上海市浦东新区南汇中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市浦东新区南汇中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， ， 为随机事件， 与 互斥， 与 互为对立，且 ( ) = 0.1， ( ) = 0.4，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.06 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
2.已知 、 表示两条不同直线， 表示平面，则下列说法正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D. 若 // ， ⊥ ，则 ⊥
3.用数学归纳法证明( + 1)( + 2)… ( + ) = 2 1 3… (2 1)，从 到 + 1，左边需要增乘的代数式
为( )
2 +1 2 +3
A. 2 + 1 B. 2(2 + 1) C. D.
+1 +1
1
4.在等比数列{ }中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 1 > 1，
2023
2023 2024 1 > 0， < 0，则 2024 1
下列结论不正确的是( )
A. 0 < < 1 B. 2023 2025 1 < 0
C. 2024的值是 中最大的 D. 使 > 1成立的最大自然数 等于4046
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
5.直线 = + 的倾斜角为______．
6.已知 ， 两个事件相互独立，且 ( ) = 0.4， ( ) = 0.7，则 ( ) = ______．
7.乘积( + + )( + + + )(其中 ≠ 0)的展开式中共有______项.
8.已知直线 1经过点(1,1)，且 1与直线3 2 + 4 = 0平行，则直线 1的方程是______．
9.现有7张卡片，分别写上数字2，4，5，5，6，9，16，则这7个数的第75百分位数是______．
10.已知平面 的一个法向量 = (1,√ 3, 2)，直线 的方向向量 = (1,0, 1)，则直线 与平面 所成角的正弦
值为______．
11.关于正整数 的方程是 5 3 = 2 ，则 = ______．
12.设 为数列{ }的前 项和，若

= 3 1，则数列{ }的通项公式 = ______．
13.(1 + 3 )15的二项展开式中，系数最大的项是第______项.
+ +
14.设公差 ≠ 0的等差数列{ }中，满足
2
5 = 3 8，则
1 3 5的值为______．
1+ 4+ 7
15.正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已
知棱长为1的正四面体 ， 1， 2，…， 2024在线段 上，且| 1| = | 1 2| =
第 1 页，共 8 页
= | 2023 2024| = | 2024 |.现过点 (1 ≤ ≤ 2024, ∈ )作平行于直线 和 的平面，记该平面截正四
面体 的截面的周长为 ，则 1 + 2 + 3 + + 2024 = ______．
16.平面向量为2维向量，可由2元有序实数组( 1, 2)表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组
( 1, 2, 3)表示. 维向量可由 ( 为正整数)元有序实数组( 1, 2, … , )表示.已知 维向量 = ( 1, 2, … , )，
我们称| 1| + | 2| + + | |为该向量的范数，其中 ∈ { 1,0,1}( = 1，2，…， )，记范数为奇数的 的个
数为 .设 = 521，则 (797 + 7) = ______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的大小．
18.(本小题12分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 2， 2 = 6．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设数列{ }满足 = 2
，求{ }的前 项和 ．
19.(本小题12分)
某高中举行了一次知识竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将
成绩进行整理后，依次分为五组([50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]).请根据下面的频率分布直
方图(如图所示)解决下列问题：
(1)求 的值；
(2)从样本数据在[50,60)，[70,80)两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中
随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 1， 2， 3， ， 10，其中 1 = 95， 2 = 81.已知这
第 2 页，共 8 页

10个分数的平均数 = 88，方差 2 = 25，若剔除其中的95和81这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方
差．
20.(本小题12分)
已知正四棱锥 (如图所示)的高为3，底面边长为2√ 3，球 1与 的四个侧面及底面都相切，然后依次在 内
放入球 2， 3， 4，…， ， +1，…，使得球 +1( ∈ , ≥ 1)与 的四个侧面均相切，且球 +1与 外
切．
(1)求正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小；
(2)求球 1的表面积；
(3)求放入的所有球的体积之和．
21.(本小题12分)
在 个数码1，2， ， ( ∈ , ≥ 2)构成的一个排列 1， 2， 3， ， 中，若一个较大的数码排在一个较
小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如 2 > 5，则 2与 5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为
这个排列的逆序数，记为 ( 1, 2, 3, , ).例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，
在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2 + 1 + 0 = 3，
则记 (3,2,1) = 3．
第 3 页，共 8 页
(1)计算 (6,4,5,2,3,1)；
(2)设数列{ }满足 +1 = 14 + (6,4,5,2,3,1)， 1 = 13，求{ }的通项公式；
1
( ) , 为奇数
(3)计算数列 = {
3
(1 ≤ ≤ , ∈ )的逆序数 ( 1, 2, 3, , ).
, 为偶数
+1
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
3
5.【答案】
4
6.【答案】0.28
7.【答案】12
8.【答案】3 2 1 = 0
9.【答案】9
1
10.【答案】
4
11.【答案】5
12.【答案】2 3 1
13.【答案】12和13
4
14.【答案】
5
15.【答案】4048
16.【答案】985211
17.【答案】解：(1)证明：在正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点，
连接 1 ，在正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点，
∴ 是 1 的中点，且 1 ⊥ 1，即 ⊥ 1，
∵ ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ ⊥ 1，又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ 1 ⊥平面 ．
第 5 页，共 8 页
(2)连接 ，则∠ 是异面直线 与 所成角(或其补角)．
记正方体 1 1 1 1的棱长为 ，
√ 2
在 △ 中， √ 2tan∠ = = 2 = ，
2
∴异面直线 与 所成角是 √ 2arctan ．
2
18.【答案】解：(1)已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 2， 2 = 6，
设数列{ }的公差为 ，
∵ 1 = 2， 2 = 6，∴ 2 = 4，
∴ = 2 1 = 2，
∴数列{ }的通项公式为 = 1 + ( 1) = 2 ；
(2)设数列{ }满足 = 2 ，
由(1)得 = 2
2 = 4 ，
4 +1
∴ 1 = 4,
+1 = = 4，
4
∴数列{ }是以4为首项，4为公比的等比数列，
4(1 4 ) 4 +1 4
∴ { }的前 项和 = = ． 1 4 3
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，(0.016 + + 0.04 + 0.008 + 0.004) × 10 = 1，
解得 = 0.032；
0.16 2
(2)由频率分布直方图知：在[50,60)，[70,80)两个小组内的学生人数比为 = ，
0.4 5
所以抽取7名学生中，来自[50,60)，[70,80)的分别为2人、5人，
设事件 表示“随机选出2人，两人恰好来自不同小组”，
1 1 10
则 ( ) = 2 5
2
= ；
7 21

