甘肃省兰州市第五十一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省兰州市第五十一中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {0,1,2,4}，集合 = {0,4}， = {0,2}，则 ∪ =( )
A. {0,1,4} B. {0,1,2,4} C. {0,2,4} D. {1,2,4}
2.命题“ ∈ ， 2 + 1 < 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 1 ≥ 0 B. ∈ ， 2 + 1 > 0
C. ∈ ， 2 + 1 > 0 D. ∈ ， 2 + 1 ≥ 0
3.高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第40的
百分位数为( )
A. 168 B. 170 C. 172 D. 171
4.“幂函数 ( ) = ( 2 1) 1在(0, +∞)单调递减”是“ = 2”的( )
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充要条件
5.若 = 1.30.9， = 1.20.8， = log1.80.9，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指

数衰减的学习率模型为 = 0 0，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 0表示初始学习率， 表示衰减
系数， 表示训练迭代轮数， 0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速
度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数
至少为( )(参考数据： 0.4 = 2 2 1， 2 ≈ 0.3)
A. 72 B. 73 C. 74 D. 75
7.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体
在全段振动，产生频率为 的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生
的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2 ，3 ，4 等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出
1 1 1 1
来，所以我们听到的声音的函数为 = + 2 + 3 + 4 + .则函数 = + 2 +
2 3 4 2
1
3 的周期为( )
3
2
A. B. 2 C. D.
3 2
8.已知 1是函数 ( ) =
+ 2的零点， 是函数 ( ) = 4 2 + 2的零点，则 1 + 2的值为( )
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A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收
入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是( )
A. 2019～2023年全国居民人均可支配收入逐年递增
B. 2019～2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增
C. 2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少
D. 2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60%

10.已知函数 ( ) = tan( )( > 0)的最小正周期为2 ，则( )
2
A. = 1
B. = ( )的图象的对称中心为(2 + , 0)( ∈ )

C. ( )在( , )上单调递增
2 2

D. ( + )是奇函数
2
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11.已知 ( ) = ，则( )
A. (1) = 0 B. (1) = 1 C. ( 1) = 0 D. ( 1) = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 2
12.已知 > 0， > 0， + = 2， + 2 的最小值为______．

13.若 1， 2，…， 2025的方差为4，且 = 3( 2)， = 1，2，…，2025，则新数据 1， 2，…， 2025的标
准差为______．
1
14.已知扇形的半径为1，圆心角为 ，若 = ，则该扇形的面积为______．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

tan( )sin( )sin( + )
已知 ( ) = 23 ．
cos(3 + )cos( )
2
(1)化简 ( )；
4
(2)若cos(2 ) = ，且 为第三象限角，求 ( )的值．
5
16.(本小题15分)
重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”，八月是重庆最热、用电量最高的月份.图是沙坪坝区居民八月份用
电量(单位：度)的频率分布直方图，其分组区间依次为：[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，
[260,280)，[280,300)，[300,320]．
(1)求直方图中的 ；
(2)根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；
(3)在用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居
民，则用电量在[240,260)的用户应抽取多少户？
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示．
2
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(1)求 ( )的解析式，并求出 ( )的对称轴；

(2)先把 ( )的图象向右平移 个单位，再向下平移1个单位，得到函数 ( )的图象，若关于 的方程 ( )
4

= 0在 ∈ [ , ]上有解，求 的取值范围．
4 6
18.(本小题17分)
2 1 1
已知函数 ( ) = 的图像经过点(1, )．
2 +1 3
(1)求 的值，并判断 ( )的奇偶性；
(2)判断 ( )的单调性并证明；
2 1(3)若 ( 2 + ) > 对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．
3
19.(本小题17分)
若函数 ( )满足：对任意正数 ， ，都有 ( ) + ( ) < ( + )，则称函数 ( )为“ 函数”．
(1)试判断函数 = 是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)若函数 = 2 + 是“ 函数”，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
9
12.【答案】
2
13.【答案】6
5
14.【答案】 或
6 6

