6.3.2 二项式系数的性质 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
学习目标
1.理解二项式系数的性质.
2.会用赋值法求展开式系数的和.
3.会用二项式定理及其性质解决有关的简单问题.
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
复习引入
同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．
复习引入
探究
观察分析，这些数据有什么规律？
n (a+b)n展开式的二项式系数 (a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
1
6
15
20
15
6
1
1
5
10
10
5
1
1
4
6
4
1
1
3
3
1
1
2
1
1
1
①每行的两端都是1.
②递推性：除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和.
③对称性：与首末两端等距的两个二项式系数相等.
④增减性：先增后减，在中间项取得最大值.
杨辉三角(二项式系数表)
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探究
观察分析，这些数据有什么规律？
对于 展开式的二项式系数
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,
其定义域是
下面从函数角度分析二项式系数：
对于确定的n，我们还可以画出它的图象. 例如，当n=6时，函数 的图象是右图中的7个孤立点．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
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探究
观察分析，这些数据有什么规律？
n=7
n=8
n=9
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归纳总结
1. 对称性
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
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（1）当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
例如：当 n=8 时, 其图象是9个孤立点，在n=4时二项式系数最大
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2. 增减性与最大值
（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
例如：当 n=7 时, 其图象是8个孤立点，在n=3,n=4时二项式系数且最大
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所以在中间项取得最大值.
2. 增减性与最大值
归纳总结
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归纳总结
3. 各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于
即
（赋值法）
证明：
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证明：
3. 各二项式系数的和
推论：
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归纳总结
一般地， 的展开式的二项式系数有如下性质：
(1)
(2)
(3)当 时,
当 时,
(4)
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练一练
例1
(1)求证：1110 －1 能被100整除；(2) 求7777－7 被19除所得的余数.
(1)证明：∵
∴ 1110 －1 能被100整除.
（2）解:
∴ 7777－7被19除所得的余数是 19－6=13.
典例解析
练习1
9192 被100除所得的余数为(　　)
A.1 B.81 C.－81 D.992
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
故9192被100除所得的余数为81.
解析：(90＋1)92＝C92(0)×9092＋C92(1)×9091＋…＋C92(90)×902＋C92(91)×90＋C92(92).
练习2
设a∈Z，且0≤a<13，若512 021＋a能被13整除，则a＝______.
解析：∵512 021＋a＝(52－1)2 021＋a
＝522 021－522 020＋522 019－…＋521－1＋a
所以若512 021＋a能被13整除，则－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1.
归纳总结
整除或余数问题的处理方法
把底数写成与除数有关的二项式，再用二项式展开式，只考虑后面的项即可，要注意余数为非负数，且小于除数.
例2
设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R).
(1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值; (3)求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解　∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，
(1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1.
(2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，
因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
(3)分别令x＝－1，x＝1，
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
典例解析
练习1
若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
解：（1）令x＝0，则a0＝－1.
令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
（2）令x＝－1，得a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
例3
(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.
解:　(1)令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，
又展开式中各项的二项式系数之和为2n，
由题意知，4n－2n＝992，∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，
例3
(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.
假设Tk＋1项系数最大，
∴展开式中系数最大的项为
典例解析
练习1
(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？(3)求系数最大的项与系数最小的项.
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
（3）由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.
归纳总结
(1)二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)展开式中系数的最大项的求法
1．已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．29 B．210 C．211 D．212
解析：由题意知＝，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为 2n－1＝29.
2.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　)
A.一 B.二 C.三 D.四
解析：求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.
因为810＝(7＋1)10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，
所以第810天相当于第1天，故为星期一.
3．已知n展开式的二项式系数之和为128，求其展开式中含x3项的系数．
解：n展开式的二项式系数之和为128，所以2n＝128，解得n＝7.
令7－r＝3，解得r＝3.
随堂练习
性
质
对称性
增减性与最大值
二项式系数的和
当k<时，二项式系数是递增的
当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大
当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大
当k>时，二项式系数时递减的
与首末两端等距的两个二项式系数相等，即
课堂小结