小学数学人教版四年级上数学广角——优化 田忌赛马教学设计

田忌赛马
一、教材分析
田忌赛马是数学广角——优化中的一课，通过古代故事的分析，渗透博弈论的全局观与取舍策略，在对抗竞争中寻求最优对策，渗透“运筹优化”思想。本节课要让学生经历自主探究的过程，体验解决问题策略的多样化，并在寻求解决问题最优方案的过程中积累数学基本活动经验，感悟优化的数学思想。除此之外，教师要引导学生从故事中发现、提出数学问题，运用数学方法分析问题、解决问题，也有助于学生获得对数学的新认识：数学绝不仅仅是计算，数学也能优化对策。
二、学情分析
田忌赛马的故事脍炙人口，学生对孙膑的取胜策略比较清楚，没有新奇感。学生在此前已经学会三个元素的排列问题，所以大部分学生都能有序地排列出田忌六种出马顺序。对于可能性，学生有一定的感性认知，但小部分学生能主动想到用分数来表示简单事件的可能性。
三、教学目标
1.经历用数学的方法分析田忌赛马取胜的过程，积极探索最优对策。
2.感受统筹优化的思想，体会策略的重要性，能运用对策解决生活问题。
3.初步形成从数学的角度发现、提出、分析、解决问题的能力，增强应用意识和实践能力。
四、教学重难点
教学重点：用数学的方法分析田忌取胜策略。
教学难点：从不同情境中体会以弱胜强策略的唯一性。
五、设计思路
本设计围绕着“优化思想”，贯穿三大任务，让学生在思考中体会最优策略。从由学生熟悉的“田忌赛马”入手研究对策问题，设置“实力排序”、“探究策略”、“再次赛马”三个环节。学生从定性分析转变为比较数的大小的定量刻画马的实力强弱。基于此，学生经历多样化的赛马策略，探寻这唯一策略背后的优化思想。最后，学生在再次赛马的想象中，让双方“博弈”起来，体验不同情况下田忌获胜的可能性，从而反复体会以弱胜强策略的唯一性，补足以弱胜强策略的前提。这样的设计让田忌赛马更富有数学味，让学生的数学学习从表征、探究、想象，一步步走进深度学习。
六、教学流程
（一）问题导入，回顾故事
师：你们都清楚田忌赛马的故事了吗？谁能说一说这两轮比赛的情况？
评价：第一个勇敢发言的小姑娘／小伙子，讲得不错。
师：为了看得更清楚，我们还可以用表格来记录这两轮比赛的情况。借助表格，谁再来回顾一遍？
师：同意吗？看来大家都非常了解比赛情况。我们今天就用数学的眼光来研究田忌赛马。板书：田忌赛马
[设计意图]回顾田忌赛马比赛情况，并为后续比较排序作铺垫。
（二）定量刻画，探究对策
1.理清问题条件
（1）排序
师：齐王和田忌各自都有3匹马，一共有几匹马？我们先来研究这6匹马的实力谁强谁弱。谁声音响亮，来读任务要求：
1.根据比赛情况，按实力由强到弱给齐王、田忌6匹马排排序
（提示：6匹马用数学符号（字母或数字）来表示）
2.先自己独立思考完成，再四人小组交流你的想法
师：大家听明白了吗？提醒下排序时可以用大于号连接，写在学习单的第一大题。
师：我收集了同学们的作品。
预设1：A>B>C>D>E>F或A>a>B>b>C>c
师：谁看懂了吗？
师：他是用不同字母来表示这六匹马的。这个排序对吗？
师：那他是怎么根据比赛排出这个顺序？
师：你根据第一轮知道了同等级的马都是齐王的厉害。那B>C、D>E，你们又是怎么知道的？
预设：根据最后一次比赛的结果。
师：看来田忌的马还是比齐王低一等级的马强。
预设2：序号
师：老师这里还有一副作品，瞧，他又用什么表示这六匹马的呢？
预设：序号
师：看来不仅用字母，也可以用数字编号。
预设3：9>8>7>6>5>4（标出）
师：第三幅作品也是用数字表示的。你能看明白吗，请这位小作者上来介绍下他的想法。
师：谁听明白了吗？（那这个数字和马的实力强弱有什么关系？）
师：这个小朋友很有想法。他是用数字的大小排序来表示马的实力强弱，数字越大，实力越强。
师：刚才你们的表示方式都很简洁，今天我们就用这种好方法来研究田忌赛马的问题。
[设计意图]这是将实际问题数学化的第一步，使教学从一开始就显现了数学味。直截了当地从数学的视角提出问题，学生会用多样的数学符号来表征马的实力强弱，从定性分析转变为比较数的大小的定量刻画，促成了学生的数学化表现。
