嘉兴市 2024~2025学年第一学期期末检测
高三数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.已知复数 z在复平面内对应的点是 (1,1) z，则 =
z
A. i B. - i C. 2i D. - 2i
2.已知集合A={x|x= 3k,k∈N}，B={x|x= 2k+ 1,k∈N}，则A∩B=
A. {x|x= 6k- 1,k∈N} B. {x|x= 6k+ 1,k∈N}
C. {x|x= 6k+ 3,k∈N} D. {x|x= 6k+ 5,k∈N}
3.已知 α， β， γ是三个不同的平面，且 α∩ β= l，则“α⊥ γ且 β⊥ γ”是“l⊥ γ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.先把函数 f x = sinx- cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不变，再把
π
所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，则函数 g x 图象的一条对称轴
4
可以是
A. x= 5π B. x= 7π
8 8
C. x= 5π D. x= 7π
4 4
5.若不共线的平面向量 a， b， c两两夹角相等，且 a = 1， b = 2， c = 3，则 a+b+c =
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
x∈ 0, 1
x 1
6.已知 ，设 a= 1 ， b= x 2， c= log 1 x，则2 2 2
A. a> b> c B. c> a> b
C. c> b> a D. a> c> b
π
7.已知 α， β∈ 0, 2 ， sin2α=msin2β， tan α+β =ntan α-β ，则
A. m= 1-n+ B. m=
1+n
1 n 1-n
C. n= m-1 D. n= m+1
m+1 m-1
8.已知函数 f x 满足：对 x∈R，都有 f x+2024 ≤ f x + 2025， f x+2025 ≥ f x +
2026，若 f 1 = 1，则 f 2 的取值范围是
A. 1,2 B. 2,3 C. 3,4 D. 4,5
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二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分．
9.下列说法正确的是
A. 数据 1， 2， 3， 5， 7， 9的中位数大于平均数
B. 数据 0， 1， 0， 1， 0， 1的标准差大于方差
C. 在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强
D. 在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越好
10.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB= 2A1B1= 2AA1= 2 3．则
A. 三棱台ABC-A B C 21 31 1 1的表面积为 2
B. 直线AA 31与BC1所成角的余弦值为 4
C. 直线AA 31与平面BCC1B1所成角的余弦值为 3
D. 6三棱锥B1-ABC与三棱锥B-A1B1C1的公共部分的几何体的体积为 9
x2 y2
11.已知F1，F2是椭圆 + = 1 a>b>0 的左、右焦点，O为坐标原点， l是椭圆的一条
a2 b2
切线，切点为T，F1，F2在直线 l上的投影分别为H1，H2，则
A. ∠F1TH1=∠F2TH2 B. OH1 = OH2
C. TH 21 TH2 < b D. F1H1 F2H2 < a2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
n
12.若 x+ 2 n∈N* 的展开式中存在常数项，请写出一个满足条件的n的值 ．x
x2 2
13.已知双曲线C： - y = 1 a>0,b>0 的两条渐近线均与圆D：2 x-2
2 + y2= b2相切，
a2 b
切点分别为M，N，且 MN = 2，则双曲线C的离心率是
14.箱子中有大小相同的 6个小球，分别标有数字 1， 1， 2， 2， 3， 3．甲、乙两人进行三轮
比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出 1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放
回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得 1分，数字小的人不得分，如果数字一样，
则都不得分．经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大
的概率是_____．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)记 △ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 3 a - 3 bcosC =
csinB= 3 3 ．
2
(1)求B；
