5.6.3 切线的判定（学案带答案）
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5.6.3 切线的判定（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 切线的判定定理
1.切线的判定定理：过半径外端且_____________于这条半径的直线是圆的切线.
2.数学符号语言：如图，OA 是⊙O的半径，OA⊥于点A,则 是⊙O的切线.
注意
如图所示，一条直线若满足两个条件：(1)经过半径OA 的外端点A；(2)垂直于这条半径OA，则这条直线是⊙O的切线.
知识点2 利用切线的判定定理证明直线与圆相切的方法
1.如果已知直线经过圆上一点，那么连接这点和圆心，证明所作半径与这条直线垂直.
简记为：已知点在圆上，连半径(或作直径)，证垂直.
2.如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长.
简记为：未知点(点的位置不确定)在圆上，作垂线，证半径.
明考点·识方法
考点1 已知直线经过圆上一点，证圆的切线
典例1 如图,AB为⊙O的直径,如果圆上的点 D 恰使∠ADC=∠B,求证：直线CD与⊙O相切.
思路导析 连接OD，由等腰三角形的性质和圆周角定理的推论得出 则再由切线的判定即可得出结论.
变式 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦， 连接AC,OD.
(1)求证:
(2)连接DB,过点 C作 交 DB 的延长线于点 E,延长 DO,交 AC 于点 F.若F 为AC 的中点,求证:直线 CE 为⊙O 的切线.
考点2 未知直线上的点在圆上，证圆的切线
典例2 如图所示，OC平分 点 D 是OC上的任意一点,⊙D 与OA 相切于点 E.求证:OB 与⊙D 相切.
思路导析 由于不知道 OB 与⊙D 的交点，故应过点 D 作OB 的垂线，证垂线段的长等于半径.
变式 如图， 内接于⊙O,AB 是⊙O的直径, 点E在AB延长线上， 过点 E 作 AC,交 AC 的延长线于点 D.求证:DE 是O的切线.
考点3 切线的性质与判定的综合运用
典例3 如图,AB 为⊙O的直径,E为⊙O上一点,点 C为 的中点，过点 C 作 交 AE 的延长线于点 D,延长 DC 交AB 的延长线于点 F.
(1)求证:CD是⊙O的切线；
(2)若 DE=1,DC=2,求⊙O的半径长.
思路导析 (1)连接 OC,证明OC⊥DF 即可;
(2)连接CE，BC，由勾股定理求出CE，由题意知BC=CE,再由△ACD∽△ABC与勾股定理,求出AB的长.即可求出⊙O的半径.
变式1 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AD=CD,过点 D的直线交 BA 的延长线于点 M，交 BC的延长线于点 N,且∠ADM=∠DAC.
(1)求证:MN是⊙O的切线;
(2)求证:
变式2 如图,AB 是⊙O的直径,点 C是⊙O上的一点,点 P 是 BA 延长线上的一点，连接AC，
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若 求证:AC=AP;
(3)若 CD⊥AB 于 D,PA=4,BD=6,求AD 的长.
当堂测·夯基础
1.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 ( )
A.点(0,3) B.点(1,3) C.点(6,0) D.点(6,1)
第1题图 第2题图
2.如图,∠ABC=70°,O为射线BC 上一点，以点O为圆心，OB长为半径做⊙O，要使射线 BA 与⊙O相切，应将射线绕点 B 按顺时针方向旋转 ( )
A.35°或70° B.40°或100° C.40°或90° D.50°或110°
3.如图, 是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的直线EF 与⊙O相切于点 A 的条件是 ( )
D.AC是⊙O的直径
第3题图 第4题图
4.如图,线段 AB 是O的直径,⊙O交线段 BC 于点 D,且D是 BC 中点,DE⊥AC 于点 E,连接AD，则下列结论正确的个数是 ( )
①CE·CA=CD·CB ②∠EDA=∠B ③ ④DE是⊙O的切线
A. 2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.如图,半圆O的直径 DE =12 cm,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠ABC =30°,BC=12 cm.半圆O 以 2cm /s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点 B时停止，点D，E始终在直线BC 上.设运动时间为 t(s)，运动开始时，半圆O 在的左侧，当 ________时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.
6.如图所示，已知直线 PA 交⊙O 于A,B 两点,AE 是⊙O的直径,C 为⊙O 上一点,且 AC 平分过点C作 垂足为点 D.