2.枚举验证策略的唯一性
（1）赋值
师：现在毛老师的数字范围是1～10分。我们现在一起来给马的实力打打分。
师：如果齐王上、中、下三种马的实力分别是9、7、5，那么田忌三种马的实力可以是？ 第二轮呢？下等马是？上等马呢？
（2）唯一性
师：第二轮田忌获胜了，那这种出马顺序是不是唯一能赢齐王的对策？（停顿）我来采访下。
预设：是的／还有其他可能（不错，大胆猜想）
师：到底是不是唯一的呢，我们该怎么来验证？
师：好，接下来你们试着把田忌所有的出马顺序列一列，完成学习单的第二大题。
师：我收集了两位同学的作品。第一幅，大家先判断列得对不对？（6种出马顺序，只有一种能赢，列对的请举手）再出示一副作品，比较下哪位同学列得好？好在哪里？
师：思路很清楚。先确定第一场，再讨论第二场和第三场。我们一起在黑板上有序地思考一遍。你们说，我来写。
师：看来一共有六种出马顺序，只有这种是唯一获胜的。
师：哎，为什么这种出法是唯一的获胜策略呢？
师：一针见血，谁听明白了？
师：看来孙膑是在全盘考虑。田忌只有用最弱的打掉对方最强的，赢得剩下两场比赛，才能三局两胜获得整体胜利。（板贴全盘考虑）
【设计意图】先让学生猜想是否只有一种能赢，从争论中确定验证的方法。在列表一一尝试后发现，只有一种获胜策略。并由此探究策略背后的优化思想。
3.再次赛马，探究概率
师：问题来了，如果田忌不知道齐王的出马顺序，那么田忌获胜的可能性是多少？
预设：六分之一（追问：六分之一你是怎么想的？谁听懂了？）
师：六种对策里只有一种能赢，可以说赢的可能性是六分之一。那为什么田忌原本获胜的可能性这么小，孙膑却觉得一定能赢呢？
预设：因为齐王还是按原来的顺序出马。
师：看来，他是知道齐王会出什么，才找到了这个唯一获胜策略。
师：现在弄清楚了齐王失败的原因，发挥你的想象力。如果历史上齐王和田忌再次赛马，你觉得齐王会怎么办？（列举出问题情景）
预设1:齐王改变顺序，但齐王先出
预设2:齐王让田忌先出
预设3:齐王改变顺序，同时出（都不想先出，所以双方同时出）
预设4:齐王换马
（评价：想象力真丰富啊，你也很会思考）
师：同学们真有想象力，想出了这么多种方法，我们先来讨论前三种方法。请看任务要求，在这三种方法下，田忌赢的可能性分别是多少？
提示：1.可以在学习单的表格里改一改齐王出马顺序，想一想
2.思考完在四人小组中分享你的想法
汇报第一种方法：
师：先来看第一种方法，齐王改变顺序，但齐王先出，田忌赢的可能性是多少？
预设：六分之一、百分之百。
师：哦，这个小伙子说田忌百分之百赢，那你上台来当田忌，有哪个齐王想挑战？数字卡片当马。面朝大家，记住每次出马时把卡片举高，大声说你出数字。台下同学判断最终谁赢，可以吗？声音响亮，开始。［田忌果然赢了，还有齐王要挑战吗？］
师：你居然又赢了。哎，为什么田忌还是一定能赢？
预设：1. 齐王先出（追问：齐王先出又怎么了？）
2.他还是用下等马对战上等马、上等马对战中等马、中等马对战下等马。
（他抓住关键了，谁听明白了？你听明白什么了？）
师：是啊，只要是齐王先出，田忌就能用刚才的唯一策略取胜。
汇报第二种方法：
师：再来看第二种方法，如果让田忌先出，田忌赢的可能性是多少？
预设：1.还有同等级对抗（齐王的实力强，同等级对抗也能赢。齐王还可以怎么对阵？）/可以用田忌的策略
（追问：真是聪明的齐王，只要田忌先出，齐王也能用田忌的获胜策略对阵。）
师：对比下这两个故事，你有什么想说的？
师：是啊，决策时要知己知彼，后发制人。（知己知彼）
汇报第三种方法：
师：再来看第三种方法，如果齐王改变顺序，同时出，田忌赢的可能性是多大？
预设：六分之一。
师：为什么田忌赢的可能性还是六分之一？请你拿着学习单上台解释下
预设：
讲得出来（追问：思路非常清楚，不知道台下的同学有没有听懂？都点点头，那你来选一位。）
讲不太出来。（追问：快讲到点子上了，谁再来讲讲齐王的出马顺序换成“5、7、9”，为什么田忌赢的可能性还是六分之一？）
师：我们全班一起再来验证，如果齐王的出马顺序换成“5、7、9”，田忌仍是这六种排列。我们一起来当裁判，第一轮，获胜方是什么？