(2) △ABC 3 3若 的面积为 ，求 b．
4
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16. (15分)如图，在直四棱柱 ABCD - A 1B 1C A D1D 1 中，底面 ABCD是梯形， 1 1 B1 C1
AD BC，AD= 2，AB=BC=CD= 1，点E是AD1的中点，点F满足A 1
F
= λFC λ∈R ． E
(1)若 λ= 1，证明：EF⊥平面A1AC；
F
(2)若 λ= 2，且平面AEF与平面ABCD的夹角为 60°，求AA1． A D
B C
17. (15分)已知抛物线C： y2= 3x，直线 l与C交于A，B两点，与 x轴交于点H，且AH =
2HB．
(1)若H的坐标为 (2,0)，求直线 l的方程；
GA
( ) 2 若点H关于原点的对称点为G，求 的值．
GB
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18. (17分)已知函数 f x = ex-a x2-ax+b a,b∈R ．
(1)若 a= 0，求 f x 在点 0,f 0 处的切线方程；
(2)若 a= 2，当 x≥ 0时， f x ≥ x，求 b的取值范围；
(3)若 x| f x =a = x| f f x =a ≠ ，求 a的取值范围．
19. (17分)若数列 an 满足如下两个条件：
1 an 是 1， 2， 3， ， p p∈N*,p≥4 的一个全排列；
2 an+1-an = k或 k+ 2， k为常数且 k∈N*．
则称数列 an 为“p- k数列”．
(1)请写出所有的“4- 1数列”；
(2)证明： k是奇数；
(3)当 p= 2024时，求 k的最大值，并说明理由．
第4页，共4页嘉兴市 2024~2025学年第一学期期末检测
高三数学试题卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
z
1.已知复数 z在复平面内对应的点是 (1,1)，则 =
z
A. i B. - i C. 2i D. - 2i
【答案】A
【解析】z= 1+ i z = 1+ i 2i， - = = i．z 1 i 2
故选择：A
2.已知集合A={x|x= 3k,k∈N}，B={x|x= 2k+ 1,k∈N}，则A∩B=
A. {x ∣ x= 6k- 1,k∈N} B. {x ∣ x= 6k+ 1,k∈N}
C. {x ∣ x= 6k+ 3,k∈N} D. {x ∣ x= 6k+ 5,k∈N}
【答案】C
【解析】集合A表示 3的倍数，集合B表示奇数，则交集为 3的倍数中的奇数．
故选择：C
3.已知 α， β， γ是三个不同的平面，且 α∩ β= l，则“α⊥ γ且 β⊥ γ”是“l⊥ γ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】α⊥ γ， β⊥ γ，则交线 l垂直 γ，充分性成立； l⊥ γ，则过 l的平面都垂直 γ，必要
从成立．故选择：C
4.先把函数 f x = sinx- cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不变，再把
π
所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，则函数 g x 图象的一条对称轴
4
可以是
A. x= 5π B. x= 7π C. x= 5π D. x= 7π
8 8 4 4
【答案】D
f x = 2 2 sin x- π 2 y= 2 2 sin 1 x- π π【解析】 ，横坐标变为 倍，则 ，向右平移4 2 4 4
个单位，
y = 2 2 sin 1 x- π则 - π = 2 2 sin 1 x- 3π 1 3π π，所以 x - = + kπ， x =2 4 4 2 8 2 8 2
7π + 2kπ， k∈Z．
4
故选择：D
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5.若不共线的平面向量 a， b， c两两夹角相等，且 a = 1， b = 2， c = 3，则 a+b+c =
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】由题意可知，夹角为 120°，所以 a+b+c = a+b+c 2 = 1+4+9- 2+3+6 =
3．
故选择：B
x∈ 0, 1 a= 1
x 1
6.已知 ，设 ， b= x 2， c= log 1 x，则2 2 2
A. a> b> c B. c> a> b C. c> b> a D. a> c> b
【答案】B
x 1 1 1
【解析】log x> log 11 1 = 1， 1> 1 > 12 2 2 2 2
2
， x 2 < 1 2，所以 c> a> b．2
故选择：B
7.已知 α β∈ 0, π， ， sin2α=msin2β， tan α+β =ntan α-β ，则2
A. m= 1-n+ B. m=
1+n C. n= m-1- + D. n=
m+1
1 n 1 n m 1 m-1
【答案】D
- = sin2α-sin2β【解析】m 1 ，由和差化积得，
sin2β
2cos α+β- =
sin α-β 2tan α-β
m 1 = ，