(1)求证:CD为⊙O 的切线;
(2)若 ⊙O的直径为10，求AB 的长度.
7.如图,BE 是⊙O 的直径,点 A 在⊙O上,点 C 在BE 的延长线上,AD平分 交⊙O于点 D,连结 DE.
(1)求证:CA 是⊙O的切线;
(2)当 4时,求 DE的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1 1.垂直
【明考点·识方法】
典例1 证明：如图，连接OD，
∵AB 为⊙O的直径,
即
∵OD是⊙O的半径,∴直线CD与⊙O相切.
变式 证明:(1)如图1,连接OC.
∵AB 是⊙O的直径,AB⊥CD,∴∠COB=∠DOB,
∵∠COB=2∠A,∴∠BOD=2∠A;
(2)如图2所示,
∵F为AC 的中点,∴DF⊥AC,∴ ∠FDC+∠FCD =90°,
∵CD⊥AB,∴ ∠CAB + ∠ACD =90°,∴∠CAB=∠CDF,
∵OC=OD,∴∠OCD=∠CDF,
又 ∴∠CAB=∠CDB,∴∠OCD=∠CDB,∴OC∥DE,
∵CE⊥DE,∴OC⊥CE,
∵OC为⊙O的半径,∴直线CE为⊙O的切线.
典例2 证明：如图所示，过点 D 作 DF⊥OB于点 F,连接 DE.
∵OA 与⊙D 相切于点 E,∴DE⊥AO.
又∵OC 平分∠AOB,DF⊥∴DE=DF,∴点 F 在⊙D上.
又∵DF⊥OB,∴OB 与⊙D 相切.
变式 证明:过点 O作OF⊥DE于点F,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB = 90°,∠A =60°,∴∠ABC=30°,
∵ED⊥AC,∴∠D=90°=∠ACB,∴∠E=∠ABC=30°,
∵BE=OB, ∴OF=OB,即OF 是⊙O的半径,
又∵OF⊥BD,∴DE 是⊙O的切线.
典例3 解:(1)证明:连接OC,
∵点C为 的中点，∴EC=BC,∴∠EAC=∠BAC,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠EAC=∠OCA,∴AE∥OC,
∵CD⊥AE,∴OC⊥DF,
又∵OC为⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;
(2)连接CE,BC.
∵在 Rt△CDE中,CD=2,DE=1,
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC,
∵∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB,
设AC=2x,则
在 Rt△ABC中,有
即 解得 (负值已舍)，
∴⊙O的半径长为
变式1 证明:(1)连接OD,OC,如图,
∵AD=CD,OC=OA,∴OD 垂直平分AC,
∵∠ADM=∠DAC,∴AC∥MN,∴OD⊥MN,即 MN是⊙O的切线;
(2)连接BD,如图,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,
∴∠ABD=∠ACD,
∵AC∥MN,∴∠ACB=∠MNB=90°,∠CDN=∠ACD,
∴∠CDN=∠ABD,∠ADB=∠MNB,∴△ABD∽△CDN, 即AD·CD=AB·CN,
又∵AD=CD,
变式 2 解:(1)证明:如图,连接OC,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCO+∠OCA=90°,
∵OB=OC,∴∠B=∠BCO,
∵∠PCA=∠B,∴∠PCA=∠BCO,∴∠PCA+∠OCA=90°,∴OC⊥PC,
∵OC 是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线;
(2)证明: ∴∠B=30°,∴∠PCA=∠B=30°,
由(1)知∠ACB=90°,∴∠CAB=60°,∴∠P=∠CAB-∠PCA=30°,
∴∠PCA=∠P=30°,∴AC=AP;
(3)设AD=x,
在 Rt△ACB中,CD⊥AB,∴△BCD∽△CAD,
∵∠P=∠P,∠PCA=∠B,∴△PAC∽△PCB,
∴PC =PA·PB=4(6+4+x)=4(10+x),
在 Rt△PCD中，由勾股定理得 即
整理得 解得 (舍去),故AD=2.
