2024-2025学年山东省东营市高二上学期期末质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省东营市高二上学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
3.平面的斜线交平面于点，过定点的动直线与直线垂直，且交平面于点，那么动点的轨迹是( )
A. 线段 B. 直线 C. 圆 D. 抛物线
4.已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知，，是边长为的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，且，则异面直线，所成角的大小为( )
A. B. C. D.
8.若直线与椭圆交于，两点，点满足，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，异面，，，，，则
D. 若，，，则
10.将个男生和个女生排成一排，下列表述正确的有( )
A. 男生不在头尾的不同排法有种
B. 男生不在头尾且不相邻的不同排法有种
C. 假设这个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有种
D. 个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种
11.已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中，均为常数，动点的轨迹称为曲线，则下列说法正确的是( )
A. 曲线一定都关于坐标轴对称
B. 曲线的离心率为
C. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
D. 设曲线为曲线，曲线与轴交于，两个不同的点，，，，，是线段的等分点，分别过这五个点作斜率为的一组平行线，交曲线于点，，，，则，，，这条直线的斜率的乘积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为 用数字作答
13.已知直线与圆交于，两点，，则过点的圆的切线长为 ．
14.已知平面平面，线段在平面内，为线段的中点，，，点为内的动点，且点到直线的距离为，则动点的轨迹的离心率为 ，如果，在平面内过点的直线与交于，两点，则三棱锥的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
下图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在时，拱顶离水面，水面宽那么当水面下降后．
水面的宽为多少求此时横截面中水面中心到抛物线上的点距离的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为
证明：平面
若直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．
17.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线上．
求双曲线的方程
设双曲线的左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，在第一象限，记直线，的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值若不是定值，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．
求证：平面
求二面角的余弦值
线段上是否存在点，使得平面若存在，求线段的长若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点．
若点为椭圆上异于点，的点．
若直线，斜率分别为，，求证：为定值
若直线，点在轴上的射影为点，求证：，，三点共线．
设在第一象限，点为椭圆的上顶点，点关于直线的对称点为点，直线与直线交于点，且，求直线的方程．
参考答案
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15.解：以顶点为坐标原点建立如图所示坐标系，设方程为，
因为在抛物线上，代入得，所以抛物线方程为，
令，解得，水面的宽为

设为抛物线上动点，则水面中心到抛物线上的点距离为：
，
所以．
故此时水面中心到抛物线上的点距离的最小值为
16.证明：设的中点为，连结，因为，，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，所以平面．
因为平面，取的中点，连结，，
则，，所以平面，
所以为与平面所成的角，故，在中，，
在中，，，所以，所以所以．
因为平面，平面所以，
又因为，、平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
在在中，，，所以．
在在中，，，所以，
由，得点到平面的距离．
17.解：依题意，，
解得，，
故双曲线的方程为．
设直线的方程为，，，
由整理得，
，
由韦达定理得：，，
得：，
由题，，
所以
，
所以是定值，．
18.解：在中，，
所以，即，又因为，
在平面中，，、平面，
所以平面．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又所以，
由已证，且已知，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，．
所以，，，，
因为为中点，
所以，
由点在上，且知，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，于是，
又因为由已证平面，所以平面的一个法向量为，
，，
由题知，二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为．
设是线段上一点，则存在使得，
因为，，
所以，
平面，所以要使平面，
当且仅当，即，
整理得：，解得，
因为，所以线段上不存在点，使得平面．
19.解：因为椭圆离心率为，所以．
设，则，则，解得：．
设，则，整理得．
．
依题意得：，，
因为所以，即：．
而，
所以，故B、、三点共线．
依题意得：方程为，与联立得：
在中，由正弦定理可得：，
又，
所以，即，
所以点的坐标为，
代入椭圆方程：，解得．
故直线的方程为
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