sin α+β cos α-β -sin α-β cos α+β tan α+β -tan α-β
tan α+β -tan α-β- = n 1 m+1，所以 m-1 n-1 = 2 n= - ，即得．tan α-β m 1
故选择：D
8.已知函数 f x 满足：对 x∈R，都有 f x+2024 ≤ f x + 2025， f x+2025 ≥ f x +
2026，若 f 1 = 1，则 f 2 的取值范围是
A. 1,2 B. 2,3 C. 3,4 D. 4,5
【答案】B
【解析】f x + 2026≤ f x+2025 = f x+1+2024 ≤ f x+1 + 2025，
则 f x+1 ≥ f x + 1，
则 f x + 2025≥ f x+2024 = f x+2023+1 ≥ f x+2023 + 1≥ f x+2022 + 2≥ ≥
f x+1 + 2023，
即 f x+1 ≤ f x + 2，所以 f 1 + 1≤ f 2 ≤ f 1 + 2，即 2≤ f 2 ≤ 3．
故选择：B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分．
9.下列说法正确的是
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A. 数据 1， 2， 3， 5， 7， 9的中位数大于平均数
B. 数据 0， 1， 0， 1， 0， 1的标准差大于方差
C. 在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强
D. 在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越好
【答案】BC
3+5 1
【解析】A 项：数据 1， 2， 3， 5， 7， 9 的中位数为 = 4，平均数为 ×
2 6
1+2+3+5+7+9 = 9 ，所以中位数小于平均数，故A错误；
2
2 2
B项：数据 0， 1， 0， 1， 0， 1的方差为 s2= 1 0- 1 ×3+ 1- 1 1 ×3 = ，标准6 2 2 4
差 s= 1 ，标准差大于方差，故B正确；
2
C项：在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，故C正确；
D项：在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越差，故D错误．
故选择：BC
10.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB= 2A1B1= 2AA1= 2 3．则
A. 三棱台ABC-A1B C 21 31 1的表面积为 2
B. 3直线AA1与BC1所成角的余弦值为 4
C. 直线AA1与平面BCC1B
3
1所成角的余弦值为 3
D. 三棱锥B1-ABC与三棱锥B-A1B 61C1的公共部分的几何体的体积为 9
【答案】ACD
3
【解析】A项： S= × 3 2 + 3 × 1 2 3 2 + × 2 3× 3 3 × × 3= 21 3 ，故A
4 4 2 2 2
正确；
B项：过点C1作C1D AA1，交AC于点D，则C1D= 3，C1B= 3，BD= 3，
∠ = C1D
2+C B21 -BD2所以 cos DC1B 32C1D
= ，故B错误；
C1B 6
C项：根据等体积法：VD-BCC =VC -BCD，设三棱台ABC-A1B1C1的高为 h，则 h= 2，1 1
3 3
1 × 2
所以 S 1ΔBCC hD= SΔBCD h，则 h =
SΔBCD h 2
D = = 2，直线AA1与平面3 1 3 SΔBCC 1 31 2 ×2 3× 2
h
BCC1B1所成角的正弦值为 sinθ= D = 2 ，故直线AA1与平面BCC1B1所成角的余弦C1D 3
3
值为 ，故C正确；
3
D项：由题意知三棱锥B1-ABC与三棱锥B-A1B1C1的公共部分的几何体为三棱锥，设
A1B∩AB1=O1， B1C∩ BC1=O2，则公共部分的几何体为三棱锥 B1-O1O2B， B1O1=
B1O2= 1，BO1=BO2= 2，BB1= 3 O O = 2 3 1 1 2 3 33， 1 2 ，所以V= × × × ×3 3 2 3 3
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6 = 6 ，故D正确．
11 9
故选择：ACD
x2 y2
11.已知F1，F2是椭圆 + = 1 a>b>0 的左、右焦点，O为坐标原点， l是椭圆的一条
a2 b2
切线，切点为T，F1，F2在直线 l上的投影分别为H1，H2，则
A. ∠F1TH1=∠F2TH2 B. OH1 = OH2
C. TH1 TH2 < b2 D. F1H1 F 22H2 < a
【答案】ABD
【解析】对于选项A：设切线 l上一动点为P，一方面根据椭圆定义得到PF1+PF2≥ 2a，当
且仅当点P在切点T时，取到等号；另一方面，设右焦点 F2关于切线 l的对称点为Q，则
PF1+PQ≥ 2a，当且仅当点 F1，P，Q三点共线时，取到等号；所以 F1，T，Q三点共
线，所以∠F1TH1=∠QTH2=∠F2TH2，故选项A正确； R
选项A判定另解：根据椭圆光学性质可得．
1 H1
对于选项 B：由前面分析得到 OH2 = F1Q = a，同理 OH1 = a，所以 Q2 T
