5.6.2 切线的性质（学案带答案）
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5.6.2 切线的性质（学案带答案）
列清单·划重点
知识点 切线的性质定理
1.圆的切线垂直于___________的半径.
2.数学符号语言：如图，直线 AB 切⊙O 于点P,则AB⊥OP.
注意
遇到切线时，常添加过切点的半径(连接圆心和切点)，利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形.
明考点·识方法
考点 切线性质定理的应用
典例 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C，连接AC, 若 ∠ACD = 50°, 则∠BAC的度数为 ( )
30° B. 40° C. 50° D. 60°
思路导析 连接OC，先根据圆的切线的性质可得∠OCD=90°,从而可得∠OCA=40°,再根据等腰三角形的性质即可求解.
变式1 如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限,⊙P 与x轴,y轴都相切，且经过矩形 AOBC 的顶点C,与 BC 相交于点 D.若⊙P 的半径为5,点 A 的坐标是(0,8).则点 D 的坐标是____________.
变式2 如图,AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点 C作⊙O的切线CD,交 AB 的延长线于点 D,过点 A 作于点E.
(1)若 求 的度数；
(2)若 求CE的长.
当堂测·夯基础
1.如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出 AB=6cm，则这张光盘(包含圆孔)的面积为 ( )
第1题图 第2题图
2.如图,AB 是⊙O的直径,点 D 在AB 的延长线上,DC切⊙O于点 C，若 则AC等于 ( )
A. 6 B. 4 D. 3
3.如图, 在△ABC中,点 O 是 边AB 上一点，以点 O为圆心，以OA 为半径作圆,⊙O 恰好与 BC 相切于点 D,连接AD.若AD 平分 则线段AC的长是 ( )
2 B.
第3题图 第4题图
4.如图, 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.⊙C 的半径为1,点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作⊙C的一条切线 PD，点D 为切点，则线段PD长的最小值为_________.
5.如图,AB 与⊙O相切于点B,CD 是⊙O 的直径, BC交OA 于点 E.
(1)求证:AB=AE;
(2)请用一个等式表示出∠A 与∠C之间的数量关系，并证明；
(3)若⊙O的半径为5, 求线段 AE 的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 过切点
【明考点·识方法】
典例 B 解析：如图，连接OC.
∵直线 CD与⊙O相切,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,
∵∠ACD=50°,∴∠OCA=40°,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA=40°.
变式1 (9,2)
变式2 解:(1)∵AE⊥CD 于点 E,∴∠AEC=90°,
∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°;
(2)∵CD是⊙O的切线,OC是⊙O的半径,∴∠OCD=90°.
在 Rt△OCD中,∵OC=OB=2,BD=1,∴OD=OB+BD=3,
∵∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE, 即
【当堂测·夯基础】
1. D 2. C 3. C
解析：连接DC，PC，如图所示：
∵PD 为⊙C 的一条切线，
∵DC为半径是定值，∴当 PC 最小时,PD取得最小值，
由垂线段最短可知，当 时,PC最小，
解得
5.解:(1)证明:设∠C=α,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠C=α,
∵AB 与⊙O相切于点 B,∴OB⊥AB,∴∠ABE=90°-∠OBC=90°-α,
∵OA⊥CD,∴∠CEO=90°-∠C=90°-α,∴∠AEB=∠CEO=90°-α,
∴∠ABE=∠AEB=90°-α,∴AB=AE;
(2)∠A 与∠C之间的数量关系是:∠A=2∠C,证明:
由(1)可知∠C=α,∠ABE=∠AEB=90°-α,
∴∠A = 180°-(∠ABE+∠AEB)=180°-2(90°-α)=2α,∴∠A=2∠C;
(3)连接 BD,如图所示:
∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,
∵⊙O的半径为5,∴CD=10,
在 Rt△CBD中,CD=
由勾股定理得
∵OA⊥CD,∴∠COE=∠CBD=90°,
又∵∠C=∠C,∴△COE∽△CBD,∴OE:BD=OC: BC,
即
设AE=x,则 由(1)的结论得AB=AE=x,
在 Rt△OAB 中,由勾股定理得
即 解得
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5.6.2 切线的性质（学案带答案）
列清单·划重点
知识点 切线的性质定理
1.圆的切线垂直于___________的半径.
