7.3.1 离散型随机变量的均值 课件（共18张PPT）

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第七章 随机变量及其分布
7.3.1 离散型随机变量的均值
1.通过具体实例，理解取有限个值的离散型随机变量均值的概念和意义．
2.能够计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．
数学期望有啥用？
已知有12个西瓜，其中重5kg的有4个，重6kg的有3个，重7kg的有5个.
(1)任取一个西瓜,用X表示这个西瓜的重量,试想X的可能取值有哪些
解：由题意X=5,6,7
权数
(2)X取上述值时对应的概率分别是多少
已知有12个西瓜，其中重5kg的有4个，重6kg的有3个，重7kg的有5个.
西瓜的平均重量为：
加权平均数
(3)如何求西瓜的平均重量
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
知识归纳
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
则称
为随机变量X的均值或数学期望，
数学期望简称为期望.
演练.甲、乙两名射击运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数x 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢？
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高。
解：甲射中的平均环数为7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9
乙射中的平均环数为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65
解：随机变量X 的可能取值为1，0；
例1.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
P(X=1)=0.8、 P(X=0)=0.2
所以,E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8
即该运动员罚球1次的得分X 的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
E(X)=1×p+0×（1-P）=P
分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1，不中时X=0。
解: 随机变量X的分布列为
求离散型随机变量均值的步骤:
例2.随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子的点数X的均值.
求随机变量的分布列
利用期望的定义．
求随机变量的期望
（1）找出随机变量所有可能的取值
（2）求出相应的概率
（3）列成表格形式
分析：先确定X的可能取值和相应的概率，再根据定义计算X的均值
1.离散型随机变量X的分布列是
0.2
b
a
0.3
P
10
9
7
4
X
E(X)=7.5,则a= b= .
0.4
0.1
练一练
分析：
4×0.3+7a+9b+10×0.2=7.5
0.3+a+b+0.2=1
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
解:
分析：公益基金
总额X的可能取
值有几种情况？
规则如下：按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金 如下表所示
变式:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同 若不同，那个大
变式：当按B,C,A的顺序猜时X的分布列如下表所示.
X 0 2000 5000 6000
P 0.4 0.36 0.048 0.192
同理
可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.
当按A,C,B的顺序时
当按B,A,C的顺序时
当按C,B,A的顺序时
当按C,A,B的顺序时
E(X)=2144,
E(X)=2256，
E(X)=1872，
E(X)=1904.
例3是概率决策问题也称为风险决策，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序。
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢
解：
设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3 .
采用方案1，有
采用方案2，有
采用方案3，有
∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2.
分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？
总损失越小越好
设X的分布列为
根据随机变量均值的定义，
类似地，可以证明E(aX)=aE(X).
一般地，下面的结论成立：
离散型随机变量均值的性质
如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即E(X+b)和E(aX)(其中a,b为常数)分别与E(X)有怎样的关系
3
2.设E(X)=4,则E(2X-5)= .
练一练
1.离散型随机变量的均值或期望的定义
2.两点分布的期望
3.离散型随机变量的均值的性质
E(X+b)=E(X)+b，E(aX)=aE(X)，
1.若随机变量X的分布列如下(k为常数),则X的数学期望E(X)= (　　)
A.0.6 B.0.9
C.1 D.1.2
D
2.掷一枚质地均匀的正四面体骰子(四面点数分别为1,2,3,4),则底面掷出点数的数学期望为 .
2.5
X 0 1 2
P k 6k 0.3
3.(多选)已知随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则下列结论正确的是 ( 　　)
A.a=7 B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
ABC