象有两个交点,作出函数图象,如图所示,
所以当m∈[1,3)∪{0}时,函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.
考点三 函数的性质(多考向探究预测)
考向1单调性与奇偶性
例3(1)(2020山东,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
D
A.aC.aC
考向2奇偶性、周期性与对称性
例4(1)(多选题)(2024海南一模)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(2x-1) =f(3-2x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的周期为4
B.函数f(x)在[2 024,2 025]上单调递增
D.方程f(x)=log5|x|有4个根
ABC
解析 因为f(2x-1)=f(3-2x),所以f(x-1)=f(3-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,故A正确;
当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,
因为函数f(x)的周期为4,所以函数f(x)在[2 024,2 025]上的单调性与在[0,1]上的单调性相同,故B正确;
又因为f(0)=0,f(1)=1,当x=0时,则f(2)=-f(0)=0,
当x=1时,则f(3)=-f(1)=-1,
又f(4)=f(0)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
又当x∈[0,1]时,f(x)=x,结合对称性与周期性作出函数f(x)的图象,如图,
作出y=log5|x|的图象,由图知两函数共有5个交点,可得方程f(x)=log5|x|有5个根,则D错误.故选ABC.
(2)(多选题)(2024河南郑州二模)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,有f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,f(1)=1,f(2x+1)为偶函数,则( )
A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数
C.f(2+x)=-f(2-x)
ACD
解析 令x=y=0,得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0,即f(0)=0,A正确;
令x=0,得f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2,又f(0)=0,所以f(y)[f(-y)+f(y)]=0对任意y∈R恒成立.
因为f(1)=1,所以f(y)不恒为0,
所以f(-y)+f(y)=0,即f(-y)=-f(y),B错误;
将f(x)的图象向左平移1个单位长度后,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,可得f(2x+1)的图象,因为f(2x+1)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)=f(2-x),又f(x)为奇函数,所以f(2-x)=-f(x-2)=-f[2-(x-2)]=-f(4-x)=f(x-4),
所以f(x)=f(x-4),所以f(-x)=f(-x-4),即-f(x)=-f(x+4),即f(x)=f(x+4),所以4为f(x)的周期.
由f(x)=f(x-4)可得f(x+2)=f(x-2)=-f(2-x),C正确;
因为f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,f(4)=f(0)=0,
所以 f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0,D正确.故选ACD.
[对点训练3](1)(2024河北石家庄模拟)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数
A.f(x)是奇函数且在(0,+∞)内单调递减
B.f(x)是奇函数且在(-∞,0)内单调递增
C.f(x)是偶函数且在(0,+∞)内单调递减
D.f(x)是偶函数且在(-∞,0)内单调递增
A
BD
得f(x)的图象关于点(1,0)对称,即f(1+x)=-f(1-x).
所以f(x+2)=f(1+(1+x))=-f(1-(1+x))=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以函数f(x)是周期函数,且周期为4.
又f(x)在[0,1]上单调递增,所以在[0,1]上,有f(x)≤0.
所以函数的草图如下:
本 课 结 束(共44张PPT)
第2讲 基本初等函数、函数的应用
2025
考点一 基本初等函数的图象与性质
D
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
A
(3)(2024山东淄博一模)设方程ex+x+e=0,ln x+x+e=0的根分别为p,q,函数
a>c>b
解析 由ex+x+e=0,得ex=-x-e,由ln x+x+e=0,得ln x=-x-e,
依题意,直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象交点的横坐标分别为p,q,而函数y=ex,y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x-e垂直于直线y=x,因此直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象的交点关于直线y=x对称,即点(p,q)在直线y=-x-e上,则p+q=-e,f(x)=ex-ex,于是f(0)=1,
[对点训练1](1)(2023新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
D
解析 (方法一 导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.
(方法二 复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数
(2)(2024陕西安康模拟)已知正数a,b满足aea=bln b=2,则( )
A.a<1B.aC.a>1>b
D.a>b>1
A
(3)(多选题)(2024山东临沂一模)已知函数f(x)= +a(a∈R),则( )
A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域为R
C.当a=1时,f(x)为奇函数
D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2
ACD
故选ACD.
