2024-2025学年上海市黄浦区高二上学期期终调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市黄浦区高二上学期期终调研测试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.同时掷两颗骰子，则所得点数互不相等的概率是．
A. B. C. D.
2.如图，在正方体中，，，分别为，，的中点，则与平面垂直的直线可以是( )
A. B. C. D.
3.某校有学生人，其中男生人，女生人某人想了解该校全体学生的身高单位：信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量如果已知男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为，但原始测量数据已丢失设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是 ．
A. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的
B. 若，无法算出总样本的均值与方差
C. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的
D. 若，无法算出总样本的均值与方差
4.在多面体中，已知，且它们两两之间的 距离为若，则该多面体的体积为 ．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.与的等差中项为 ．
6.正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为 ．
7.已知某校高一年级所有学生的体重单位：，且最大值为，最小值为在制作频率分布直方图时，要对这些体重数据进行分组若组距为，则将数据分成 组为宜．
8.在长方体中，若，则此长方体的中心到顶点的距离为 ．
9.某校高三年级名男生的身高数据单位：如下：、、、、、、、、、该组数据的第百分位数为 ．
10.给定点，则在方向上的数量投影为 ．
11.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 ．
12.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
13.设、是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则或；若，则则其中正确命题的序号为 ．
14.甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中球的概率为 ．
15.如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为、底面半径为从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的倍，则这个工艺品的表面积含最下边圆柱的下底面积约为 精确到
16.已知正四面体的棱长为，是空间一点，若，则点到平面的距离的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某大型超市从一家贸易公司购进袋白糖．为了了解这些白糖的重量情况，从中抽取了袋白糖，称出各袋白糖的重量单位：如下：

若设这袋白糖的平均重量为，标准差为．
求与精确到；
试估计在这袋白糖中重量位于与之间的共有多少袋？所占的百分比是多少？
18.本小题分
在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点．
求证：平面；
若平面与平面所成的角为，求证：平面．
19.本小题分
为了推广一种新饮料，某饮料企业开展了有奖促销活动：将罐饮料装一箱，每箱中都放置罐能中奖的饮料．
若甲从一箱这种新饮料中随机抽取罐，能中奖的概率为多少？
若甲、乙、丙三人中的每个人都从自己购买的一箱这种新饮料中随机抽取罐，试判断：“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”与“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖”，哪一个发生的可能性更大？并说明理由．
20.本小题分
如图，在圆锥中，是底面圆的直径，点，在圆上，垂直平分线段，是的中点，．
求二面角的正切值；
设与交于点，是圆上的动点，，与平面所成角的大小分别为，求，并证明．
21.本小题分
若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”．
若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式；
若，是首项为，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值；
设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.【答案】
17.【小问详解】
根据题意，，
．
【小问详解】
质量位于与之间等于在区间上的白糖的袋数，共有袋，所占的百分比为．
由此估计袋白糖中质量位于与之间的共有袋，所占的百分比为．

18.【小问详解】
取中点，连接，，
为的中点，且，
是的中点，底面是平行四边形，且，
且，
四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
平面．
【小问详解】
平面，所以为与平面所成的角，
，又平面，，，
即为等腰直角三角形，
为中点，，
又平面，平面，，
又底面是平行四边形且，平行四边形为矩形，则，
又平面，平面，
平面，，
又平面，
平面，
由可知，平面．

19.【小问详解】
罐饮料机抽出罐有种取法，
两罐都不中奖有种取法，
所以两罐都不中奖的概率，
故甲能中奖的概率为；
【小问详解】
由可知随机抽取罐，能中奖的概率为，不能中奖的概率为，
则“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”的概率；
“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖”的概率，
所以“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”比“甲、乙、丙三人都中奖或都未中奖”发生的可能性更大．

20.【小问详解】
设与的交点为，过点作的平行线交底面圆于，
因为点，在圆上，垂直平分线段，是 的 中点，
所以，又因为底面圆，底面圆，
所以
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
，
因为底面圆，底面圆，所以又因为且，所以平面，所以平面的法向量为，
则，，
设平面的法向量，
则
设二面角所成的平面角为，
所以
则，由图可知为锐角，所以，
【小问详解】
由可得，
设平面的法向量，
则
，
，
所以，
设，
因为为底面圆上的动点，底面圆的方程为，
所以，
则，，，
，
令，则或，
所以，所以，
因为 在上单调递增，
所以．

21.【小问详解】
设等差数列的首项为，公差为，则且，
由数列是数列的“隔数列”，
则，且，
所以且，即，所以或，
所以或；
【小问详解】
设的公比为，
因为数列是数列的“隔数列”，
即数列是数列的“隔数列”，
所以或，
解得或，即或，
所以或，
所以整数的值为．
【小问详解】
因为是的“隔数列”，
所以与都是严格增数列，
由是严格增数，可知对一切正整数恒成立，
又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立，
所以且，
这时因为对于一切大于等于的整数恒成立，
故必有，
即对一切正整数恒成立，
即对一切正整数恒成立，
即对一切正整数恒成立，所以，即，
所以的取值范围为．

第1页，共1页