5.5.1 确定圆的条件（学案带答案）
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5.5.1 确定圆的条件（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 确定圆的条件
1.经过一点可以作出_________个圆；
2.经过两点可以作出_________个圆，其圆心在这两点连线的_________上；
3.经过不在同一条直线上的三点，确定_______个圆；
4.经过在同一直线上的三点，__________(填“能”或“不能”)作出圆.
如图所示，A，B，C 三点不在同一直线上，则过A，B，C三点可以确定______个圆，圆心是线段 AB，线段BC，线段 AC中任意两条线段的________.
知识点2 利用尺规过不在同一直线上的三个点作圆
做法 图示
(1)连接AB,BC.
(2)分别作线段AB,BC的垂直平分线DE和FG,DE与FG相交于点O.
(3)以点O为圆心，以OB为半径作圆.⊙O就是所要求做的圆.
知识点3 三角形的外接圆
1.经过三角形各顶点的圆叫做三角形_____________.
2.外接圆的圆心是三角形三边_________的交点，叫做三角形的__________.
3.这个三角形叫做这个圆的____________.
如图,⊙O是△ABC 的外接圆,圆心O是△ABC 的____________,△ABC 是⊙O的一个__________.
注意
(1)锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心为斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外.
(2)任意三角形有且只有一个外接圆；任意一个圆可以有无数个内接三角形.
(3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
(4)直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的直径即为斜边边长.
明考点·识方法
考点1 确定圆的条件
典例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图所示的玻璃碎片到商店配与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB 和BC
②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点 A,B,C
③以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O
④分别作出AB 和BC 的垂直平分线，并且相交于点O
正确的操作步骤是 ( )
A.②①③④ B.②①④③ C.①②④③ D.①④②③
思路导析 本题考查了确定圆的条件：经过不在同一条直线上的三点，确定一个圆.这块玻璃碎片的圆心是线段AB 和线段BC 垂直平分线的交点，∴正确的操作步骤是②①④③.
变式 如图,点 A,B,C,D均在直线上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 ( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
考点2 三角形的外接圆
典例2 如图，⊙O是等边△ABC 的外接圆,若 AB=3,则⊙O的半径是 ( )
A. C. D.
思路导析 作直径AD，连接CD，利用等边三角形的性质得到 由圆周角定理的推论得到∠ACD=90°,∠D=∠B=60°,然后利用特殊角的三角函数值求解.
变式 如图,△ABC 是⊙O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB=_______.
当堂测·夯基础
1.如图,△ABC 内接于⊙O,若 则∠A等于 ( )
A. 67° B. 62° C. 57° D. 72°
2.如图, 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径,连接 BD, 则 的度数是 ( )
A. 41° B. 45° C. 49°
3.如图，在平面直角坐标系 xOy中,点 A,B,C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆的圆心坐标是__________.
4.如图,⊙O是 的外接圆,连接 OA 交 BC于点 D.
(1)求证: 与 互余；
(2)若 求⊙O的半径.
5.如图1, 内接于⊙O,D 为 BC 上一点,连接 AD,AO,
(1)如图1,求证:
(2)如图2,延长AD交⊙O于点 H,连接CH,若 求⊙O的半径.
6.如图, 是⊙O的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，CD 平分∠ACB,交⊙O 于点 D,连接AD,点 E在弦CD 上,且 连接AE.
(1)求证:
(2)若 求AE的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1 1.无数 2.无数 垂直平分线 3. 1 4. 不能 1 垂直平分线的交点
知识点3 1.外接圆 2.垂直平分线 外心 3.内接三角形 外心 内接三角形
【明考点·识方法】
典例1 B
变式 D
典例 2 C 解析：作直径AD,连接CD,如图所示.
为等边三角形，
∵AD为⊙O的直径,
变式
【当堂测·夯基础】
1. A 2. C 3.(2,1)
4.解:(1)证明:延长 AD 交圆O于点 E,连接CE,
∵AE是直径,
即 与 互余；
(2)∵∠B=∠E,∠ADB=∠CDE,∴△ADB∽△CDE,
由AD=6,BD=10,CD=8,得
∴⊙O的半径为
5.解:(1)证明:延长 AO交⊙O于点 E,连接 CE,如图1,
则∠ACE=90°,∴∠CAE + ∠AEC =90°,
∴∠ABC=∠AEC,
∵∠BAD=∠CAO,即∠BAD=∠CAE,∴∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC;
(2)延长 AO 交⊙O 于点 F,连接 FB,如图2,
∵AF为⊙O的直径,∴∠ABF=90°,
∵∠BAD=∠CAO,∴∠BAD+∠HAF=∠CAO+∠HAF,即∠BAF=∠CAH,
∴BF=CH=6,
∵AB=10,BF=6,∠ABF=90°,
则 即⊙O的半径为
6.解:(1)证明:∵ED=AD,∴∠DEA=∠DAE,∴∠DCA+∠CAE=∠DAB+∠BAE,
∵CD平分∠ACB,∴∠DCA=∠DCB,
由圆周角定理得∠DAB=∠DCB,∴∠DAB=∠DCA,∴∠BAE=∠CAE;
(2)如图,连接BD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵CD平分∠ACB
由圆周角定理得∠ADC=∠ABC=60°,
∵ED=AD,∴△EAD为等边三角形，
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5.5.1 确定圆的条件（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 确定圆的条件
1.经过一点可以作出_________个圆；
2.经过两点可以作出_________个圆，其圆心在这两点连线的_________上；
3.经过不在同一条直线上的三点，确定_______个圆；
4.经过在同一直线上的三点，__________(填“能”或“不能”)作出圆.