H
OH1 = OH2 ，故选项B正确； 2
对于选项 C：可以举反例说明，如取切点 T在椭圆上顶点时，则 TH1 F1 O F2
TH2 = c2，而所给椭圆中 b2与 c2的大小不确定，故选项C不正确；
对于选项D：设∠F1TH1=F2TH2= θ，TF1=m，TF2= n，所以 F1H1 =msinθ， F2H2 =
nsinθ，则
F 2 2 2 2 21H1 F2H2 =mnsin θ，又在 ΔF1TF2中， 4c =m + n - 2mncos π-2θ = m+n -
2mn 1-cos2θ ，化简得 4c2= 4a2- 4mnsin2θ，即mnsin2θ= b2，所以 F1H1 F2H2 = b2<
a2，故选项D正确；
D判定另解：由直角三角形中直角边长和斜边长的关系 F1H1 F2H2 < TF1 TF2 ，又由椭
TF + TF 2
圆定义结合基本不等式 TF 1 21 TF2 ≤ = a2，故 F 22 1H1 F2H2 < a；
选项C判定另解： TH1 =mcosθ， TH2 = ncosθ，则 TH1 TH 22 =mncos θ，当切点T
在变化时， cos2θ与 sin2θ的大小不定，所以无法判断 TH 21 TH2 与 b 的大小关系，故选
项C不正确．
故选择：ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
2 n
12.若 x+ n∈N* 的展开式中存在常数项，请写出一个满足条件的n的值 ．x
【答案】答案不唯一，如 3、 6
T =C kxn-k 2
k
n- 3 k
【解析】 = 2kC kx 2k+1 n n ，当 n- 3 k= 0时，为常数项，则 n可以是 3、 6x 2
等等．
故答案为：答案不唯一，如 3、 6
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2 y2
13.已知双曲线C x： - = 1 a>0,b>0 的两条渐近线均与圆D：2 x-2
2 + y2= b2相切，
a2 b
切点分别为M，N，且 MN = 2，则双曲线C的离心率是
【答案】 2
【解析】由题可知，圆心 (2,0)到渐近线的距离为 b，而由双曲线的特征三角形可知，焦点到
渐近线的距离为 b，故焦点坐标为 (2,0)，即 c= 2，记右焦点为F，则四边形OMPN的面积
c=21 1 c
为 MN × OF = 2× ab= 2，由 ab=2 e= = 2．2 2 a c2=a2+b2
故答案为： 2
14.箱子中有大小相同的 6个小球，分别标有数字 1， 1， 2， 2， 3， 3．甲、乙两人进行三轮
比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出 1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放
回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得 1分，数字小的人不得分，如果数字一样，
则都不得分．经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大
的概率是_____．
11
【答案】
30
【解析】法一：由题意得甲的累计得分比乙的累计得分大的情形有三种，把标号相同的小球
看作不一样的．
情形一：甲得 3分、乙都得 0分，即三轮中甲摸得的小球的标号都大于乙摸得的 (三轮中甲
摸得两个 3号小球和一个 2号小球，且甲摸得 2号小球时对应乙摸得 1号小球)，则 p1=
A3 33 2 = 1 ；
A66 15
情形二：甲得 2分、乙得 0分，即三轮中有一轮甲、乙摸得相同标号的小球，另外两轮甲
C1 C1 23 1
摸得标号大于乙摸得的，则 p 3 32= = ；
A66 10
情形三：甲得 2分、乙都得 1分，即三轮中有一轮甲摸得的小球的标号小于乙摸得的，另
C1 A2 23 1
外两轮甲摸得的小球的标号大于乙摸得的，则 p3= 3 2 = ；
A66 5
11
所以甲的累计得分比乙的累计得分大的概率 p= p1+ p2+ p3= ．30
法二：由题意得比赛对甲、乙是公平的，所以先计算甲、乙得分相同的概率．
= A
3 23
情形一：甲、乙都得 0 1分，即每一轮甲、乙摸到的球的标号相同， p 31 = ；
A66 15
情形二：甲、乙都得 1分，即三轮中有一轮甲得 1分，有一轮乙得 1分，有一轮两人摸到的
A3 23 1
球的标号相同，都不得分，若相同的标号为 1，则 p = 32 = ，同理，相同的标号为
A66 15
2 1的概率 p3= ，相同的标号为 3的概率 p = 14 ，15 15
1- p1+p2+pp= 3
+p4 11
所以甲的累计得分比乙的累计得分大的概率 = ．
2 30
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11
故答案为：
30
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)记 △ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 3 a - 3 bcosC =
csinB= 3 3 ．
2
(1)求B；
(2)若△ABC 3 3的面积为 ，求 b．
4
1 π【答案】 ； 2 7 .
