5.6.4 三角形的内切圆（学案带答案）

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5.6.4 三角形的内切圆（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 三角形的内切圆
与三角形三条边都相切的圆能且只能作出一个，这个圆叫做三角形的________.三角形内切圆的圆心叫做该三角形的__________，它是三角形三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等.
注意
作三角形两个内角的平分线即可确定出内心.
知识点2 利用尺规作三角形的内切圆
已知△ABC，求做一个圆，使它与△ABC 的各边相切.
做法:(1)作∠B,∠C 的平分线BE 和CF,交点为I.
(2)过点I作ID⊥BC,垂足是点 D.
(3)以点I为圆心，以ID为半径作⊙I.
⊙I 就是所求做的圆.
知识点3 三角形的内切圆与外接圆的比较
三角形的外接圆
图形
圆心O的名称 △ABC的内心 △ABC的外心
△ABC的名称 ⊙O的外切三角形 ⊙O的内接三角形
圆心O的确定 三角形两条角平分线的交点 三角形两边垂直平分线的交点
“心”的性质 到三角形的三条边的距离相等 到三角形的三个顶点的距离相等
“心”的位置 一定在三角形内部 在三角形内(锐角三角形)；在斜边中点处(直角三角形)；在三角形外(钝角三角形)
角度关系 ∠BOC=90°+∠BAC ∠BOC=2∠BAC
拓展
(1)如果三角形的三边长分别为 a，b，c，它的内切圆的半径为r，则三角形的面积
(2)直角三角形内切圆半径 其中a，b是直角边，c是斜边.
明考点·识方法
考点1 与三角形内切圆有关的问题
典例1 如图，点I是 的内心，若 则∠C等于 ( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
思路导析 根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA= 50°,根据内心的概念得到∠CAB+根据三角形内角和定理计算即可.
变式 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于___________.
典例2 已知:△ABC.
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC 内切圆的圆心O；(只保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)如果△ABC的周长为14 cm,内切圆的半径为1.3c m,求△ABC 的面积.
思路导析 (1)作出两个角的角平分线即可，其交点即为点O；
(2)利用割补法,连接OA,OB,OC,作OD⊥AB,这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以 的三边为底，高为内切圆的半径，提取公因式后可将周长代入，进而求出三角形的面积.
变式 如图所示，有一块直角三角形的木板余料，木匠师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大.
(1)请你试着用尺规画出此圆；(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)若此 Rt△ABC 的直角边分别为 30 cm和 40 cm，试求此圆凳面的面积.
考点2 三角形的内切圆与外接圆综合
典例3 如图,点I 是△ABC的内心,AI 的延长线交边 BC 于点 D,交△ABC 的外接圆于点E.
(1)求证:IE=BE;
(2)若IE=4,AE=8,求DE的长;
(3)若IE=6,DE=x,AE=y,求y与x的关系.
思路导析 (1)连接 IB，只需证明 根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及圆周角定理的推论即可证明；
(2)IE的长，即为 BE 的长，则可以把要求的线段和已知的线段构造到两个相似三角形中，进行求解；(3)由 推出由此可得结论.
变式 如图,点O是 外接圆的圆心，点I 是 的内心，连接OB，IA.若 ,则∠OBC的度数为( )
当堂测·夯基础
1.如图，在 中，⊙O 是的内切圆，连接BO并延长与AC 交于点 D，则 的度数为 ( )
2.若一个等边三角形的边长为 则其内切圆与外接圆的半径分别为 ( )
D.1,2
3. 如图, 在△ABC 中,∠C= 90°, AC = 4,BC=3,I 为△ABC 的内心,ID∥AC,IE∥BC,则△IDE的周长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4
第3题图 第4题图
4.如图,△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为 D，E，F，则⊙O的面积为____________(结果保留π).
5.如图, ⊙O 是△ABC的外接圆,点 E 是△ABC 的内心，AE的延长线交BC 于点F，交⊙O于点 D,连接 BD,BE.
(1)求证:DB=DE;
(2)若AE=3,DF=4,求 DB的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1 内切圆 内心
【明考点·识方法】
典例1 D
变式18 解析:如图所示,连接OD,OE,OF,AO,BO,则AC,
设 则 易证
同理得
∴四边形OECF 为正方形，
∴这个三角形周长为 18.
典例2 解：(1)如图1所示，O为所求作的点；
(2)如图 2 所示,连接OA,OB,OC,作AB,
∵内切圆的半径为1.3cm，
的周长为14 cm,
则
故 的面积为
变式 解：(1)如图所示，即为所求作的圆；
(2)过点O作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,垂足分别为点D,E,F.
设⊙O的半径为r cm,则OD=OE=OF= rcm.
解得r=10,
即此圆凳面的面积为
典例 3 解:(1)证明:连接IB.
∵点I是△ABC的内心,∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ABI=∠IBD.
∴ ∠BIE = ∠BAD +∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE,∴BE=IE;
(2)在△BED和△AEB中,∠EBD = ∠CAD = ∠BAD,∠BED =∠AEB.
∴△BED∽△AEB,
∵IE=4,∴BE=4,
又∵AE=8,
(3)∵△BED∽△AEB,
∵IE=BE=6,DE=x,AE=y,
变式 C
【当堂测·夯基础】
1. B 2. D 3. B 4.π
5.解:(1)证明:∵点 E 是△ABC的内心,∴AE 平分∠BAC,BE 平分∠ABC,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE,
又∵∠CAD 与∠CBD 所对弧为 DC,∴∠CAD=∠CBD=∠BAD.
∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∠DBE=∠CBE+∠CBD,∴∠BED=∠DBE,故DB=DE;
(2)∵∠D=∠D,∠DBF=∠CAD=∠BAD,∴△ABD∽△BFD,
∵DF=4,AE=3,设EF=x,由(1)可得 DB=DE=4+x,
解得(不符题意，舍去)，
则 DB=4+x=4+2=6.
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