【当堂测·夯基础】
1. B 2. B 3. A 4. C
5.1 s,4 s,7 s 解析:①当圆心O运动到点E 与点C 重合时，
∵AC⊥OE,OC=OE=6 cm,此时AC与半圆O 所在的圆相切，点O运动了2cm ,所求运动时间为t=2÷2=1(s);
②当圆心O运动到点 D 与点C 重合时，此时OC=6 cm,点O运动的距离为8+6=14(cm),所求运动时间为t=14÷2=7(s);
③当半圆O所在圆在直线AB 左侧且与其相切时,如图1,过 C点作 CF⊥AB,交 AB于F点；
∵∠ABC=30°,BC=12 cm,∴CF=6 cm,∴O与C重合,
即当 O 点 运 动到 C 点 时,半圆 O 与△ABC的边AB 相切;
此时点O运动了 8cm ，所求运动时间为t=8÷2=4(s),
④当半圆O所在圆在直线AB 右侧且与其相切时，如图 2，切点为点 Q，连接OQ，
因为圆心O运动到点 B 时停止，所以此种情况不符合题意，舍去.
综上所述，当t的值为1s或4s 或7s时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切.
6.解:(1)证明:连接OC.
∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠OAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,∵OC为⊙O半径,∴CD是⊙O的切线;
(2)过O作OM⊥AB于点 M,即∠OMA=90°,AM=BM,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,∴四边形 DMOC 是矩形,∴OC=DM,OM=CD.
∵⊙O直径为10,∴AO=5,∴OC=AO=5,∴DM=5,∴AM=5-DA,
∵DC+DA=6,∴OM=CD=6-DA,
∵在 Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得
∴DA=2或DA=9(舍去),∴AM=5-2=3,∴AB=2AM=6.
7.解:(1)证明:连接OA,
∵BE 是⊙O的直径,∴∠BAE=90°,∴∠BAO+∠OAE=90°,
∵OA=OB,∴∠ABC=∠BAO,
∵∠EAC=∠ABC,∴∠CAE=∠BAO,∴∠CAE+∠OAE=90°,∴∠OAC=90°,
∵OA 是⊙O的半径,∴CA 是⊙O的切线;
(2)∵∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,∴△ABC∽△EAC,
∴BC=16,∴BE=BC-CE=12,
连接BD,
∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,∴BD=DE,∴BD=DE,
∵BE是⊙O的直径,∴∠BDE=90°,
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5.6.3 切线的判定（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 切线的判定定理
1.切线的判定定理：过半径外端且_____________于这条半径的直线是圆的切线.
2.数学符号语言：如图，OA 是⊙O的半径，OA⊥于点A,则 是⊙O的切线.
注意
如图所示，一条直线若满足两个条件：(1)经过半径OA 的外端点A；(2)垂直于这条半径OA，则这条直线是⊙O的切线.
知识点2 利用切线的判定定理证明直线与圆相切的方法
1.如果已知直线经过圆上一点，那么连接这点和圆心，证明所作半径与这条直线垂直.
简记为：已知点在圆上，连半径(或作直径)，证垂直.
2.如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长.
简记为：未知点(点的位置不确定)在圆上，作垂线，证半径.
明考点·识方法
考点1 已知直线经过圆上一点，证圆的切线
典例1 如图,AB为⊙O的直径,如果圆上的点 D 恰使∠ADC=∠B,求证：直线CD与⊙O相切.
思路导析 连接OD，由等腰三角形的性质和圆周角定理的推论得出 则再由切线的判定即可得出结论.
变式 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦， 连接AC,OD.
(1)求证:
(2)连接DB,过点 C作 交 DB 的延长线于点 E,延长 DO,交 AC 于点 F.若F 为AC 的中点,求证:直线 CE 为⊙O 的切线.
考点2 未知直线上的点在圆上，证圆的切线
典例2 如图所示，OC平分 点 D 是OC上的任意一点,⊙D 与OA 相切于点 E.求证:OB 与⊙D 相切.
思路导析 由于不知道 OB 与⊙D 的交点，故应过点 D 作OB 的垂线，证垂线段的长等于半径.
变式 如图， 内接于⊙O,AB 是⊙O的直径, 点E在AB延长线上， 过点 E 作 AC,交 AC 的延长线于点 D.求证:DE 是O的切线.
考点3 切线的性质与判定的综合运用
典例3 如图,AB 为⊙O的直径,E为⊙O上一点,点 C为 的中点，过点 C 作 交 AE 的延长线于点 D,延长 DC 交AB 的延长线于点 F.