tan( )sin( )sin( + )
15.【答案】解：(1)由诱导公式可得： ( ) = 23
cos(3 + )cos( )
2

=
cos ( sin )
= ；
4 4
(2)因为cos(2 ) = ，所以 = ，
5 5
3
又因为 为第三象限角，所以 = √ 1 cos2 = ，
5
3 3
所以 = = ，所以 ( ) = = ．
cos 4 4
16.【答案】解：(1)由(0.002 + 0.0095+ 0.011 + 0.0125 + + 0.005 + 0.0025) × 20 = 1，
解得 = 0.0075；
(2)由小矩形最高的一组是[240,260)，
1
所以众数为 × (240 + 260) = 250；
2
又因为(0.002 + 0.0095 + 0.011)× 20 = 0.45 < 0.5，
所以中位数应在[240,260)内，
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设中位数为 ，由(0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 + 0.0125 × ( 240) = 0.5，
解得 = 244；
(3)月均用电量在[240,260)内的户数为0.0125 × 20 × 100 = 25，
在[260,280)内的户数为0.0075 × 20 × 100 = 15，
在[280,300)内的户数为0.005 × 20 × 100 = 10，
在[300,320]内的户数为0.0025 × 20 × 100 = 5，
11 1
从中抽取11户，抽取比例为 = ，
25+15+10+5 5
1
所以月均用电量在[240,260)内应抽取的户数为25 × = 5．
5

17.【答案】解：(1)由 ( )的图象知， = 2，最小正周期为 = 4 × ( ) = ，
3 12
2
又 > 0，所以 = = 2，所以 ( ) = 2 (2 + )，


因为点( , 2)在 ( )图象上，所以2 (2 × + ) = 2，
12 12

即sin( + ) = 1，所以 + = + 2 ， ∈ ，
6 6 2

即 = = 2 ， ∈ ；
3

又| | < ，所以 = ，所以 ( ) = 2 (2 + )，
2 3 3

令2 + = + ， ∈ ，解得 = + , ∈ ，
3 2 12 2

所以 ( )的对称轴方程为 = + , ∈ ．
12 2

(2)先把 ( )的图象向右平移 个单位，得到的图像对应的解析式为 = 2 [2( ) + ] = 2 (2 )，
4 4 3 6

再向下平移1个单位，得到的图像对应的解析式为 ( ) = 2 (2 ) 1，
6
2
因为 ∈ [ , ]，所以 ≤ 2 ≤ ，
4 6 3 6 6
1
所以 1 ≤ sin(2 ) ≤ ，即 ( ) ∈ [ 3,0]，
6 2

因为 ( ) = 0在 ∈ [ , ]上有解，即 = ( )在 ∈ [ , ]上有解，
4 6 4 6
所以 的取值范围是[ 3,0]．
1 2 1 2 1 1
18.【答案】解：(1)把点(1, )代入函数 ( ) = 得， (1) = = ， 3 2 +1 3 3
解得 = 1．
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1
2 1 12 1 2

因为 ( ) = =
2 +1 1
= = ( )， ( )定义域为 关于原点对称，
+1 1+2
2
所以 ( )是奇函数．
(2) ( )在 上单调递增，详见解答过程，
任取 < ，2 1 + 1 > 0, 2 21 2 + 1 > 0，
2 1 2
因为 ( ) = = 1 2 +1 1+2
，
2 2 2(2
1 2 2)
则 ( 1) ( 2) = = > 0， 1+2 2 1+2 1 (1+2 1)(1+2 2)
故 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)，所以函数 ( )在 上单调递增；
1
(3)因为 (1) = ，
3
1
若 ( 2 2 + ) > 对任意 ∈ 恒成立，
3
所以 ( 2 2 + ) > (1)对任意 ∈ 恒成立，
又因为 = ( )在 上单调递增，
所以 2 2 + > 1对任意 ∈ 恒成立，
所以 > ( 1)2 + 2恒成立，
根据二次函数的性质可知，当 = 1时， ( 1)2 + 2取得最大值2，
所以 的取值范围{ | > 2}．
19.【答案】解：(1)对于 ( ) = ，取 = = 3，
则 ( ) + ( ) = 3 + 3 = 2 3 = 9， ( + ) = 6，
因为 9 > 6，
不满足 ( ) + ( ) < ( + )，
故 ( ) = 不是“ 函数”：
(2)因为函数 = 2 + 是“ 函数”，
所以对于任意的 ， ∈ (0, +∞)，有2 + + ( + ) > 2 + + 2 + 恒成立，
即2 + 2 2 > 恒成立，所以(2 1)(2 1) > 1 恒成立，
又 ， ∈ (0, +∞)，故2 ，2 ∈ (1, +∞)，
则(2 1)(2 1) ∈ (0, +∞)，则1 ≤ 0，即 ≥ 1，
故实数 的取值范围为[1, +∞)．
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