贺兰2024~2025学年第一学期高三年级期末学科测试
数 学
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知向量,,则( )
A.4 B.3 C.2 D.0
3.( )
A. B. C. D.
4.若底面半径为的圆锥内接于半径为2的球O,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图像如图所示,则( )
A.1 B.2 C.5 D.8
6.若函数在上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左,右焦点分别为,是双曲线上一点, ,且成等差数列,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
8.已知数列各项为正数,满足,,若,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的不得分。
9.已知随机变量, ,则( )
A. B.>
C. D.
10.等边边长为2,,,与交于点,则( )
A. B.
C. D.在方向上的投影向量为
11.已知圆,定直线,以原点O为顶点的射线与圆直线分别交于A,B两点,P为上的动点,满足,则点P的轨迹为蔓叶线,且其方程为.下列关于蔓叶线的说法正确的是( )
A.
B.若蔓叶线E与抛物线的一个交点的横坐标为3,则
C.的最小值为
D.若点在蔓叶线E上,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若,则 .
13.已知曲线在点处的切线也是曲线的切线,则= .
14.在2024年巴黎奥运会上,中国乒乓球取得了极其辉煌的成绩,成功包揽了乒乓球项目的冠军.甲、乙两人进行乒乓球比赛,规定每回合比赛胜者得1分,负者得0分,哪一方率先获得11分,就可以赢得比赛. 10平后.先多得2分的一方为胜方,比赛一直进行到一方比另一方多2分方可分出胜负.已知甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且每回合的比赛结果相互独立.已知比赛已经进行到10:10,则两个回合后本局比赛分出胜负的概率为 ,假设比赛不限制回合数,则甲赢得本局比赛的概率为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知在△ABC中,内角的对边分别为,.
(1)求;
(2)若,D为BC的中点,,求的外接圆的面积.
16.(15分)
已知椭圆:()的离心率为,分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点,使得 若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
17.(15分)
已知正四棱锥的所有棱长均为6,G为PC的中点,E、H分别在AD、CD上,.
(1)求证:平面PAD;
(2)若,求直线EG与平面PDN所成角的正弦值.
18.(17分)
已知函数
(1)求函数的极值.
(2)设,曲线在处的切线为.
(i)证明:除切点外,曲线恒在线的上方.
(ii)若,且证明:.
19.(17分)
(日) 1 2 3 4 5
(万人) 45 50 60 65 80
2024年初,冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源,成为2024年第一个“火出圈”的网红城市,冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动,成功提升了吸引力和知名度,为其他旅游城市提供了宝贵经验,从2024年1月1日至5日,哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下:
(1)计算的相关系数(计算结果精确到0.01),并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)为了吸引游客,在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动,具体抽奖规则为:从该旅游团中随机同时抽取两名游客,两名游客性别不同则为中奖.已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客,设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为,当取多少时,最大?
参考公式:,,,
参考数据:.
贺兰2024~2025学年第一学期高三年级期末学科测试
数 学(参考答案)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B C B C A C ABD BD ABD
题号 12 13 14
答案 2i 或
15. 【答案】(1) (2)
【解答】
16. 【答案】(1) (2) 不存在,理由见解答
【解答】
17. 【答案】(1) 见解答 (2) 见解答
【解答】
18. 【答案】(1)极大值为e,无极小值 (2)(i)(ii)见解答
【解答】
19. 【答案】(1),可以认为两者的相关性很强(2)(3)当时,恰有一次中奖的概率最大
【解答】(1)因为,所以
,,
,
所以 ,由此可以认为两者的相关性很强.
(2)由(1)知,.所以=.
因为,所以回归方程为.
(3)记,
,
,即.
,令,
则,得,,,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
当时,取得最大值.由,解得或(舍去),
当时,恰有一次中奖的概率最大.
【关键点睛】:本题第三问,解题的关键是根据题意列出的表达式,并判断单调性求出的范围,利用二项分布求出,借助导数求出最大值.
部分试题详细解答
8.【答案】C
【解题思路】由,得,再结合,可得,进而可得数列是等差数列,即可求出的通项,从而可求出数列的通项,再利用裂项相消法求解即可.
【因为,,所以,因为,所以,,即,所以数列是等差数列,又,,所以,所以数列的公差为,首项为,所以,所以,所以,则,所以.】
10. 【答案】BD
【解题思路】利用平面向量的线性运算可判断A选项的正误;以为坐标原点,、分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系,求出点的坐标,可判断B选项的正误;利用平面向量数量积的坐标运算和投影向量的定义可判断CD选项的正误.
【对于A,由平面向量线性运算可得,,A错误;对于B,以为坐标原点,、分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则设,,所以,因为,所以,解得,所以,B正确;对于C,由B可知,,所以,C错误;对于D,,所以,所以在方向上的投影向量为,D正确】
11. 【答案】ABD
13. 【答案】或
14. 【答案】;