7.3.1 离散型随机变量的均值 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
第七章 随机变量及其分布
1.能记住离散型随机变量均值的意义和性质，能计算简单离散型随机变量的均值．(重点)
2.会用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平．解决一些相关的实际问题．(重点、难点)
一.算术平均数与加权平均数
某人射击10次，射中的环数分别是： 7，7，7，7，8，8，8，9，9，10.
则他射中的平均环数是多少？
算术平均数
加权平均数
权数
加权平均是指在计算若干个数值的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数.
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，则X的概率分布列为：
二. 离散型随机变量的分布列
定值
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
求概率
列表
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便。
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，则X的概率分布列为：
二. 离散型随机变量的分布列
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
定值
求概率
列表
如何比较他们射箭水平的高低呢？
类似两组数据的比较，首先比较射中的平均环数，
如果平均环数相等，再看稳定性.
问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
思考1
如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
思考2
如何比较他们射箭水平的高低呢
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，.
甲次射箭射中的平均环数为.
当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，
这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
思考2
如何比较他们射箭水平的高低呢
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
假设乙射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率(比例)分别为，，，.
甲次射箭射中的平均环数为.
当足够大时，频率稳定于概率，即稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
即乙射中平均环数的稳定值(理论平均值)为8.65，
这个平均值的大小可以反映乙运动员的射箭水平.
如何由分布列计算他们射中的平均环数呢？
思考2
如何比较他们射箭水平的高低呢
问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
上述两个平均值的计算有什么共性？
稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
稳定于7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
结论：从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
均值是随机变量可能取值及其对应的取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
权数恰好是随机变量
X取相应值得概率
权数
思考3
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
权数
加权平均数
三. 离散型随机变量的均值（数学期望）
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少
由题意得，X的所有取值为：0,1，则：
解：
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
所以X的分布列为：
X 0 1
P 0.2 0.8
四. 求离散型随机变量的均值（数学期望）
X 1 0
P p 1－p
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
那么
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值.
由题意得，X的所有取值为：0,1，则：
解：
即点数X的均值是3.5.
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
四. 求离散型随机变量的均值（数学期望）
归纳求离散型随机变量期望（均值）的步骤:
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列（表格）；
(4)求均值：由期望（均值）的定义求出E(X)
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
归纳总结
求随机变量的分布列
练习.随机变量X的分布列是
X 4 7 9 10
P 0.3 a b 0.2
若E(X)=7.5，则a=____，b=______.
0.4
0.1
问题2：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？即E(X+b)和E(aX)(其中a，b为常数)分别与E(X)有怎样的联系？
五. 随机变量均值（数学期望）性质及应用
证明：设X的分布列为：
所以，下面的结论成立：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则X的数学期望（或均值）为 ：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
则aX+b的数学期望（或均值）为 ：
E(aX+b)＝(ax1+b)p1＋ (ax2+b)p2 ＋…＋ (axn+b)pn
＝a(x1p1＋ x2p2 ＋…＋xnpn )+b(p1+p2 ＋…＋ pn)
＝ aE(X) +b
五. 随机变量均值（数学期望）性质及应用
例3 已知随机变量 的分布列为
-2 -1 0 1 2

（1） 求的值；
（2） 求；
（3） 若，求.
解:(1)由随机变量分布列的性质，得，解得.
解:(2) .
解:(3) 由公式，
得.
练习2.随机变量X的分布列如下表：
X 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则E(X)=_____.
2.4
(2)若Y=2X+1，则E(Y)=______.
5.8
例4 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
例4 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立.
∴X的分布列如表：
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
∴X的均值为E(X)=0×0.2+1000×0.32+2000×0.288+3000×0.192=2336.
变式:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同 若不同，你认为哪个顺序获得公益基金的均值最大
解：
同理
当按A,C,B的顺序时
当按B,A,C的顺序时
当按B,C,A的顺序时
当按C,B,A的顺序时
当按C,A,B的顺序时
E(X)=2144,
E(X)=2256，
E(X)=2112
E(X)=1872，
E(X)=1904.
当按A,B,C的顺序时
E(X)=2336
可以发现,按由易到难的顺序猜歌,
得到公益金的期望值最大.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
变式:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同 若不同，你认为哪个顺序获得公益基金的均值最大
例5 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢
总损失越小越好，
分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？
例5 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:方案1 运走设备，搬运费为3800元；方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢
总损失越小越好，
解：
设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3 .
采用方案1，有
采用方案2，有
采用方案3，有
∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.
一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：
如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小。不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。
用期望做决策
用期望来观察风险、分析风险进而做出正确决策，在生活中较为常见，如股票投资决策、某种试验的决策等.
数学期望作用多多！
一般地，若离散型随机变量的分布列为:
…
…
则称
为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望.
1.数学期望
一般地
2.求均值的步骤
确定取值：
1
2
求)概率：
3
写分布列：
4
求均值.