重庆市2025届高三第一次联合诊断检测数学试题（康德卷）（含答案）

重庆市2025届高三第一次联合诊断检测
数学试题（康德卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“的解集为”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知为坐标原点，点，将绕点逆时针方向旋转得到，则的模等于( )
A. B. C. D.
4.已知平行六面体的体积为，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知的角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的通项，若，，且，使得，则的取值个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某科研院所共有科研人员人，统计得到如下数据：
数学 物理 化学 生物 合计
女
男
合计
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取名科研人员进行调查，那么( )
A. 若按照研究学科进行分层抽样比例分配，则数学学科科研人员一定被抽取人
B. 若按照性别进行分层抽样比例分配，则男性科研人员可能被抽取人
C. 若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取人
D. 若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员
10.声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率、振幅完全相同，但相位恰好相反即相位差为的奇数倍的声音，理论上就可以和噪声完全抵消某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有( )
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系中，已知点，，若满足为正常数的动点的轨迹为，则下列说法正确的是( )
A. ，使得曲线经过原点
B. ，曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形
C. 当时，面积的最大值为
D. 当时，曲线围成的面积大于曲线围成的面积
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若复数，则 ．
13.已知圆，，，分别是，上的动点，则的最大值为 ．
14.若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程
已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为．
证明：点为棱的中点
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，在轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，．
当时，求直线的方程
已知为坐标原点，证明：．
18.本小题分
年月日国家市场监督管理总局第次局务会议审议通过食品安全抽样检验管理办法，自年月日起实施某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品．
现有瓶水果罐头，已知其中瓶为优级品，瓶为一级品．
(ⅰ)若每次从中随机取出瓶，取出的罐头不放回，求在第次抽到优级品的条件下，第次抽到一级品的概率
(ⅱ)对这瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望
已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为，且各件产品是否为优级品相互独立，若在次独立重复抽检中，至少有次抽到优级品的概率不小于约为，求的最小值．
19.本小题分
由边长为，，的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：
以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边
以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边．
设，由方法，均可得到，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三条边，且，为斜边，满足对于任意，有，
设，求的通项公式
若，求
证明：在直角三角形序列中，若，则．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：的定义域为，．
当时，，，
所以，，
在处的切线方程为．
令．
由题意，当时，
当时，
只需，，，
解得：，
因为为整数，所以．
16.解：以为原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，则，，
，，，，
设，则，
故，，
由题意，，得，
所以点为棱的中点；
，，，
设平面的法向量为，
则，即
取，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题意，为抛物线的焦点．
设，，．
设直线的方程为：，代入，
得：则，，．
因为，所以，即．
由得：，．
又由，解得．
因为，所以．
直线的方程为．
由题意，，，
因为，
所以，在线段上．
同理，在线段上．
因为，所以与相似，
从而，即．
18.解：设第次抽到优级品为事件，第次抽到一级品为事件，
则．
根据题意可知的取值可能为，，，则
，，，
．
则的分布列为：
所以．
设在次抽检中至少有次抽到优级品的概率为，
则
，．
因为，所以在单调递增．
注意到，所以，
故的最小值为．
19.解：；，
由，，，
由且，，，，均为偶数得，
又因为，其中，
所以有，
所以有，
所以
若；；，
因为，所以是奇数，
则；；，
又因为，所以是偶数，
所以，
同理有，，，
，，
所以，则有．
设中有两个及以上的直角三角形满足互质，
在所有的中，取分母最小者，并在这些分母最小的有理数中取分子最小者，
将得到的有理数记作．
设，则，
则；，，
它的前序三角形即得到的三角形应为；；或；；，
若，则为偶数，应存在不同的偶数，，
使得，
这就有，
由于，这与取法矛盾，
若，则为奇数，应存在不同的奇数，，
使得，
此时，同样与取法矛盾，
所以假设不成立，所以不存在两个及以上的三角形满足，命题得证．
第1页，共1页