7.4.1 二项分布 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
7.4.1 二项分布
第七章 随机变量及其分布
1.通过具体实例了解n重伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征.
2.能用二项分布解决简单的实际问题.
名称 数学期望 方差
定义 　　 　　
性质 (为常数,且)
(为常数,且)
一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
回顾：离散型随机变量的均值与方差
二项分布和超几何分布
(1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (当A与B互斥时);
(3) P(AB) = P(A)·P(B|A)
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型, 吻合模型用公式去求概率简便.
那么求概率还有哪些重要模型呢？
(2) P(B|A) = ;
特别地： 当A与B相互独立时，P(AB) = P(A)·P(B)
问题1 下列一次随机试验的共同点是什么？
试验 出现的结果 共同点
1、掷一枚均匀的硬币
2、检验一件产品 3、飞碟射击 4、医学检验 正面朝上；反面朝上
合格；不合格
中靶；脱靶
阴性；阳性
只包含两个结果
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
伯努利试验：
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
n重伯努利试验
n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1) 同一个伯努利试验重复做n次；
“重复”意味着各次试验的概率相同
①每次试验是在同样条件下进行的；
②每次试验都只有两种结果，
即事件要么发生，要么不发生；
(2) 各次试验的结果相互独立.
③各次试验中的事件是相互独立的；
④每次试验，某事件发生的概率是相同的。
问题2 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少
(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
问题2 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验 如果是，那么其中的伯努利试验是什么 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大 重复试验的次数是多少
(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
随机试验 伯努利试验 事件A P(A) 重复试验的次数n 各次试验是否独立 关注的随机变量X
(1)
(2)
(3)
掷硬币
正面朝上
0.5
10
是
正面朝上的次数
射击
中靶
0.8
3
是
中靶的次数
有放回抽产品
抽到次品
0.05
20
是
抽到次品的件数
随机试验 伯努利试验 事件A P(A) 重复试验的次数n 各次试验是否独立 关注的随机变量X
(1)
(2)
(3)
掷硬币
正面朝上
0.5
10
是
正面朝上的次数
射击
中靶
0.8
3
是
中靶的次数
有放回抽产品
抽到次品
0.05
20
是
抽到次品的件数
问: (1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？
(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？
(1) 伯努利试验做一次试验, n重伯努利试验做n次试验.
(2)在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生;
在n重伯努利试验中, 我们关注事件A发生的次数X .
问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
试验结果
X的值
3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.
则X的概率分布列为:
P(X=0)
你能求出剩下的概率吗？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，
则X的概率分布列为:
P(X=0)
P(X=1)
P(X=2)
P(X=3)= P(A1A2A3)
= 3×0.8×0.22
= 3×0.82×0.2
= 0.83
于是,中靶次数X的分布列可简写为:
问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
得出的结果可以利用组合数来简化表示吗？
思考
问题4 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些 写出中靶次数X的分布列.
（1）连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有
共6个.
(2)中靶次数X的分布列为
P(X=k)=×0.8k×0.24-k,
(k=0, 1, 2, 3, 4).
中靶次数X的分布列可简写为：
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p).
二项分布
问题5 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗
二项式定理：
(a+b)n=+b+...++...+(n∈N*)
如果把p看成b ，1-p看成a ，则 就是二项式定理
[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.
由二项式定理，可得
二项分布的分布列如下表：
二项分布：
二项式定理：
(a+b)n=+b+...++...+(n∈N*)
问题6 二项分布和两点分布有什么联系？
二项分布的分布列如下表：
当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表：
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；
二项分布可以看做两点分布的一般形式.
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5).
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
其中的伯努利试验是什么？
重复试验的次数是多少？
若定义每个试验中“成功”的事件为A，则A的概率是多大？
随机变量X服从二项分布的三个前提条件：
(1) 每次试验都是在同一条件下进行的；
(2) 每一次试验都彼此相互独立；
(3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.
只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.
归纳总结
课本77页
1. 判断下列表述正确与否，并说明理由:
(1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)；
(2) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1).