3
【解析】(1)由正弦定理得 3sinA- 3sinBcosC= sinCsinB，
因为 sinA= sinBcosC+ cosBsinC，
所以 3cosBsinC= sinCsinB，
解得 tanB= 3 π，所以B= ．
3
(2)由 csinB= 3 3 ，得 c= 3，
2
1
再由面积S= acsinB= 3 3 a= 3 3 ，得 a= 1，
2 4 4
根据余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accosB= 7，解得 b= 7．
A1 D1
16. (15分)如图，在直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD是梯形， B1 C1
AD BC，AD= 2，AB=BC=CD= 1，点E是AD 的中点，点F满足A F
1 1 E
= λFC λ∈R ．
(1)若 λ= 1，证明：EF⊥平面A1AC； F
A D
(2)若 λ= 2，且平面AEF与平面ABCD的夹角为 60°，求AA1．
B C
【答案】 1 证明见解析； 2 3
【解析】(1)法一 (综合法)：连接A1D，则E为A1D的中点，
当 λ= 1，F为A1C的中点，所以EF CD．
在底面四边形ABCD中，由条件得AC⊥CD，
又AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥CD，
AC∩AA1=A，所以CD⊥平面A1AC，
所以EF⊥平面A1AC．
3 3
法二 (坐标法)：如图建立空间直角坐标系，设AA1= t，AC = , ,t2 2 ，
AA1= 0,0,t ，设平面A1AC的一个法向量m= x,y,z ，
m AC= 3 x+ 3 y+tz=0 x+ 3y=0则 2 2 ，即 ，取m= 3,-1,0 ．m AA =tz=0 z=01
又E 0,1, t ，F 3 , 3 , t ，EF = 3 ,- 1 ,0 ，
2 4 4 2 4 4
所以EF m，EF⊥平面A1AC．
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(2)法一 (综合法)：如图分别延长EF和DC交于点G，因为E为A1D的中点，F为A1C上
靠近点C的三等分点，由相似可得GC=CD，连接BG，则A，B，G三点共线，△AGD
为等边三角形，则平面AEF即为平面AD1G．
因为DD1⊥平面AGD，BD⊥AG，所以D1B⊥AG，∠D1BD为平面AEF与平面ABCD
所成的夹角，即∠D1BD= 60°，因为BD= 3，所以DD1= 3，即AA1= 3．
z
A1 D1 A1 D1
B1 C1 B1 C1
E
E
F
F
A D A
D y
B C
x B C
法二 (坐标法)：如图建立空间直角坐标系，
设AA = t AF = 3 ,1, t1 ， ，AD1= 0,2,t ，3 3
3 t x= 3m AF= x+y+ z=0 tz
设平面AEF的一个法向量m= x,y,z ，则 3 3 ，即 6 ， = + = y=- 1m AD1 2y tz 0 tz2
取m= 3t,-3t,6 ．又平面ABCD的一个法向量n= 0,0,1 ，
m n
cos m,n = = 6 = 1 ，求得 t= 3，所以AA1= 3．
m n 12t2+36 2
17. (15分)已知抛物线 C :y2= 3x，直线 l与 C交于A， B两点，与 x轴交于点H，且AH =
2HB．
(1)若H的坐标为 (2,0)，求直线 l的方程；
( )
GA
2 若点H关于原点的对称点为G，求 的值．
GB
【答案】 1 y=± 3 x-2 ； 2 2
【解析】(1)设A x1,y1 ，B x2,y2 ，直线 l： x=ny+ 2，
y2=3x y1+y2=3n 1
与C联立方程得 ，消去 x得 y2- 3ny- 6= 0，则 x=ny+2 y1y2=-6 2
由AH = 2HB，得 y1=-2y2，
