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专题1：构造函数比较大小---自检定时练--详解版
单选题
1.已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，由得出函数的单调性，再由结合单调性得出答案.
【详解】构造函数
因为，即，所以函数在上单调递减.
可变形为，即，即.
故选：C
2.已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可.
【详解】解：因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
3.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考虑构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性比较大小.
【详解】因为，，，
则，
设，则，，
可得，
因为函数，均在内单调递减，
则在上单调递减，可得，
可知函数在上单调递减，
且，所以，即，
故选：C.
4.已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】构造函数，由得在上单调递增，由单调性可比较大小.
【详解】构造函数，
则
，
所以函数在上单调递增，
故，即，
即．
同理，，即．
故选：A.
5.已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性即可比较大小.
【详解】，令，求导得：，
当时，当时，因此函数在上递增，在上递减，
对于A，，则，即，A错误；
对于B，，则，即，B正确；
对于C，，则，即，C错误；
对于D，，则，即，D错误．
故选：B
6.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构建，利用导数判断的单调性，结合单调性分析充分性，再举反例说明必要性不成立即可.
【详解】令，则.
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
若，则，即，可得，即充分性成立；
若，例如，则，
但不满足，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
多选题
7.已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】构造函数，由已知求导可得在上单调递减，即可比较A正确，C错误，又是的唯一零点，所以，借助单调性可得，，即得B正确，D错误.
【详解】令，则，由题意知，
所以，即在上单调递减，所以，，故A正确，C错误.
又是的唯一零点，所以，又在上单调递减，
所以，，即，，故B正确，D错误.
故选：AB.
8.已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题设构造函数，利用导数运算得在上单调递增，从而利用单调性得，，，，即可比较四个选项式子的大小.
【详解】令，
对于任意的，
所以在上单调递增，
所以，A不对；
，B正确；
，C正确；
，D不对．
故选：BC
填空题
9.已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 .
【答案】
【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，进而比较大小.
【详解】构造函数，，，
则时，，
所以函数在上单调递增，
于是，
即，
所以，
故答案为：.
10.定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为 .
【答案】
【分析】根据的结构特征结合，可设，求导后即可判断其正负，从而判断的单调性，进而将转化为，利用函数的单调性即可求得不等式的解集.
【详解】由题意知，故，
设，则，
即在R上单调递增，
由，可得，
故即，即，则，
故，即的解集为，
故答案为：
解答题
11.证明≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
【答案】证明见解析
【分析】构造f(x)＝－x－1(x≥0)，利用导数判断f(x)的单调性，求得最小值，即可得证；构造g(x)＝x－sinx(x≥0)，利用导数判断g(x)的单调性，求得最小值，即可得证；
【详解】证明：令f(x)＝－x－1(x≥0)，则f′(x)＝－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sinx(x≥0)，则g′(x)＝1－cosx≥0，
∴g(x)≥g(0)，而g(0)=0，
∴x－sinx≥0，
∴x＋1≥sinx＋1(x≥0)，
综上，≥x＋1≥sinx＋1．
12.若函数在上可导，且满足，判断与的大小．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数法结合判断其单调性，再利用单调性判断.
【详解】令，
因为在上可导，且满足，
所以，
所以在R上递减，
所以，即，
所以.
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专题1：构造函数比较大小---自检定时练--学生版
【1】知识清单
①抽象函数的构造
②③
③
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1.已知函数在上可导，且，若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
5.已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
多选题
7.已知函数及其导函数的定义域均是，是的唯一零点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8.已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
9.已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 .
10.定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为 .
解答题
11.证明≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．
12.若函数在上可导，且满足，判断与的大小．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A B A AB BC
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】证明见解析
12.【答案】
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