6.3.1 二项式定理 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用
计数原理加以证明；
2.会应用二项式定理求解二项展开式；
3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发
现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、
“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；
4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.
新知引入
杨辉三角
早在11世纪中国杨辉发现二项式定理，比西方早近500年左右。
在人类科学历史中，根据英国人李约瑟教授的研究，中国在人类中早期的1000多年中，在科学技术上就已经取得1000多个世界第一。
这是中国的辉煌与荣耀，也是中国快速发展崛起的重要基础。
新知引入
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出．
牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用．
新知引入
不要盲目运算
寻找展开式规律
请同学们从项数、次数、每一项的结构特点及其系数等角度，观察上述三个展开式有什么特点？
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可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），相乘就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（ =0,1,2）的形式.
我们先来分析(a＋b)2的展开过程，根据多项式乘法法则，
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探究
两个盒里都有大小相同，质地相同的a、b两小球，每个盒分别取一个球，将两个球字母相乘，有几种结果？请试用分类加法计数原理进行分析.
第一类：选择0个b，结果为_______，有______个；
第二类：选择1个b，结果为_______，有______个；
第三类：选择2个b，结果为_______，有______个。
第一类：
选择0个b
第二类：
选择1个b
第三类：
选择2个b
则(a+b)2=(a+b)(a+b)
=____a2+____ab+____b2
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类比
取
0
个
b
项
系数
再来分析(a+b)3展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？
取
1
个
b
取
2
个
b
取
3
个
b
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
a3
a2b
ab2
b3
则(a+b)3=
(a+b)4=
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仿照：
都
不
取
b
项
系数
再来分析(a+b)n展开后有哪些项？各项的系数分别是什么？
取
一
个
b
取
两
个
b
取
三
个
b
取
n
个
b
(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)......(a+b)
an
an-1b
an-2b2
an-3b3 ......
bn
则(a+b)n=
.....
归纳总结
追问：每一项a与b的指数和为？a的指数按什么顺序排列？b 的呢？
(a＋b)n＝_______________________________________________________，（1）
总结：公式（1）叫做______________,右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，
展开式中一共有______项.
其中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做______________．
(a＋b)n展开式的第_______项叫做二项展开式的通项，记Tk＋1＝_____________．
n＋1
k＋1
二项式定理
二项式系数
k表示？
→k表示ｂ的指数
二项式展开式
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二项式定理形式上的特点
(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.
(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.
(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即.
(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.
(5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有
归纳总结
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)
(3)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　)
×
×
×
√
练一练
例1
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求的展开式.
解：根据二项式定理
+
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练习1
化简.
解：
=+
==
新知学习
归纳总结
二项式定理的双向功能
(1)正用：将(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：将展开式合并成(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
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例2
(1)求的展开式的第4项的系数；
(2)求的展开式中的二项式系数的系数.
解：(1)的展开式的第4项是
解：(2)的展开式的通项是根据题意，得
因此，的二项式系数为：=6的系数是.
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练习1
(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求的展开式中的系数.
解：(1)由已知得二项展开式的通项为，
所以第6项的二项式系数为，第6项的系数为.
解：(2)设展开式中的第项含的项，
则，
令，得，即展开式中第四项含，其系数为.
新知学习
归纳总结
要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数，后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关.
随堂练习
解:
1.求 (2a＋3b)6 的展开式的第3项.
2.求 的展开式的第r+1项.
解:
3.在 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是 .
-15
随堂练习
4. (1)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项；
(2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数；
(3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数.
解：
(1)
(2)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的系数为280.
(3)求 (1＋2x)7 的展开式的第4项的二项式系数为 .
课堂小结
二项式定理
()
二项展开 公式右边的多项式
二项式系数
二项展开式的通项
注：应用通项公式的注意点
(1)是展开式中的第项，而不是第项；
(2)公式中的指数和为，且不能随便颠倒位置；
(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；
(4)对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题.