如图所示，A，B，C 三点不在同一直线上，则过A，B，C三点可以确定______个圆，圆心是线段 AB，线段BC，线段 AC中任意两条线段的________.
知识点2 利用尺规过不在同一直线上的三个点作圆
做法 图示
(1)连接AB,BC.
(2)分别作线段AB,BC的垂直平分线DE和FG,DE与FG相交于点O.
(3)以点O为圆心，以OB为半径作圆.⊙O就是所要求做的圆.
知识点3 三角形的外接圆
1.经过三角形各顶点的圆叫做三角形_____________.
2.外接圆的圆心是三角形三边_________的交点，叫做三角形的__________.
3.这个三角形叫做这个圆的____________.
如图,⊙O是△ABC 的外接圆,圆心O是△ABC 的____________,△ABC 是⊙O的一个__________.
注意
(1)锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心为斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外.
(2)任意三角形有且只有一个外接圆；任意一个圆可以有无数个内接三角形.
(3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
(4)直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的直径即为斜边边长.
明考点·识方法
考点1 确定圆的条件
典例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图所示的玻璃碎片到商店配与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB 和BC
②在玻璃碎片上任意找不在同一直线上的三点 A,B,C
③以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O
④分别作出AB 和BC 的垂直平分线，并且相交于点O
正确的操作步骤是 ( )
A.②①③④ B.②①④③ C.①②④③ D.①④②③
思路导析 本题考查了确定圆的条件：经过不在同一条直线上的三点，确定一个圆.这块玻璃碎片的圆心是线段AB 和线段BC 垂直平分线的交点，∴正确的操作步骤是②①④③.
变式 如图,点 A,B,C,D均在直线上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 ( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
考点2 三角形的外接圆
典例2 如图，⊙O是等边△ABC 的外接圆,若 AB=3,则⊙O的半径是 ( )
A. C. D.
思路导析 作直径AD，连接CD，利用等边三角形的性质得到 由圆周角定理的推论得到∠ACD=90°,∠D=∠B=60°,然后利用特殊角的三角函数值求解.
变式 如图,△ABC 是⊙O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB=_______.
当堂测·夯基础
1.如图,△ABC 内接于⊙O,若 则∠A等于 ( )
A. 67° B. 62° C. 57° D. 72°
2.如图, 内接于⊙O，CD 是⊙O 的直径,连接 BD, 则 的度数是 ( )
A. 41° B. 45° C. 49°
3.如图，在平面直角坐标系 xOy中,点 A,B,C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆的圆心坐标是__________.
4.如图,⊙O是 的外接圆,连接 OA 交 BC于点 D.
(1)求证: 与 互余；
(2)若 求⊙O的半径.
5.如图1, 内接于⊙O,D 为 BC 上一点,连接 AD,AO,
(1)如图1,求证:
(2)如图2,延长AD交⊙O于点 H,连接CH,若 求⊙O的半径.
6.如图, 是⊙O的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，CD 平分∠ACB,交⊙O 于点 D,连接AD,点 E在弦CD 上,且 连接AE.
(1)求证:
(2)若 求AE的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1 1.无数 2.无数 垂直平分线 3. 1 4. 不能 1 垂直平分线的交点
知识点3 1.外接圆 2.垂直平分线 外心 3.内接三角形 外心 内接三角形
【明考点·识方法】
典例1 B
变式 D
典例 2 C 解析：作直径AD,连接CD,如图所示.
为等边三角形，
∵AD为⊙O的直径,
变式
【当堂测·夯基础】
1. A 2. C 3.(2,1)
4.解:(1)证明:延长 AD 交圆O于点 E,连接CE,
∵AE是直径,
即 与 互余；
(2)∵∠B=∠E,∠ADB=∠CDE,∴△ADB∽△CDE,
由AD=6,BD=10,CD=8,得
∴⊙O的半径为
5.解:(1)证明:延长 AO交⊙O于点 E,连接 CE,如图1,
则∠ACE=90°,∴∠CAE + ∠AEC =90°,
∴∠ABC=∠AEC,
∵∠BAD=∠CAO,即∠BAD=∠CAE,∴∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC;
(2)延长 AO 交⊙O 于点 F,连接 FB,如图2,
∵AF为⊙O的直径,∴∠ABF=90°,
∵∠BAD=∠CAO,∴∠BAD+∠HAF=∠CAO+∠HAF,即∠BAF=∠CAH,
∴BF=CH=6,
∵AB=10,BF=6,∠ABF=90°,
则 即⊙O的半径为
6.解:(1)证明:∵ED=AD,∴∠DEA=∠DAE,∴∠DCA+∠CAE=∠DAB+∠BAE,
∵CD平分∠ACB,∴∠DCA=∠DCB,
由圆周角定理得∠DAB=∠DCB,∴∠DAB=∠DCA,∴∠BAE=∠CAE;
(2)如图,连接BD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵CD平分∠ACB
由圆周角定理得∠ADC=∠ABC=60°,
∵ED=AD,∴△EAD为等边三角形，
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