(1)求证:CD是⊙O的切线；
(2)若 DE=1,DC=2,求⊙O的半径长.
思路导析 (1)连接 OC,证明OC⊥DF 即可;
(2)连接CE，BC，由勾股定理求出CE，由题意知BC=CE,再由△ACD∽△ABC与勾股定理,求出AB的长.即可求出⊙O的半径.
变式1 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,AD=CD,过点 D的直线交 BA 的延长线于点 M，交 BC的延长线于点 N,且∠ADM=∠DAC.
(1)求证:MN是⊙O的切线;
(2)求证:
变式2 如图,AB 是⊙O的直径,点 C是⊙O上的一点,点 P 是 BA 延长线上的一点，连接AC，
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若 求证:AC=AP;
(3)若 CD⊥AB 于 D,PA=4,BD=6,求AD 的长.
当堂测·夯基础
1.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是 ( )
A.点(0,3) B.点(1,3) C.点(6,0) D.点(6,1)
第1题图 第2题图
2.如图,∠ABC=70°,O为射线BC 上一点，以点O为圆心，OB长为半径做⊙O，要使射线 BA 与⊙O相切，应将射线绕点 B 按顺时针方向旋转 ( )
A.35°或70° B.40°或100° C.40°或90° D.50°或110°
3.如图, 是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的直线EF 与⊙O相切于点 A 的条件是 ( )
D.AC是⊙O的直径
第3题图 第4题图
4.如图,线段 AB 是O的直径,⊙O交线段 BC 于点 D,且D是 BC 中点,DE⊥AC 于点 E,连接AD，则下列结论正确的个数是 ( )
①CE·CA=CD·CB ②∠EDA=∠B ③ ④DE是⊙O的切线
A. 2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.如图,半圆O的直径 DE =12 cm,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠ABC =30°,BC=12 cm.半圆O 以 2cm /s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点 B时停止，点D，E始终在直线BC 上.设运动时间为 t(s)，运动开始时，半圆O 在的左侧，当 ________时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.
6.如图所示，已知直线 PA 交⊙O 于A,B 两点,AE 是⊙O的直径,C 为⊙O 上一点,且 AC 平分过点C作 垂足为点 D.
(1)求证:CD为⊙O 的切线;
(2)若 ⊙O的直径为10，求AB 的长度.
7.如图,BE 是⊙O 的直径,点 A 在⊙O上,点 C 在BE 的延长线上,AD平分 交⊙O于点 D,连结 DE.
(1)求证:CA 是⊙O的切线;
(2)当 4时,求 DE的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 1 1.垂直
【明考点·识方法】
典例1 证明：如图，连接OD，
∵AB 为⊙O的直径,
即
∵OD是⊙O的半径,∴直线CD与⊙O相切.
变式 证明:(1)如图1,连接OC.
∵AB 是⊙O的直径,AB⊥CD,∴∠COB=∠DOB,
∵∠COB=2∠A,∴∠BOD=2∠A;
(2)如图2所示,
∵F为AC 的中点,∴DF⊥AC,∴ ∠FDC+∠FCD =90°,
∵CD⊥AB,∴ ∠CAB + ∠ACD =90°,∴∠CAB=∠CDF,
∵OC=OD,∴∠OCD=∠CDF,
又 ∴∠CAB=∠CDB,∴∠OCD=∠CDB,∴OC∥DE,
∵CE⊥DE,∴OC⊥CE,
∵OC为⊙O的半径,∴直线CE为⊙O的切线.
典例2 证明：如图所示，过点 D 作 DF⊥OB于点 F,连接 DE.
∵OA 与⊙D 相切于点 E,∴DE⊥AO.
又∵OC 平分∠AOB,DF⊥∴DE=DF,∴点 F 在⊙D上.
又∵DF⊥OB,∴OB 与⊙D 相切.
变式 证明:过点 O作OF⊥DE于点F,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB = 90°,∠A =60°,∴∠ABC=30°,
∵ED⊥AC,∴∠D=90°=∠ACB,∴∠E=∠ABC=30°,
∵BE=OB, ∴OF=OB,即OF 是⊙O的半径,
又∵OF⊥BD,∴DE 是⊙O的切线.
典例3 解:(1)证明:连接OC,
∵点C为 的中点，∴EC=BC,∴∠EAC=∠BAC,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠EAC=∠OCA,∴AE∥OC,
∵CD⊥AE,∴OC⊥DF,
又∵OC为⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;
(2)连接CE,BC.