考点二 函数的零点(多考向探究预测)
考向1函数零点个数的判断
例2(1)(多选题)(2024四川雅安模拟)已知函数f(x)=2x+ -4,若存在x1A.x1<1
B.x2>1
C.f(x)在(x1,x2)内有零点
BCD
解析 因为f(x)=2x+ -4在[0,+∞)上单调递增,且x1所以f(x1)<0,f(x2)>0,根据零点存在定理可得函数f(x)在(x1,x2)内有零点,故C正确;
又因为f(1)=-1<0,所以x2>1,故B正确;
(2)(2024福建漳州模拟)已知函数 则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.8
B
解析 依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0解的个数,
又f(x)-1=t,则f(x)=t+1,
当t=0时,f(x)=1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有两个解;
当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有两个解;
当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有一个解.综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5.故选B.
考向2求参数的值或范围
例3(1)(2024陕西榆林二模)已知函数f(x)=(x2-4x+m)( -m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
这两个函数的图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,
所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2,个数为2.故选B.
(2)(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为 .
(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析 解含参数、含绝对值的二次函数问题的基本思想:去绝对值符号、分类讨论.
令g(x)=x2-ax+1(如何去绝对值 利用g(x)=0的Δ=a2-4来讨论),方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.
①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,
所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).
若a=0或a=1,
则f(x)仅有一个零点-1;
若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1, .
②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.
若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*),
若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1) (**),
考向3零点的代数式问题
D
又曲线y=(x+1)2的对称轴为直线x=-1,在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=a的图象,因为方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1[对点训练2](1)(2024云南昆明模拟)已知x1是函数f(x)=xln x-2 024的一个零点,x2是函数g(x)=xex-2 024的一个零点,则x1·x2的值为( )
A.1 012 B.2 024 C.4 048 D.8 096
B
(2)(多选题)(2024广东深圳模拟)已知函数 下列关于函数y=f(|f(x)|)-2的零点个数的判断,其中正确的是( )
A.当k>0时,有2个零点
B.当k<0时,至少有2个零点
C.当k>0时,有1个零点
D.当k<0时,可能有4个零点
ABD
解析 设|f(x)|=t,若k>0时,由f(t)=2,可得t=9,即|f(x)|=9,画出y=|f(x)|的大致图象如图所示,则直线y=9与y=|f(x)|的图象有两个交点.
(3)已知g(x)和h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)
=2 023x+log2 023(x+ ),若函数f(x)=2 023-|x-2 023|-λg(x-2 023)-2λ2有唯一零点,则实数λ的值为( )
D
考点三 函数模型及其应用
例5(1)(2024江苏一模)德国天文学家开普勒提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系: ,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的椭圆轨道长半轴长的( )
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
B
(2)(多选题)(2023新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2
ACD
[对点训练3](1)(2024四川宜宾二模)根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型 ,其中y(单位:万辆)为第x年底新能源汽车
的保有量,p为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1 300万辆,那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为( )(结果四舍五入保留整数,参考数据ln 0.887≈-0.12,ln 0.30≈-1.2)
A.65万辆 B.64万辆
C.63万辆 D.62万辆
B
(2)(多选题)(2024重庆模拟预测)放射性物质在衰变中产生的辐射污染逐步引起了人们的关注,已知放射性物质数量随时间t的衰变公式为
N0表示物质的初始数量,τ是一个具有时间量纲的数,研究放射性物质常用到半衰期,半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间,已知ln 2≈0.7,表中给出了铀的三种同位素τ的取值:若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1,T2,T3,则( )
物质 τ的量纲单位 τ的值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A.T=τln 0.5 B.T与τ成正比例关系 C.T1>T2 D.T3>10 000T1
BD
B选项,由A可知,T与τ成正比例关系,B正确;
C选项,由B可知,T与τ成正比例关系,且ln 2>0,由于铀234的τ值小于铀235的τ值,故T1D选项,T3=τln 2=6.475×109ln 2,T1=τln 2=3.558×105ln 2,
本 课 结 束(共46张PPT)
第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
2025
考点一 导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1导数几何意义的应用
C
(2)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
(-∞,-4)∪(0,+∞)
(3)(2022新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 , .
