2025年北京房山区高一（上）期末数学（PDF版，含答案）

2025北京房山高一（上）期末
数 学
本试卷共 4 页，150 分，考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知 log2 3 = a ， log2 5 = b ，则 log2 15
b
（A） ab （B） （C） a b （D） a b
a
（2）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件 M = “点数为奇数”，事件 N = “点数为 3的整数倍”，若
P(M ) ， P(N ) 分别表示事件 M ， N 发生的概率，则
1 1 1 1
（A） P(M ) = ， P(N ) = （B） P(M ) = ， P(N ) =
3 2 2 3
1 1
（C） P(M ) = P(N) = （D） P(M ) = P(N ) =
2 3
（3）下列函数中，既是奇函数又在区间 ( ,+ ) 上单调递增的是
1

（A） f (x) = x 3 （B） f (x) = 2x （C） f (x) = x3 （D） f (x) = lg x
（4）函数 f (x) 2x x2 的零点个数是
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D） 3
（5）供电部门对某社区1 000 位居民 2024 年12 月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：
度）分为 [0,10)，[10,20) ，[20,30) ， [30,40) ，[40,50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下
列说法错误的是
（A）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量人数最多的一组有 400 人
（B）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量不低于 20度的有500人
（C）在这1 000 位居民中，12 月份人均用电量为 25度
（D）从这1 000 位居民中，任选1位担任安全用电宣传员，选到 居民人均用电量在[30,40) 一组的概
1
率为
10
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的
（6）已知向量m = (a, 2) ， n = (8,a)，则“ a = 4 ”是“m n ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）如图，在平行四边形 ABCD 中， M 是 AB 的中点， DM 与 AC 交于点 N ，设 AB = a ， AD = b ，则
BN =
D C
N
A M B
2 1 2 1
（A） a + b （B） a b
3 3 3 3
1 2 1 2
（C） a + b （D） a b
3 3 3 3
f (x ) + f (x ) x + x
（8）若函数 f (x) 满足：对定义域内任意的 x1, x2 (x1 x2 ) ，都有
1 2 f ( 1 2 ) ，则称函数 f (x)
2 2
具有性质 H .下列函数中不具有性质 H 的是
1
（A） f (x) = ( )
x
（B） f (x) = log2 x
3
1
（C） f (x) = x3 (x≥ 0) （D） f (x) = (x 0)
x
（9）已知函数 f (x)=|loga x|(a > 0 且 a 1) ，那么下列命题中的假命题是
1
（A）若 f (2)=1，则 a = 或 a = 2
2
（B）若 0 m n ，且 f (m)=f (n)，则mn =1
（C）存在正数 k ，使得函数 g(x)=f (x) kx 1恰有1个零点
（D）不存在实数 a 1，使得函数 g(x)=f (x) a x 恰有 3个零点
ax 1
（10）已知函数 f (x) = (a 0 且 a 1) ，给出下列四个结论:
ax +1
①函数 f (x) 在其定义域内单调递减；
②函数 f (x) 的值域为 (0,1) ；
③函数 f (x) 的图象是中心对称图形；
④函数 f (x) 的图象过定点 (0,0) .
其中正确结论的个数是
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
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1
（11）函数 f (x) = + lg(5 x)的定义域为_______.
x 3
（12）某单位共有80 名职工，其中 35 岁以下的有 20 人， 35 — 45岁的有 35 人， 45 岁及以上的有 25 人.现
用分层抽样的方法，从中抽取16 名职工进行问卷调查，则抽取的 45岁及以上的职工人数为_______.

（13）向量 a， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c = a + b ( , R)，则 =_______.

（14）若幂函数 f (x) 同时具有以下三个性质：① f (x) 的定义域为 ( ,0) (0,+ )；② f (x) 是奇函数；③
当 x 0 时， f (x) 0 .则 f (x) 的一个解析式是_______．
x2 , x≤1,
（16）已知函数 f (x) = 若 f (x) = 2 ，则 x =_______；若 f (x) = m 有三个不同的实根 x1, x2 , x3 ，
log2 x, x >1.