∵在 Rt△CDE中,CD=2,DE=1,
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC,
∵∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB,
设AC=2x,则
在 Rt△ABC中,有
即 解得 (负值已舍)，
∴⊙O的半径长为
变式1 证明:(1)连接OD,OC,如图,
∵AD=CD,OC=OA,∴OD 垂直平分AC,
∵∠ADM=∠DAC,∴AC∥MN,∴OD⊥MN,即 MN是⊙O的切线;
(2)连接BD,如图,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,
∴∠ABD=∠ACD,
∵AC∥MN,∴∠ACB=∠MNB=90°,∠CDN=∠ACD,
∴∠CDN=∠ABD,∠ADB=∠MNB,∴△ABD∽△CDN, 即AD·CD=AB·CN,
又∵AD=CD,
变式 2 解:(1)证明:如图,连接OC,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BCO+∠OCA=90°,
∵OB=OC,∴∠B=∠BCO,
∵∠PCA=∠B,∴∠PCA=∠BCO,∴∠PCA+∠OCA=90°,∴OC⊥PC,
∵OC 是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线;
(2)证明: ∴∠B=30°,∴∠PCA=∠B=30°,
由(1)知∠ACB=90°,∴∠CAB=60°,∴∠P=∠CAB-∠PCA=30°,
∴∠PCA=∠P=30°,∴AC=AP;
(3)设AD=x,
在 Rt△ACB中,CD⊥AB,∴△BCD∽△CAD,
∵∠P=∠P,∠PCA=∠B,∴△PAC∽△PCB,
∴PC =PA·PB=4(6+4+x)=4(10+x),
在 Rt△PCD中，由勾股定理得 即
整理得 解得 (舍去),故AD=2.
【当堂测·夯基础】
1. B 2. B 3. A 4. C
5.1 s,4 s,7 s 解析:①当圆心O运动到点E 与点C 重合时，
∵AC⊥OE,OC=OE=6 cm,此时AC与半圆O 所在的圆相切，点O运动了2cm ,所求运动时间为t=2÷2=1(s);
②当圆心O运动到点 D 与点C 重合时，此时OC=6 cm,点O运动的距离为8+6=14(cm),所求运动时间为t=14÷2=7(s);
③当半圆O所在圆在直线AB 左侧且与其相切时,如图1,过 C点作 CF⊥AB,交 AB于F点；
∵∠ABC=30°,BC=12 cm,∴CF=6 cm,∴O与C重合,
即当 O 点 运 动到 C 点 时,半圆 O 与△ABC的边AB 相切;
此时点O运动了 8cm ，所求运动时间为t=8÷2=4(s),
④当半圆O所在圆在直线AB 右侧且与其相切时，如图 2，切点为点 Q，连接OQ，
因为圆心O运动到点 B 时停止，所以此种情况不符合题意，舍去.
综上所述，当t的值为1s或4s 或7s时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切.
6.解:(1)证明:连接OC.
∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠OAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,∵OC为⊙O半径,∴CD是⊙O的切线;
(2)过O作OM⊥AB于点 M,即∠OMA=90°,AM=BM,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,∴四边形 DMOC 是矩形,∴OC=DM,OM=CD.
∵⊙O直径为10,∴AO=5,∴OC=AO=5,∴DM=5,∴AM=5-DA,
∵DC+DA=6,∴OM=CD=6-DA,
∵在 Rt△AMO中,∠AMO=90°,根据勾股定理得
∴DA=2或DA=9(舍去),∴AM=5-2=3,∴AB=2AM=6.
7.解:(1)证明:连接OA,
∵BE 是⊙O的直径,∴∠BAE=90°,∴∠BAO+∠OAE=90°,
∵OA=OB,∴∠ABC=∠BAO,
∵∠EAC=∠ABC,∴∠CAE=∠BAO,∴∠CAE+∠OAE=90°,∴∠OAC=90°,
∵OA 是⊙O的半径,∴CA 是⊙O的切线;
(2)∵∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,∴△ABC∽△EAC,
∴BC=16,∴BE=BC-CE=12,
连接BD,
∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,∴BD=DE,∴BD=DE,
∵BE是⊙O的直径,∴∠BDE=90°,
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