每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(12, 0.25).
解：(1) 正确. 理由如下：
每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.
(2) 错误. 理由如下：
2.某射手射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在5次射击中:
(1) 恰有3次击中目标的概率；
(2) 至少有4次击中目标的概率.
解：设A＝“击中目标”，则P(A)＝0.8.
用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(5, 0.8).
(2) 至少有4次击中目标的概率为
(1) 恰有3次击中目标的概率为
3.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 ，那么播下3粒种子至少有1粒发芽的概率是( )
D
解：
用X表示种子发芽的粒数，则X~B.则所求概率为
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
其中的伯努利试验是__________________________________.
重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立
定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________.
A发生的概率是________.
事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么
观察小球碰撞到小木钉后下落的方向
10
小球碰撞到小木钉后向右落下
0.5
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
其中的伯努利试验是__________________________________.
重复试验的次数是________.各次试验结果之间是否相互独立
定义每个试验中“成功”的事件A为___________________________.
A发生的概率是________.
事件A发生的次数与所落入格子的号码X的对应关系是什么
观察小球碰撞到小木钉后下落的方向
10
小球碰撞到小木钉后向右落下
0.5
小球最后落入格子的号码X等于向右下落的次数
例2.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
则小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，
∴X~B(10, 0.5)，
X的概率分布图如下图：
解：设A="向右下落",则0.5,
4.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
(1)没有鸡感染病毒的概率； (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.
5.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，分别求质点回到原点和质点位于4的概率.
解：设为感染病毒的鸡的数量，
记A="一只鸡感染病毒",则
（1）没有鸡感染病毒的概率为
（2）恰有只鸡感染病毒的概率为
确定二项分布模型的步骤
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率P(A)；
(2)明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3)设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p).
二项分布的应用非常广泛.例如，
生产过程中的质量控制和抽样方案；
参加某保险人群中发生保险事故的人数；
试制药品治愈某种疾病的人数；
感染某种病毒的家禽数等；
都可以用二项分布来描述.
方法归纳
例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
①3局2胜制中“甲胜”的情况：
②5局3胜制中“甲胜”的情况：
3:0——赛3局，甲连胜3局；
3:1——赛4局，最后1局甲胜，前3局甲胜2局，乙胜1局；
3:2——赛5局，最后1局甲胜，前4局甲胜2局，乙胜2局；
解法一
解法1符合比赛实际规则,比较容易理解,
但不符合二项分布的特征。
比赛局数越多，对实力较强者越有利.
2:0——赛2局，甲连胜2局；
2:1——赛3局，最后1局甲胜，前2局甲乙各胜1局；
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
①3局2胜制：不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3，0.6).
②5局3胜制：不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，
则X~B(5，0.6).
解法二
解法2用二项分布求解,解法较简单,
但不易理解.
比赛局数越多，对实力较强者越有利.
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
第1局 第2局 第3局 最终获胜者 解法1中P(甲胜) 解法2中P(甲胜)
甲胜 甲胜 甲胜 甲胜 0.62 0.63
乙胜 0.62×0.4
甲胜 甲胜 0.62×0.4
甲胜 乙胜 甲胜 甲胜 甲胜 0.62×0.4
乙胜 以3局2胜制为例
当甲先胜2局时,第3局甲是胜是输并不影响甲最终获胜的概率.
同样, 采用5局3胜制赛满5局, 若前3局获胜, 那后2局的胜负并不影响甲获胜, 若前4局胜3局, 那第5局的胜负也不影响甲获胜.
为什么假定赛满3局或5局不影响甲最终获胜的概率？
思考
例3.甲、乙两名选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是5局3胜制对甲更有利？
1.知识要点：
（1）n重伯努利试验的概念及特征.
（2）二项分布的概念及表示.
（3）二项分布的均值与方差.
2.方法归纳：
公式法、数学建模.
3.常见误区：二项分布的判断错误.
本节课你学到了哪些知识？