(3)因为这10个分数的平均数 = 88，方差 2 = 25，
所以 1 + 2 + 3 + +
2
10 = 880，10 = ( 1 88)
2 + ( 88)22 + + ( 10 88)
2 = 250，
第 6 页，共 8 页
880 95 81
剔除的两个为 1 = 81， 2 = 95的数后余下数据的平均数为 = 88， 8
2 2 2 2 2
( 3 88) +( 4 88) + +( 10 88) 250 (95 88) (81 88)此时方差为 = = 19．
8 8
20.【答案】解：(1)如图，四棱锥 中， 为底面正方形的中心，
则 ⊥底面 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
则 = 3, = √ 3，且 ⊥ ， ⊥ ，
则∠ 为侧面与底面所成角，设∠ = ，
因为 底面 ，所以 ⊥ ，
3
在 △ 中， = = = √ 3，所以∠ = ，
√ 3 3

即正四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为 ；
3
(2)设球 1与侧面 相切于点 ，则点 在线段 上，且 1 ⊥ ，

记球 1的半径为 1，由(1)可知∠ = ∠ 1 = ， 6
所以 1 = 2 1 = 2 1，则 = 2 1 + 1 = 3 1，即3 1 = 3，解得 1 = 1，
所以球 1的表面积为4
2
1 = 4 ；
(3)记球 的半径为 ，体积为 ， = 1，2，3，…，设四棱锥的高为 ，
根据(2)可知3 = 2 1 2 2 2 1( ≥ 2)，
设 = 1 + 2 + 3 + + ，则3 = 2 1( ≥ 2)，
所以3 +1 = 2 ，
1
两式相减可得3( +1 ) = 2 ，即 +1 = ， 3
1
因为 1 = 1，所以数列{ }是以1为首项， 为公比的等比数列， 3
第 7 页，共 8 页
1 1 4 4所以 = ( ) ，故∑ = ∑ 3
1 3 3
3 =1 =1

3
= ∑
3 =1
( ) ，
3
4
18
故放入的所有球的体积之和为 3 1 = ．
1 13
27
21.【答案】解：(1) (6,4,5,2,3,1) = 5 + 3 + 3 + 1 + 1 = 13．
(2)由(1) (6,4,5,2,3,1) = 13得 +1 = 14 + 13，
∴ +1 + 1 = 14( + 1)，
∴数列{ + 1}是以 1 + 1 = 14为首项，以14为公比的等比数列，
∴ + 1 = 14 × 14
1 = 14 ，故 = 14 1．
(3)当 为奇数时， 1 > 3 > > 2 1 > 0．
2 2 2 2
当 为偶数时， 2 = < 0， 2 = + = = < 0( ≥ 4)， 3 +1 1 2 1 ( +1)( 1)
∴ 0 > 2 > 4 > > 2 ．
1
( ) , 为奇数
数列 = {
3
(1 ≤ ≤ , ∈ )，
, 为偶数
+1
2 2
2 4 ( 1+1) ( +1)
2
当 为偶数时，逆序数为( 1) + ( 3) + + 1 + + + + 1 = 2 + 2 2
3 2
= ．
2 2 2 2 8
1 3 3
3 5 ( 1+2) ( +1)
当 为奇数时，逆序数为( 1) + ( 3) + + 2 + + + + 1 = 2 + 2 2 =
2 2 2 2
2
3 4 +1
，
8
3 2 4 +1
, 为奇数
综上得， ( 1, 2, , , ) = {
8
3 2 ．
3 2
, 为偶数
8
第 8 页，共 8 页