代入 1 得 y2=-3n， y1= 6n，
-18n2=-6 n=± 3代入 2 得 ， ，
3
所以直线 l： y=± 3 x-2 ．
(2)设点H m,0 ，G -m,0 ，
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m-x =2 x -m
法一：AH = m-x1,-y1 ，HB= x2-
1 2
m,y2 ，由AH = 2HB，得 ，-y1=2y2
x1+2x2=3m即 ，则 y2 21= 4y2，代入C得 3x1= 12x x = 2m x =
m
2，则 1 ， 2 ，
y1=-2y2 2
GA = x1+m 2 +y21 = 9m2+3x = 9m21 +6m，
GA
GB = x 2 2 9 22+m +y2= m +3x2= 1 9m2+
6m，所以 = 2．
4 2 GB
y2=3x
法二：设直线 l:x= ny+m，与C联立方程得 ，消去 x得 y2- 3ny- 3m= 0，x=ny+m
则 y1+ y2= 3n， y1y2=-3m，设直线GA、GB的斜率分别为 k1， k2．
y22 y + y
2
y y x y +x y + + 1m y y 3 1 3 y2+m y1+y2 k1+ k2= 1 + 2 =
2 1 1 2 1 2 =
x1+m x2+m x1+m x2+m x1+m x2+m
y1y23 +m y1+y2 = = 0，
x1+m x2+m
GA HA
所以 x轴为∠AGB的角平分线，所以 = = 2．
GB HB
18. (17分)已知函数 f x = ex-a x2-ax+b a,b∈R ．
(1)若 a= 0，求 f x 在点 0,f 0 处的切线方程；
(2)若 a= 2，当 x≥ 0时， f x ≥ x，求 b的取值范围；
(3)若 x| f x =a = x| f f x =a ≠ ，求 a的取值范围．
【答案】 1 y= bx+ b； 2 b≥ e+ 1； 3 a≥ 0.
【解析】(1)由 a= 0，得 f x = ex x2+b ，则 f x = ex x2+2x+b ，
所以切线斜率 k= f 0 = b，又 f 0 = b，则切线方程为 y- b= bx，即．
(2)由 a= 2，得 f x = ex-2 x2-2x+b ，
当 x= 0时， f 0 = e-2 b≥ 0，所以 b≥ 0．
当 x> 0时，转化为 ex-2 x+ b -2 ≥ 1，令 g x = ex-2 x+ b -2x x ，则
x-2 b b x-2 x
2+b x-1
g x = e x+ -2+ 1- = e ，x x2 x2
因为 b≥ 0，所以 x2+ b> 0，
当 x∈ 0,1 时， g x < 0，所以 g x 在 (0,1)递减，
当 x∈ 1,+∞ 时， g x > 0，所以 g x 在 1,+∞ 递增，
所以 g x min= g 1 =
b-1
≥ 1，得 b≥ e+ 1．
e
综上， b≥ e+ 1．
(3)设 x0∈ x| f x =a ，则 f x0 = a，又 x0∈ x| f f x =a ，则 f f x0 = a，
即 f a = a，解得 b= a，所以 f x = ex-a x2-ax+a ．
一方面，对任意 x0∈ x| f x =a ，有 f f x0 = f a = a，即 x0∈ x| f f x =a ．
另一方面，若方程 f x = a存在除 a以外的其他解 t t≠a ，则方程 f x = t需无解．
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求导得 f x = ex-a x x-a+2 ，由 f x = 0得 x= 0或 a- 2．
①当 a- 2= 0， a= 2时， f x ≥ 0， f x 在R上递增，方程 f x = a有唯一解 a，满足
题意．
②当 a> 2时，当 x∈ 0,a-2 时， f x < 0， f x 在区间 (0,a- 2)递减；
