2024-2025学年天津市河东区高二上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市河东区高二上学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
2.已知数列中，，且，则这个数列的第项为( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：的焦距为，则的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
5.抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则( )
A. B. C. D.
6.已知曲线：，下列结论不正确的是( )
A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
7.已知，，成等差数列，直线与圆交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是( )
A. B. C. D.
9.已知数列满足：，则下列命题正确的是( )
A. 若数列为常数列，则
B. 存在，使数列为递减数列
C. 任意，都有为递减数列
D. 任意，都有
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ．
11.已知数列为等比数列，若，则数列的前项和为 ．
12.等差数列中，公差，且，则 ．
13.记抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为，则 ．
14.设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为 ．
15.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为的长方形纸，对折次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推则对折次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
直线与双曲线相交于两点．
求的长；当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点？
17.本小题分
设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．
求数列，的通项公式；
当时，记，求数列的前项和．
18.本小题分
设数列的前项和，．
证明：数列是等比数列；
求的通项公式．
19.本小题分
已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．
求的离心率；
设是与的公共点，若，求与的标准方程．
20.本小题分
已知等比数列的前项和为，且
求数列的通项公式．
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，其中，，成等差数列成等比数列若存在，求出这样的项若不存在，请说明理由．
参考答案
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16.解：联立方程组，得
所以

由第问，有
以为直径的圆经过坐标原点，
即
解得，此时满足条件 ．
17.解：由题意，
即，
解得 或，
故或；
当时，由知，，
，
于是 ，
，
可得，
，
故．
18.解：
，
，
即，
即，
即，
即，
又，
数列是以首项为，公比为的等比数列．
【小问详解】
由知：，
即，
当时，，
，
又也适合上式，
故．

19.解：，轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立
解得
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
由知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或舍去，
由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为．

20.解：由 ，得，两式相减，得．数
列是等比数列，又时，代入可得，，．
由题意得，
即，故．
假设在数列中存在三项，，其中，，成等差数列成等比数列，
则，即，
、、成等差数列，，
则式可化为，故．
这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，其中，，成等差数列成等比数列．
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