2024-2025学年天津市红桥区高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市红桥区高二上学期1月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名．现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为
A. B. C. D.
2.从含有质地均匀且大小相同的个红球、个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于( )
A. B. C. D.
3.从某学校高二年级随机抽取名学生进行数学能力测试，测试成绩为，，，，，，，，，，设学生测试成绩的平均数、中位数、众数分别为，，，则( )
A. B. C. D.
4.有一个人在打靶中，连续射击次，事件“至少有次中靶”的对立事件是( )
A. 至多有次中靶 B. 次都中靶 C. 次都不中靶 D. 只有次中靶
5.某商场在今年端午节的促销活动中，对月日时至时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知时至时的销售额为万元，则时至时的销售额为
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
6.在数列中，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列，则的前项和，( )
A. B. C. D.
8.已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.将数字，，，填入标号为，，，的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知为等差数列，若，则 ．
11.已知为等比数列，若，，则 ．
12.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为 ．
13.在的展开式中，的系数是 ．
14.观察下列各式：
照此规律，当时，
．
15.某学校准备组建一个人的足球队，这人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种用数字填写．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知展开式的二项式系数和为．
求的值；
若展开式中的常数项为，求的值．
17.本小题分
已知是公差为的等差数列，其前项的和为，是公比大于的等比数列，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和为．
18.本小题分
已知为等差数列，为等比数列，，，．
求和的通项公式；
设，求数列的前项和为；
若的前项和为，求证：．
19.本小题分
设数列的前项和为，已知，，．
求的值；
求证：为等差数列；
证明：对一切正整数，有．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：
因为展开式的二项式系数和为，所以；
因为展开式中的通项公式为，整理得，
令，得，
则，解得．

17.解：
因为等差数列的公差，且，
所以，解得，所以，
设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，
解得舍去，或，所以．
由得，
所以

18.解：
设等差数列的公差为，
因为，可得，
又因为，解得，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，可得，
解得，所以．
因为，
所以，
则，
两式作差得：，
则，整理．
因为的前项和，
则，，
又，
所以．

19.解：
因为，，
所以当时，，
又，所以；
因为，，
所以 ，
所以当时， ，
由，得，
因为，所以，
所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列；
由知，所以，
当时，上式显然成立，所以，，
当时，，原不等式成立，
时，，所以原不等式成立，
当时，因为，
所以，
所以
，
当时，所以原不等式成立，
综上，对一切正整数，有．

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