当 x∈ -∞,0 ∪ a-2,+∞ 时， f x > 0， f x 在区间 -∞,0 和 a-2,+∞ 上递增，
a
此时极大值 f 0 = < a，所以方程 f x = a有唯一解 a，满足题意．
ea
③当 a< 2时，当 x∈ a-2,0 时， f x < 0， f x 在区间 (a- 2,0)递减；
当 x∈ -∞,a-2 ∪ 0,+∞ 时， f x > 0在区间 -∞,a-2 和 0,+∞ 上递增，
4-a a
此时极大值为 f a-2 = ，极小值为 f 0 = ，
e2 ea
(i)当 a< 0时，则极小值 f 0 = a < a，又 x→+∞时， f x →+∞，所以存在 t> 0，满
ea
足 f t = a，且方程 f x = t有解，不满足题意．
(ii)当 0≤ a< 2 a时，则极小值 f 0 = ≤ a，此时若方程 f x = a有除 a以外的其他解 t，
ea
必有 t< 0，而极小值 f 0 = a ≥ 0，且当 x< 0时， f x > 0，所以 f x = t无解，满足
ea
题意．
综上， a≥ 0．
19. (17分)若数列 an 满足如下两个条件：
1 a 是 1， 2， 3， ， p p∈N*n ,p≥4 的一个全排列；
2 an+1-an = k或 k+ 2， k为常数且 k∈N*．
则称数列 an 为“p- k数列”．
(1)请写出所有的“4- 1数列”；
(2)证明： k是奇数；
(3)当 p= 2024时，求 k的最大值，并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】(1) 1 1， 2， 3， 4； 2 1， 4， 3， 2； 3 2， 1， 4， 3；
4 2， 3， 4， 1； 5 3， 2， 1， 4； 6 3， 4， 1， 2；
7 4， 1， 2， 3； 8 4， 3， 2， 1.
(2)由条件得 an+1- an=±k或± k+2 ，
设 an+1- an= k的有 λ1个， an+1- an=-k的有 λ2个， an+1- an= k+ 2的有 λ3个，
an+1- an=- k+2 的有 λ4个．
则 an-an-1 + an-1-an-2 + a2-a1 = λ1-λ2 k+ λ3-λ4 k+2 = an- a1
即 an= λ1-λ2+λ3-λ4 k+ 2 λ3-λ4 + a1，
若 k为偶数，则 λ1-λ2+λ3-λ4 k+ 2 λ3-λ4 为偶数，
1 当 a1为奇数，则 an 中的每一项均为奇数，不合题意；
2 当 a1为偶数，则 an 中的每一项均为偶数，不合题意．所以 k不能为偶数，即 k为奇数
(3)k的最大值为 1011．
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首先我们可以写出一个满足要求的数列：
n， n为奇数
当 1≤n≤ 1012时， an= ，n+1012，n为偶数
则当n为奇数时， an+1-an = n+1+1012 -n = 1013，
当n为偶数时， an+1-an = n+1 - n+1012 = 1011，
n， n为奇数
当 1013≤n≤ 2024时， an= ，n-1012，n为偶数
当n为奇数时， an+1-an = n+1-1012 -n = 1011，
当n为偶数时， an+1-an = n+1 - n-1012 = 1013，
且 a1013-a1012 = 1013-2024 = 1011．
下面用反证法证明没有比 1011更大的 k的值．
由 (2)知， k为奇数，假设 k≥ 1013，现在考虑 1013这个数，因为对于任意一个小于等于
2024的正整数 i， i-1013 ≤ 1012，即数列 an 中的任意一项不能与 1013相邻，但 1013是
数列 an 中的一项，矛盾．所以 k≤ 1011，所以 k的最大值为 1011．
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