2024-2025学年河南省郑州市高二上期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市高二上期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列的前项和为，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，，，则( )
A. B.
C. D.
6.数列满足，，其前项的积为，则( )
A. B. C. D.
7.已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形周长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在边长为的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点不包括端点满足，则线段的长度最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，则下列结论正确的是( )
A. 与，共面
B.
C. 在上的投影向量为
D. 与夹角的余弦值为
10.已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是( )
A. B. 数列的最小项为
C. D. 能使时的最大值为
11.椭圆的两个焦点分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若，过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为
C. 若上存在点，使得，则的取值范围为
D. 若，为上一点，，为左焦点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则 ．
13.一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求反射光线所在的直线方程 ．
14.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则 结果用，表示
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．
Ⅰ求圆的标准方程
Ⅱ过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
已知抛物线上的点与抛物线焦点的距离为，点到轴的距离为．
Ⅰ求抛物线的方程
Ⅱ若点在第一象限，则经过抛物线焦点和点的直线交抛物线于点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，侧棱底面，点在线段上运动．
Ⅰ证明：平面
Ⅱ若平面与平面的夹角为，试确定点的位置．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且
Ⅰ求数列的通项公式
Ⅱ在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．
(ⅰ)记，求数列的通项公式
(ⅱ)求数列的前项和．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
Ⅰ在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得圆变换为椭圆
Ⅱ已知曲线经过平面直角坐标系中的伸缩变换得到的曲线是，且与轴有，两个交点在的左侧，过点且斜率为的直线与在轴右侧有，两个交点．
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)若直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
参考答案
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15.解：设圆的标准方程为，
由此可以圆心的坐标为，
因为圆心在直线上，
所以
因为，是圆上两点，所以，
根据两点间的距离公式，有，
即--由可得，，
故圆的方程为．
由知，圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离为，符合题意若直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
16.解：抛物线的准线方程为：，由题意可得整理可得：，，．
所以抛物线为：
由题意可知，则直线的方程为：
抛物线的准线方程是
联立，可得点的纵坐标为．
因为焦点的坐标为，故直线的方程为，
把式和抛物线联立，即消去得
又因为点的纵坐标为，故可得点的纵坐标为
点和点的纵坐标相等，于是可得平行于轴．
17.证明：底面，底面，
所以在中，，即，
又，，平面
所以平面
解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，依题意得：，，，，．
由可知，平面，所以平面的一个法向量，
设，设点的坐标为，则，，
即，可得点的坐标为，
所以，
设是平面的法向量，则，，
即，取，则，，
所以是平面的一个法向量．
因为平面与平面的夹角为，
所以，，
解得，所以点为线段的中点

18.解：解：当时，，
当时，，
即．
又，所以数列是为首项，为公比的等比数列，
所以．
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
为新数列的第项，为新数列的第项，
，
即，
即．
，
，
得，，
，
，
所以．
19.解：将伸缩变换代入
得到，则
故所求的伸缩变换为
因为经过平面直角坐标系的伸缩变换得到的曲线为，
故可得的方程为，即
与轴的两个交点，的坐标分别是，，因为直线过点，斜率为，所以直线的方程为，代入，
消去并整理得，设，，
则，
，，
因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且，
解得或，所以的取值范围是
证明：由知或，所以，
，
所以，为定值．
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