2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市尚志、五常、阿城、宾县、双城六校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市尚志、五常、阿城、宾县、双城六校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列，，，，，，，，，中，等于( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且与互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
3.直线过点且与直线垂直，则的方程是( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则等于( )
A. B. C. D.
5.点是圆上的一个动点，点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知等比数列中，公比为，，且，，成等差数列，又，数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
7.在等差数列中，，记，则数列( )
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
8.已知为双曲线：的右焦点，若圆：上恰有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是( )
A. 实轴长为 B. 焦点坐标为，
C. 离心率为 D. 渐近线方程为
10.若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是( )
A.
B.
C. ，使得
D. 设与的夹角为，则，
11.在数列中，如果对任意，都有为常数，则称数列为比等差数列，称为比公差则下列说法错误的是( )
A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差
B. 等差数列一定不是比等差数列
C. 若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列
D. 若数列满足，，则该数列不是比等差数列
三、填空题：本题共3小题，共13分。
12.等比数列是递减数列，前项的积为，若，则 ______．
13.如图，在平面直角坐标系中，点为椭圆： 的左顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率等于______．
14.已知数列满足，，，表示不超过的最大整数如，记，数列的前项和为．
若数列是公差为的等差数列，则 ；
若数列是公比为的等比数列，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．
求的公比；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，且．
求抛物线的方程；
设直线：与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得当变化时，总有成立？若存在，求出点的坐标；不存在，请说明理由．
17.本小题分
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在棱上．
若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
若二面角的正弦值为，求的长度．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
设函数，，，求的最大值．
19.本小题分
已知椭圆方程：的左焦点为，直线与椭圆相交于，，点在第一象限，直线与椭圆的另一点交点为，且点关于原点的对称点为．
设直线，的斜率分别为，，证明：为常数；
求面积的最大值．
参考答案
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15.解：设是公比不为的等比数列，
为，的等差中项，可得，
即，
即为
解得舍去；
若，则，
则数列的前项和为
两式相减可得
，
化简可得．
16.解：为抛物线上一点，且，
到抛物线的准线的距离为，
，，
即，解得，
抛物线的方程为：；
设存在轴上的点，使得成立，
则直线的斜率与直线的斜率之和为，设，
则，化简可得，
联立直线与抛物线的方程可得，化简可得，
则，
，，
，
，
当时，上式恒成立，与无关，
存在点使得当变化时，总有成立．
17.解：，，
又平面平面，且平面平面，
平面，又四边形为矩形，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，是的中点，
，，，，
，，
设异面直线与所成角的平面角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
，，，，
设，，，即，
解得，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的法向量，
二面角的正弦值为，
，
解得，，
的长度．
18.解：由已知得，
当时，，解得；
当时，，
由得：，即，
因此，数列是首项、公比为的等比数列，可得．
由，可知．
因此，可得，
所以，当且仅当时，不等式的等号成立，
所以当时，的最大值为．
19.证明：由椭圆的方程可知，，，
所以，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去，
设，，，此时，，
则，，，
又，，
式子得，
所以；
解：由题意可知，三角形面积等于三角形的面积倍，
椭圆左焦点为，可设直线方程为，
联立方程组，
即，
故，，
所以三角形的面积为，
令，，
由对勾函数性质可得在单调递增，
故，当且仅当取得最小值成立，
所以，当且仅当，即时成立，
三角形的面积的最大值为，
所以面积的最大值为．
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