考向2公切线问题
D
(2)(2024福建模拟预测)已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则( )
A
[对点训练1](1)(2024陕西西安二模)已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则a+b+k=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析∵点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上,∴a+2=4,解得a=2.
由题意得,f'(x)=2ax+ =4x+ ,∴在点P(1,4)处的切线斜率k=5,把P(1,4)代入y=kx+b,得b=-1,
∴a+b+k=2-1+5=6,故选D.
D
(2)(2024安徽黄山模拟)已知函数f(x)=ln x- 在点(1,-1)处的切线与曲线y=ax2+(a-1)x-2只有一个公共点,则实数a的取值范围为( )
A.{1,9} B.{0,1,9}
C.{-1,-9} D.{0,-1,-9}
B
所以切线方程是y=2(x-1)-1=2x-3,
①若a=0,则曲线为y=-x-2,显然切线与该曲线只有一个公共点;
②若a≠0,则2x-3=ax2+(a-1)x-2,即ax2+(a-3)x+1=0,
由Δ=(a-3)2-4a=0,即a2-10a+9=0,得a=1或a=9.
考点二 利用导数研究函数的单调性(多考向探究预测)
考向1求函数的单调区间
(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴此时存在x,使得g(x)>g(0)=0,不满足题意.
综上,a≤3.
考向2单调性的应用
例4(1)(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
C
A.bC.aA
[对点训练2](1)(2024浙江杭州模拟)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是( )
D
D
(3)(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是 .
解析 由题意得f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对 x>0恒成立.
考点三 利用导数研究函数的极值
例5(2024广东韶关二模)已知函数f(x)=ax+ +2ln x在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.
(1)求实数a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
当0当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增.
故x=1时,函数f(x)有极小值f(1)=4,无极大值.
故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),函数有极小值f(1)=4,无极大值.
[对点训练3](1)(2024河南郑州一模)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且
f(x)=- f'(3)ln x-f(1)x2-4x,则f(x)的极值点为( )
D
(2)(多选题)(2024重庆模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示,则( )
A.f(x)在(a,b)内有极小值
B.f(x)在(a,b)内有极大值
C.g(x)=f(x)·e-x在x=a时取极小值
D.g(x)=f(x)·e-x在x=b时取极小值
BD
解析 根据f(x)与f'(x)的关系可知,f(x)先递增后递减再递增,f'(x)先递减后递增,由图象可知f(x)在(a,b)内有极大值,无极小值,故A错误,B正确;
当xf(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,a)内单调递增,
当a当x>b时,f'(x)>f(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(b,+∞)内单调递增.综上所述,g(x)在x=a时取极大值,在x=b时取极小值,故C错误,D正确.故选BD.
考点四 利用导数研究函数的最值
例6(1)(2024山东枣庄模拟)已知函数f(x)= +2ax,则下列关于f(x)的结论中正确的是( )
A.若a≤0,则f(x)在[1,+∞)上有最小值
B.若a≥1,则f(x)在[1,+∞)上有最小值
C.若a= ,则f(x)有最大值
D.f(x)关于点(0,1)中心对称
B
(2)(2024北京石景山模拟)已知x=1是函数f(x)=ax3-3x的一个极值点,其中a为实数,则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
C
解析 f'(x)=3ax2-3,因为x=1是y=f(x)的一个极值点,所以f'(1)=3a-3=0,解得a=1,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-2,2].当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,符合题意,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=-1+3=2,又f(2)=23-3×2=2,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,故选C.
[对点训练4](1)(2024河北邢台模拟)函数的凹凸性是函数的重要性质之一.函数凹凸性的定义:函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,x0是(a,b)内任一点.若曲线弧上点(x0,f(x0))处的切线总位于曲线弧的下方,则称曲线弧在(a,b)内是凹的;若曲线弧上点(x0,f(x0))处的切线总位于曲线弧的上方,则称曲线弧在(a,b)内是凸的.函数f(x)在区间上为凹(凸)函数等价于f(x)的导函数在区间上单调递增(递减).若f(x)=mex-x3+1在定义域内是凹函数,则m的最小值是( )
B
A
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