2024-2025学年广东省江门市高二上学期调研测试（一）数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省江门市高二上学期调研测试（一）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支人的宣传队，其中男队员人，女队员人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断
5.在棱长为的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置盒能够中奖的牛奶若从一箱中随机抽出盒，能中奖的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知点，分别是双曲线的左右焦点，以线段为边作等边三角形，线段，的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去天大泽脐橙的日销售量单位：结果如下：

下列说法正确的是( )
A. 该水果店过去天大泽脐橙的日销售量的中位数为
B. 该水果店过去天大泽脐橙的日销售量的平均数大于
C. 该水果店过去天大泽脐橙的日销售量的极差为
D. 该水果店过去天大泽脐橙的日销售量的第百分位数为
10.已知抛物线的焦点为，为原点，点为抛物线上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的准线方程是
B. 若，则
C. 过点的直线与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则
D. 点是直线上一动点，则的最小值是
11.已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为( )
A. 若，，，则
B. 若，则
C. 若，，，，则不论取何值，，，，四点都共面
D. 若，，，则点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据，，，，的方差是 ．
13.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为，若，则 ．
14.江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆和半椭圆围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面图，点为半椭圆的焦点，过原点的直线交于点，交于点，则的最大值为 点是上一点，点是半圆与轴的交点如图所示，点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，圆经过三点，，．
求直线与圆的方程
求直线被圆所截得的弦长．
16.本小题分
盘，全称闪存驱动器，它是一种使用接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过接口与电脑连接实现即插即用有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的盘，其中银色盘个，黑色盘个，从中任取个盘．
求取出的个盘都是黑色盘的概率
如果是个银色盘，个黑色盘，已知取出的个盘都是银色的概率为，那么是多少
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．
证明：平面
求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知点是双曲线的一个焦点，且过点．
求双曲线的渐近线方程
直线与双曲线相交于，两点，若，求的面积
直线与双曲线有唯一公共点，过点与直线垂直的直线分别交轴、轴于点，，当运动时，求点的轨迹方程．
19.本小题分
已知椭圆，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆的右顶点三点不共线如图．
求椭圆的标准方程
证明：直线与的斜率之积为定值
以椭圆的长轴为旋转轴，将椭圆旋转，得到椭圆如图所示，椭圆在平面内，椭圆在平面内，椭圆上是否存在定点，使得平面平面恒成立若存在，求的坐标若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意，联立解得，即交点坐标为，
直线与直线相互垂直，则直线的斜率，
则直线的方程为，化简得，
所以直线的方程为，
设圆的一般方程为，
可得方程组
所以圆的方程为．
由圆的方程，即，
可知圆心的坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
由于，所以直线与圆相交，设交点为，，
则，
所以直线被圆所截得的弦长为
16.解：用，，，表示个银色盘，用，，表示个黑色盘，
则该试验的样本空间可表示为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个样本点，
设事件“两次取出的都是黑色盘”，
则，，，共有个样本点，故．
设事件“两次取出的都是银色盘”，
则，，，，，，共有个样本点，
故，，
由可知当时，样本点个数为，越大，样本点个数越多，
故，又因为，故取，．
若，则用，，，表示个银色盘，用表示个黑色盘，
则，，，，，，，，，，不满足题意，
若，则用，，，表示个银色盘，用，表示个黑色盘，
则，，，，，，，，，，，，，，，
，满足题意，故．
17.解以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系故 F，，，，
故，，，
，，
，，
又因为，
平面
故平面
，，，，故，，，
设是平面的一个法向量，
则
令，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，，，
，
故直线与平面所成的角的余弦值为．

18.解：由双曲线的定义可知，
所以，，即双曲线的渐近线方程为；
由可知双曲线的标准方程为，
设，，
由题意，联立方程组得，消去得，
，，
由 ，
解得，即，
当时，代入式得，解得或，即，，
则的面积，
当时，代入式得，解得或，即，，
则的面积，
所以，综上所述，的面积为或，
将直线代入，
化简得，
由，解得，
所以点的横坐标为，
将代入可得，，
由此点的坐标为，
由此过点与垂直的直线的方程为，
所以，，即点，
由，可得点的轨迹方程为．
19.解：，所以，
由，得，，
所以椭圆的标准方程为
若直线的斜率不存在，即的方程为
可得，，
则，，得
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，
点，，
将
代入得，
化简得，
所以有，，
又由，，
则，
，
，
所以，
由此可得直线与的斜率之积为定值
在空间直角坐标系中，，设，，
则，，
设平面的法向量为
，
令，则，，
所以有，
同理可得平面的法向量为，
由平面平面，
所以，
又由
所以有，
在平面内，由椭圆，则有，所以得，
解得，，存在这样的定点，
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