且满足 2024x1 x2 x ，则 (x3 1 + x2 )m + x3 的取值范围是_______．
（16）据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第1个格子
里放上1颗麦粒，在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒，在第 3个格子里放上 22 颗麦粒，在第 4 个格子里放上 23 颗
麦粒， ，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子，国王欣然同意.
通过计算，该发明者所要求的麦粒数为 264 1 10 15 20 25 64 .你认为10 ，10 ，10 ，10 四个数中与 2 1最接近的是
_______．（参考数据： lg2 0.3010 ）
三、解答题共 5 小题，每小题 14 分，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题14 分）
2 4
甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目 概率是 ，乙解出这道题目的概率是 .
3 5
（Ⅰ）求甲、乙两人都解出这道题目的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；
（Ⅲ）求这道题目被甲、乙两人解出的概率.
（18）（本小题14 分）
1 1
已知向量 a = ( 1,2)， b = ( , )． 的
2 4
（Ⅰ）求 | a + 4b |；
（Ⅱ）若向量 c 满足 2a 3c = 8b ，求向量 c ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若 a mc = 2nb ，求实数m,n 的值.
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（19）（本小题14 分）
已知函数 f (x) = log
2
2 (x 2x + a) 的定义域是R ．
（Ⅰ）求实数 a的取值范围；
3x 11 1
（Ⅱ）解关于 x的不等式 a ．
a2
（20）（本小题14 分）
随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 app ）获取新闻资讯，手机应用
程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活
提供了极大的便利.为了解用户对某款 app 的满意度，随机调研了 3 000名用户，调研结果如下表（单位：
人）：
青年人 中年人 老年人
满意 600 700 x
一般 550 250 y
不满意 250 50 100
（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取1人，求此人“不满意”的概率；
（Ⅱ）若用频率估计概率，从使用该款 app 的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的
概率；
（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择 9 人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中
各选取 3人，这种抽样是否合理？说明理由．
（21）（本小题14 分）
已知函数 f (x) 的定义域为R ，对任意实数m,n R ，都有 f (m + n) = f (m) f (n)，且当 x 0 时，
0 f (x) 1 .
（Ⅰ）求 f (0) ；
（Ⅱ）证明：当 x 0 时， f (x) 1；
（Ⅲ）当 f (lg(a2 2a 3)) 1时，求实数 a的取值范围.
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参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 （D） （B） （C） （D） （C） （A） （A） （B） （D） （B）
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（11） (3,5) （12） 5 （13） 4
（14） y = x 1 （答案不唯一） （15） 2,4； (1,2]
（16）填写1010 或1025 ，得 0 分；填写1020 得 3分；填写1015 ，得 5 分.
三、解答题（共 5 小题， 共 70 分）
解：（Ⅰ）设事件 A=“甲、乙两人都解出这道题目”，则
2 4 8
P(A) = = . ............4 分
3 5 15
（Ⅱ）设事件 B =“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，则
2 1 1 4 6 2
P(B) = + = = . ............9 分
3 5 3 5 15 5
（Ⅲ）设事件C =“这道题目被甲、乙两人解出”，则
2 4 2 1 1 4 14
P(C) = + + = . ............14 分
3 5 3 5 3 5 15
（18）（本小题满分14 分）
1 1
解：（Ⅰ）因为向量 a = ( 1,2)， b = ( , )，
2 4
1 1
所以 a + 4b = ( 1,2) + 4( , ) = (1,1) .
2 4
所以 | a + 4b |= 2 . ............5 分
1 1
（Ⅱ）因为 2a 3c = 8b ，所以3c = 2a 8b = 2( 1,2) 8( , ) = ( 6,6) .
2 4
所以 c = ( 2,2) . ............9 分
（Ⅲ）因为 a mc = 2nb ，由（Ⅱ）知， c = ( 2,2) .
1 1
所以 ( 1,2) m( 2,2) = 2n( , ) .
2 4
2m 1= n, 3
m = ,
所以 n 即 2 ............14 分
2m + 2 = ,
2 n = 2.