师：田忌六种出马顺序中，只有按6、8、4出马可以获胜，所以获胜的可能性还是？（六分之一）
师：看看如果同时出，齐王改变顺序，田忌只有碰巧怎么对阵才能赢？
师：是啊，只有碰巧这样对阵，才能输一局，赢？（两局）
汇报第四种方法：
师：齐王如果换马，田忌还有没有可能赢吗？马的速度最高是10，请同学们四人小组合作再次想象，把你们的思考过程写在学习单的反面。谁来汇报你换什么马？田忌还能赢吗？
预设：
1.10、9、8，4、8、6，田忌肯定是输的。（如果排的不对，那直接说，那如果是4、8、6呢？）
（好的，我帮你记录，大家一起判断，田忌第一场胜？第二场？负第三场？平，田忌输了。谁还想汇报？）
2.10、8、6，4、8、6，田忌肯定是输的。（记录，大家再一起判断，还能赢吗？）
师：为什么没办法以弱胜强了？
师：用最弱的打掉对方最强的，也没办法赢剩下两局。
师：有没有齐王换马，田忌还可能能赢？（记录，大家再一起判断）
预设：10、7、5，田忌还是能赢。
师：为什么还能以弱胜强？
师：看来双方实力必须要比较接近，才能以弱胜强（板书实力稍弱）
师：我们讨论了这么多情况，现在谁来总结下田忌是怎么以弱胜强的？
总结：田忌正是在全盘考虑、知己知彼、实力稍弱的前提下， 找到“最优策略”最终以弱胜强。
［设计意图：以再次赛马为情境，学生发散性地想出各种方法。小组讨论不同的对策中赢的可能性是多少，帮助学生在不同规则下充分体会博弈，补充以弱胜强策略的前提“全盘考虑、知己知彼、实力稍弱”。］
三、应用巩固
（一）五局三胜
师：学校的排球比赛正在进行，比赛规则是五局三胜，第2队该怎么对阵才能赢？请你连一连
师：可以吗？2队胜了几局？（鼓掌通过）
师：这些获胜的对策有什么相同的地方？
（追问：为什么要让最弱的同学对战1队强的同学？）
师：你们学习能力真强。决策时要看懂比赛规则，全盘考虑，整体取胜。
［设计意图：创设生活情境，提出结构上更为复杂的“田忌赛马”问题，让学生在迁移解决问题，提炼出更为一般的寻找最佳对策的思路。］
（二）抢数游戏
师：两个人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或者两个连续的数，谁先报到12，谁获胜。先想一想有什么必胜策略，20秒时间思考。
师：想好了吗？试着用你的策略和同桌过招，开始！
师：同学们先玩到这，现在哪个同学能够很自豪的说：“我一定能赢”。哇！高手真多呀！
师：老师请一位同学上来当擂主，请你。谁来挑战？请你。其他同学安静地当裁判，我们要认真地观察一下擂主有什么必胜策略。
师：你是擂主，你有什么要求？好的，现在开始。
预设1:如果不成功，谁能来帮帮擂主？
（为什么要先抢到9这个关键数？那要想抢到9，那又要抢几呢？要抢到6呢？要抢到3呢？让对方先报。板书12—9—6—3－对方先出）
现在这个必胜策略对不对，擂主你再试试。
预设2:如果成功，谁看懂擂主的策略了？（请擂主选一个同学来讲讲）
师：擂主，点评下对不对？现在让擂主揭示必胜策略。
师：谁来总结下抢12的必胜秘诀？
预设：让对方先，保证自己拿到3、6、9。
（对方先报，报1个数、我报2个数；对方报2个数、我报1个数，以3个数为一组，依此抢到3、6、9这些关键数就能抢到12。）
（基础好继续追问：如果是抢13呢？抢数游戏和田忌赛马的策略有什么相似之处？）
师：同学们真棒！看懂规则，找到最优的必胜策略。
［设计意图：谁先抢到12，谁就为胜方。培养学生从不同角度分析问题、周密思考的思维品质。对策论的内涵博大精深，为了突破“凡对策即以弱对强”的思维定势，从对策论的另一视角——找规律获胜，丰富学生对对策的认识与理解。］
四、反思总结
师：通过这节课的学习，你有什么感想或收获？（想想，这些策略能不能用在生活中？谁来举例子）
师：看来当我们遇到难题的时候，只要我们学会善于分析，就能找到解决问题的最优策略。
［设计意图：学生回顾课堂，总结“以弱胜强”的策略，并由此引导到生活中，用数学眼光看问题，再次体会优化思想。］