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5.3.2函数的极值和最大（小）值---自检定时练--详解版
单选题
1.函数的极值点为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】求导，根据导数判断函数单调性，然后可得极值点.
【详解】由题知的定义域为，且.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的极小值点为，无极大值点.
故选：A.
2函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先求导函数，再数形结合得出导函数有两个零点，左右正负有变化即可得出极值点个数.
【详解】由题意得，令，得，令，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图所示，
由图象可知，函数与的图象有两个交点，则方程有两个不同的根，故有两个不同的根，且两个根左右的单调性不同.
由极值点的定义可知，函数有两个极值点.
故选：C.
3.若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
又是函数的极小值点，所以，解得或，
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即是的极大值点，不符合题意，故舍去；
当时，，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
即是的极大值点，是的极小值点，符合题意，
此时，
所以的极大值为.
故选：D
4.已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象先确定函数解析式，在利用导函数及韦达定理计算即可.
【详解】由函数的图象可知：，
解得，
所以，可得，
由韦达定理及极值点的定义得，
所以.
故选：B.
5.“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据恒成立，分离参数，然后构造函数，利用导数求解单调性，进而可得最值求解充要条件，即可根据真子集关系求解充分不必要条件.
【详解】由曲线恒在直线下方，可得，
恒成立，
记，
当单调递减，当单调递增，
故，故，
所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是，
结合选项可知 ，
故是“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件，
故选：C．
6.若是函数的极值点，在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据在区间上单调递增求出得范围，再根据是函数的极值点，确定的值求出解析式，将代入得出答案.
【详解】因为在区间上单调递增，所以，
解得，因为，
所以，且，
解得，又，则，故．
又是的极值点，
所以，解得，
令，解得，故，
则，，故．
故选：B.
多选题
7.已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．的极大值点为
C．的极小值为 D．的极大值为
【答案】AB
【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值进行判断.
【详解】函数的定义域为，且.
当变化时，的变化情况如下表：
3
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以函数有两个极值点，
函数在处取极大值，为极大值点，在处取极小值，为极小值点.
故选：AB
8.．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域是 B． 时，图象位于x轴下方
C．有且仅有两个极值点 D．存在单调递增区间
【答案】BD
【分析】由函数有意义的条件可求得函数的定义域判断A选项；当时，判断函数的符号可判断B选项； 利用导数判断出导函数的零点个数，可判断C选项； 解不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数有意义，有，解得且，
则函数的定义域为，A选项错误；
对于B选项，当时，，，则，
即当时，函数图象位于轴下方，B选项正确；
对于C选项，，令.
当时，，，则，
函数在区间上单调递减，无极值点；
当时，，函数在上单调递增，
由于，
由零点存在定理知，存在唯一的，使得.
当时，，；当时，，，
所以，函数存在唯一的极值点，C选项错误；
对于D选项，由C可知，函数在区间上单调递增，D选项正确.
故选：BD.
填空题
9.若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题首先可通过求导得出，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】，
令，即.
因为函数有极大值和极小值，
所以方程有两个不相等的实数根，
即，解得或.
故答案为：
10.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，利用导数求出函数的最小值，由，即可求出的取值范围.
【详解】设，则恒成立，，
，
所以，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，解得，
即实数的取值范围为.
解答题
11.已知函数，曲线在处与直线相切.
(1)求、的值；
(2)求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数）
【答案】(1)，
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由题意可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值；
（2）利用导数分析函数在上的单调性，即可求出该函数在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）因为函数，其中，则，
因为曲线在处与直线相切，
所以，，解得.
（2）由（1）可得，所以，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数在处取得极大值即最大值，则，
又，，
所以，.
12.已知.
(1)若恒成立，求的范围；
(2)证明不等式：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先将不等式化为，讨论，，三种情况，结合分离参数的方法，分别求解即可；
（2）先由（1）知恒成立，两边取对数得到，进而可得，整理即可证明结论成立.
【详解】（1），
当时，不等式显然成立，
当时，恒成立，令，则
因此时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，，
当时，恒成立，令，此时恒成立，
所以在单调递减，而时，且，
所以当时，，
综上.
（2）由（1）知恒成立，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时成立，
所以
所以.
所以.
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5.3.2函数的极值和最大（小）值---自检定时练--学生版
【1】知识清单
函数的极值
一般地，设函数在处可导，且.
（1）如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点.
（2）如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点.
（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.
（4）极小值点 极大值点统称为 极值点，极小值和极大值统称为极值.
函数的最大（小）值
（1）函数在区间上有最值的条件：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求在区间上的最大（小）值的步骤：
①求函数在区间上的极值;
②将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.函数的极值点为（ ）
A． B． C．3 D．
2函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
6.若是函数的极值点，在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
多选题
7.已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．的极大值点为
C．的极小值为 D．的极大值为
8.．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域是 B． 时，图象位于x轴下方
C．有且仅有两个极值点 D．存在单调递增区间
填空题
9.若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 .
10.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
解答题
11.已知函数，曲线在处与直线相切.
(1)求、的值；
(2)求在上的最大值和最小值.（其中为自然对数的底数）
12.已知.
(1)若恒成立，求的范围；
(2)证明不等式：.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C B AB BD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为
12.【答案】(1) (2)证明见解析
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