（19）（本小题满分14 分）
解：（Ⅰ）因为函数 f (x) = log2 (x
2 2x + a) 的定义域是R ，
所以 x2 2x + a 0 恒成立.
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所以 = 4 4a 0 .
所以 a 1.
所以实数 a的取值范围为 (1,+ )． ............7 分
a 3x 11
1
（Ⅱ）因为 ，
a2
所以 a 3x 11 a 2 .
由（Ⅰ）知， a 1，
所以 3x 11 2 ，即 3x 9 ，解得 x 3.
a 3x 11
1
不等式 的解集为 ( 3,+ ) . ............14 分
a2
(20) （本小题满分14 分）
解:（Ⅰ）所有参与调研的人共有3000 人，不满意的人数是 250 + 50 +100 = 400 .
记事件 D =“从所有参与调研的人中随机选取1人，此人不满意”，则所求概率为
400 2
P(D)= = . ............4 分
3000 15
（Ⅱ）参与调研的青年人共有1400 人，满意的是 600人.
记事件M =“从使用该款 app 的青年人中随机选取1人，此人满意”，
600 3
则 P(M ) 的估计值为 = .
1400 7
参与调研的中年人共有1000 人，满意的是 700人.
记事件 N =“从使用该款 app 的中年人中随机选取1人，此人满意”，
700 7
则 P(N ) 的估计值为 = .
1000 10
则从使用该款 app的青年人和中年人中各随机选取1人，恰有1人“满意”的概率估计为
P(M N + M N ) = P(M ) P(N ) + P(M ) P(N )
3 7 3 7 37
= (1 ) +(1 ) = . ............9 分
7 10 7 10 70
（Ⅲ）这种抽样不合理.
理由：参与调研的 600 名老年人中不满意的人数为100，满意和一般的总人数为 x + y = 500 ，说
明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各选取 3人不合理.合理的抽样方法是采
用分层抽样，根据 x ， y ，100的具体数值来确定抽样数值. ............14 分
(21)（本小题满分14 分）
解:（Ⅰ）因为函数 f (x) 的定义域为R ,对任意实数m,n 都有 f (m + n) = f (m) f (n)，
且当 x 0 时， 0 f (x) 1 .
所以当m =1， n = 0 时， f (1+ 0) = f (1) f (0) ，即 f (1) = f (1) f (0) .
所以 f (0) =1. ............4 分
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（Ⅱ）证明：因为当 x 0 时， x 0 ，所以 f ( x + x) = f ( x) f (x) .
即 f ( x) f (x) = f (0) ，由（Ⅰ）知， f (0) =1.
所以 f ( x) f (x) =1 .
1
所以 f (x) = .
f ( x)
因为 x 0 ，所以 0 f ( x) 1 .
1
所以 f (x) = 1 . ............9 分
f ( x)
（Ⅲ）任取 x1, x2 R ，且 x1 < x2 ，则
f (x1) f (x2 ) = f ((x1 x2 ) + x2 ) f (x2 ) = f (x1 x2 ) f (x2 ) f (x2 )
= [ f (x1 x2 ) 1] f (x2 )
由已知条件及（Ⅰ），（Ⅱ）可知， f (x2 ) 0 .
又因为 x1 < x2 ，所以 x1 x2 < 0 .所以 f (x1 x2 ) 1 .
所以 f (x1 x2 ) 1 0 .所以 [ f (x1 x2 ) 1] f (x2 ) 0 .
所以 f (x1) f (x2 ) .
所以函数 f (x) 的是R 上的减函数.
当 f (lg(a2 2a 3)) 1时，不等式转化为 f (lg(a2 2a 3)) f (0) .
因为函数 f (x) 的是R 上的减函数，
所以不等式 f (lg(a2 2a 3)) f (0) 转化为
2 2
lg(a 2a 3) 0, a 2a 3 1, 1 5 a 1+ 5,
即 即
2
a 2a 3 0. a
2 2a 3 0. a 1或a 3.
所以实数 a的取值范围是1 5 a 1或3 a 1+ 5 . ............14 分
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