2.数学符号语言：如图，直线 AB 切⊙O 于点P,则AB⊥OP.
注意
遇到切线时，常添加过切点的半径(连接圆心和切点)，利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形.
明考点·识方法
考点 切线性质定理的应用
典例 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C，连接AC, 若 ∠ACD = 50°, 则∠BAC的度数为 ( )
30° B. 40° C. 50° D. 60°
思路导析 连接OC，先根据圆的切线的性质可得∠OCD=90°,从而可得∠OCA=40°,再根据等腰三角形的性质即可求解.
变式1 如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限,⊙P 与x轴,y轴都相切，且经过矩形 AOBC 的顶点C,与 BC 相交于点 D.若⊙P 的半径为5,点 A 的坐标是(0,8).则点 D 的坐标是____________.
变式2 如图,AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点 C作⊙O的切线CD,交 AB 的延长线于点 D,过点 A 作于点E.
(1)若 求 的度数；
(2)若 求CE的长.
当堂测·夯基础
1.如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出 AB=6cm，则这张光盘(包含圆孔)的面积为 ( )
第1题图 第2题图
2.如图,AB 是⊙O的直径,点 D 在AB 的延长线上,DC切⊙O于点 C，若 则AC等于 ( )
A. 6 B. 4 D. 3
3.如图, 在△ABC中,点 O 是 边AB 上一点，以点 O为圆心，以OA 为半径作圆,⊙O 恰好与 BC 相切于点 D,连接AD.若AD 平分 则线段AC的长是 ( )
2 B.
第3题图 第4题图
4.如图, 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.⊙C 的半径为1,点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作⊙C的一条切线 PD，点D 为切点，则线段PD长的最小值为_________.
5.如图,AB 与⊙O相切于点B,CD 是⊙O 的直径, BC交OA 于点 E.
(1)求证:AB=AE;
(2)请用一个等式表示出∠A 与∠C之间的数量关系，并证明；
(3)若⊙O的半径为5, 求线段 AE 的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 过切点
【明考点·识方法】
典例 B 解析：如图，连接OC.
∵直线 CD与⊙O相切,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,
∵∠ACD=50°,∴∠OCA=40°,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA=40°.
变式1 (9,2)
变式2 解:(1)∵AE⊥CD 于点 E,∴∠AEC=90°,
∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°;
(2)∵CD是⊙O的切线,OC是⊙O的半径,∴∠OCD=90°.
在 Rt△OCD中,∵OC=OB=2,BD=1,∴OD=OB+BD=3,
∵∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE, 即
【当堂测·夯基础】
1. D 2. C 3. C
解析：连接DC，PC，如图所示：
∵PD 为⊙C 的一条切线，
∵DC为半径是定值，∴当 PC 最小时,PD取得最小值，
由垂线段最短可知，当 时,PC最小，
解得
5.解:(1)证明:设∠C=α,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠C=α,
∵AB 与⊙O相切于点 B,∴OB⊥AB,∴∠ABE=90°-∠OBC=90°-α,
∵OA⊥CD,∴∠CEO=90°-∠C=90°-α,∴∠AEB=∠CEO=90°-α,
∴∠ABE=∠AEB=90°-α,∴AB=AE;
(2)∠A 与∠C之间的数量关系是:∠A=2∠C,证明:
由(1)可知∠C=α,∠ABE=∠AEB=90°-α,
∴∠A = 180°-(∠ABE+∠AEB)=180°-2(90°-α)=2α,∴∠A=2∠C;
(3)连接 BD,如图所示:
∵CD是⊙O的直径,∴∠CBD=90°,
∵⊙O的半径为5,∴CD=10,
在 Rt△CBD中,CD=
由勾股定理得
∵OA⊥CD,∴∠COE=∠CBD=90°,
又∵∠C=∠C,∴△COE∽△CBD,∴OE:BD=OC: BC,
即
设AE=x,则 由(1)的结论得AB=AE=x,
在 Rt△OAB 中,由勾股定理得
即 解得
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