上海市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 上海市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 451.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-18 11:42:06 | ||
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文档简介
2024学年第一学期高一年级数学期末
2025.01
一、填空题：（共48分，每小题3分）
1．的角是第________象限角．
2．已知集合，则的子集个数为________．
3．已知，则________．
4．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________．
5．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号．是________．
6．已知，则________．
7．已知实数、满足，则的最小值为________．
8．已知，则________．
9．如图，若扇形的中心角，扇形半径，则阴影表示的弓形面积为________．
10．若函数在区间内的值域为，则的取值范围为________．
11．不等式的解集为________
12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是________．
二、选择题：（共12分，每小题3分）
13．若实数，，满足，，则（ ）．
A． B． C． D．
14．函数（，且）的图像不经过第四象限，则、满足的条
为（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
15．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么（ ）．
A． B． C．1 D．3
16．已知为定义在上的函数，则“（既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
三、解答题：（共52分）
17．（本题10分）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
18．（本题10分）在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，两点的纵坐标分别为，．
（1）求的值：
（2）求的值．
19．（本题10分）设，其中．
（1）若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值；
（2）若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围．
20．（本题10分）已知一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单租营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比：当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．
（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值．
21．（本题12分）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为＂不动点＂函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点。
（1）判断函数是否是＂不动点＂函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．
（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；
（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.二； 2.； 3.； 4.； 5.②③④； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
12.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为函数为＂半缩函数＂，
所以存在，使得在上的取值范围是，
由复合函数的单调性可知，在上单调递增，
所以，即
所以，所以有两个不等的实数根，且两根都大于0，
所以，解得．故答案为：．
二、选择题
13.D； 14.B； 15.C； 16.B
15.已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么（ ）．
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】
将两点坐标分别代入,得到，故选C
16.已知为定义在上的函数，则“（既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】题目解答为定义在上的函数，
又存在，使得，
所以，所以函数为非奇非偶函数，则必要性成立；
若为非奇非偶函数，对，均有，
充分性不成立．所以＂既不是奇函数也不是偶函数＂是＂存在，
使得＂的必要不充分条件。故选：B．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.已知一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单租营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比：当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．
（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值．
【答案】（1） （2）时，
【解析】（1）由题意知，当时，设营业额
根据时满载，得，解得，
所以营业额的表达式为
根据，
整理得到，，
设，故可以得到，
所以，即时，．
21.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为＂不动点＂函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点。
（1）判断函数是否是＂不动点＂函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．
（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；
（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）当时，解得或，
∴是＂不动点＂函数，不动点是2和-1，
（2）∵是＂不动点＂＂函数，∴，解得．
（3）由题音可知－，在上，且唯一，
①函数在上仅有一个不动点时，
令在上是单调增函数．
②函数在上仅有一个次不动点时，∴在上是单调增函数，
令，即，综上所述：．
2025.01
一、填空题：（共48分，每小题3分）
1．的角是第________象限角．
2．已知集合，则的子集个数为________．
3．已知，则________．
4．若函数在上存在零点，则实数的取值范围是________．
5．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号．是________．
6．已知，则________．
7．已知实数、满足，则的最小值为________．
8．已知，则________．
9．如图，若扇形的中心角，扇形半径，则阴影表示的弓形面积为________．
10．若函数在区间内的值域为，则的取值范围为________．
11．不等式的解集为________
12．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是________．
二、选择题：（共12分，每小题3分）
13．若实数，，满足，，则（ ）．
A． B． C． D．
14．函数（，且）的图像不经过第四象限，则、满足的条
为（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
15．已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么（ ）．
A． B． C．1 D．3
16．已知为定义在上的函数，则“（既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
三、解答题：（共52分）
17．（本题10分）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
18．（本题10分）在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，两点的纵坐标分别为，．
（1）求的值：
（2）求的值．
19．（本题10分）设，其中．
（1）若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值；
（2）若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围．
20．（本题10分）已知一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单租营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比：当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．
（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值．
21．（本题12分）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为＂不动点＂函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点。
（1）判断函数是否是＂不动点＂函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．
（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；
（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.二； 2.； 3.； 4.； 5.②③④； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
12.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为函数为＂半缩函数＂，
所以存在，使得在上的取值范围是，
由复合函数的单调性可知，在上单调递增，
所以，即
所以，所以有两个不等的实数根，且两根都大于0，
所以，解得．故答案为：．
二、选择题
13.D； 14.B； 15.C； 16.B
15.已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么（ ）．
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】
将两点坐标分别代入,得到，故选C
16.已知为定义在上的函数，则“（既不是奇函数也不是偶函数”是“存在，使得”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】题目解答为定义在上的函数，
又存在，使得，
所以，所以函数为非奇非偶函数，则必要性成立；
若为非奇非偶函数，对，均有，
充分性不成立．所以＂既不是奇函数也不是偶函数＂是＂存在，
使得＂的必要不充分条件。故选：B．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.已知一辆城际列车满载时为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营．城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单租营业额（元）与发车时间间隔（分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额与成正比：当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．
（1）求当时，单程营业额关于发车间隔时间的函数表达式；
（2）由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额最大？求出该最大值．
【答案】（1） （2）时，
【解析】（1）由题意知，当时，设营业额
根据时满载，得，解得，
所以营业额的表达式为
根据，
整理得到，，
设，故可以得到，
所以，即时，．
21.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为＂不动点＂函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点。
（1）判断函数是否是＂不动点＂函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由．
（2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值；
（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）当时，解得或，
∴是＂不动点＂函数，不动点是2和-1，
（2）∵是＂不动点＂＂函数，∴，解得．
（3）由题音可知－，在上，且唯一，
①函数在上仅有一个不动点时，
令在上是单调增函数．
②函数在上仅有一个次不动点时，∴在上是单调增函数，
令，即，综上所述：．