第九章 解三角形（A卷基础夯实）单元测试（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第九章 解三角形（A卷基础夯实）
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在中，已知，，，则AB等于( )
A.1 B. C. D.
2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
3.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角A的大小为( )
A. B. C. D.
4.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑.如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得，，，在点B处测得塔顶T的仰角为，则塔高OT为( )
A. B. C. D.
5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知的面积，则外接圆半径的大小是( )
A. B. C.1 D.2
6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则( )
A.1 B. C. D.2
7.在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若，则的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角或等腰三角形
8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且满足，，则( )
A. B.
C.的面积最大值为 D.的面积最大值为
10.某货轮在A处看灯塔B，灯塔B在北偏东方向，距离为，在A处看灯塔C，灯塔C在北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B，灯塔B在南偏东方向，则( )
A.A处与D处之间的距离是
B.灯塔C与D处之间的距离是
C.灯塔C在D处的南偏西方向
D.D处在灯塔B的北偏西方向
11.如图，的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，，，则下列说法中正确的是( )
A.的内角
B.
C.四边形ABCD面积的最大值为
D.四边形ABCD的面积无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则________.
13.在中，，，的面积为，则___________.
14.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，角A的平分线交边于点D，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
16.（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，.
(1)求的值；
(2)求b的值；
(3)求的值.
17.（15分）在中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，的面积为S，.
(1)求角A.
(2)若的面积为，，D为边的中点，求的长.
18.（17分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求证：是等腰三角形.
(2)若，的周长为，求的面积.
19.（17分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）证明：.
（2）若的平分线与BC交于点D，从下面①②两个条件中任选一个作为已知条件，求BD.
①；②，且.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由正弦定理，，即，解得故选B.
2.答案：D
解析：因为C为三角形的内角，所以，所以的面积，故选D.
3.答案：D
解析：因为，所以由余弦定理得，因为，所以，故选D.
4.答案：A
解析：依题意，，在中，，即，解得.在中，，即.故选A.
5.答案：B
解析：在中，由的面积，可得，，.由正弦定理得，.设，则，，解得.
设外接圆半径为R，则，解得.故选B.
6.答案：A
解析：解法一：因为，所以由余弦定理得，，即，即，所以，又因为，所以，解得，故选A.
解法二：因为，所以由正弦定理得，，因为，所以，即，又因为，所以，由正弦定理，得，所以，因为，所以，故选A.
7.答案：D
解析：，，
由正弦定理，得，
.
，或.
或或（舍去），为直角或等腰三角形.
8.答案：B
解析：因为，所以，所以，即，即，又，所以，所以，所以.因为，所以由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.设的外接圆的半径为R，则，解得，所以的外接圆的面积为.故选B.
9.答案：BC
解析：因为，所以，又，所以，所以.因为，所以，又，所以，所以，当且仅当时取等号，所以.故选BC.
10.答案：AC
解析：如图，由题意可知，，，，，所以.在中，由正弦定理，得，所以，故A正确.在中，由余弦定理，得，则，故B错误.因为，所以，所以灯塔C在D处的南偏西方向，故C正确.显然D错误.故选AC.
11.答案：ABC
解析：，由正弦定理可得，，.又，.
，，，，因此A，B正确.四边形ABCD的面积等于
，
当且仅当，即时，等号成立，因此C正确，D错误.故选ABC.
12.答案：或
解析：在中由正弦定理可知，所以，
解得，因为C为的内角，
所以或，
所以或，故答案为或.
13.答案：
解析：由题意知，的面积为，解得.根据余弦定理可得，，即，则.
14.答案：
解析：由题意，得，又为锐角三角形，有，所以，所以.又，所以.在中，，即，因为，所以，所以.
15.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
由正弦定理可得
，所以，故，.
(2)由题意可知，
即，化简可得，
在中，由余弦定理得，
从而，解得或（舍），
所以.
16.答案：(1)
(2)
(3).
解析：(1)因为.由正弦定理有①.
又因为，所以，代入①式有.
又因为三角形内角，因此，所以，.
(2)因为的面积为，即，所以②.
又由余弦定理，，可得③.
因为.由②③式可知，.
(3)由正弦定理有，有，，
，，
.
17.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得
，
由正弦定理，得，即，
所以.又，所以.
(2)因为的面积为，
所以，所以.
因为，所以，
即，所以.
因为D是边的中点，所以，
所以，
所以，所以的长为.
18.答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：(1)方法一证明：因为，
由余弦定理，得，
所以.整理得.
因为，所以，
又因为，所以，即，
所以是等腰三角形.
方法二证明：因为，
由正弦定理，得，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，所以，
所以是等腰三角形.
(2)由(1)知是等腰三角形，且.
当时，，则.
又，所以，所以，
所以，所以，所以.
所以的面积.
19.答案：（1）证明见解析
（2）选择条件①：；选择条件②：
解析：（1）由及正弦定理可得，
，，则，
，
.
（2）选择条件①.
由及正弦定理可得，
由（1）知，，
，.
由余弦定理可得，
即，解得（负值舍去）.
由角平分线的性质可得，
.
选择条件②.
由及余弦定理可得，
为钝角，则在中，A，C为锐角，
由（1）知，，
，，
.
由正弦定理可得，
又，，.
由角平分线的性质可得，
.