1.2 任意角 课件（共18张PPT） 2024-2025学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

(共18张PPT)
第一章 三角函数
1.2 任意角
1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念.
2.会建立平面直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
情境1：结合角的定义，回答下列问题：
（1）在跳水比赛中，运动员会做出“向后翻腾两周半”等动作，上述动作如何用数学语言描述？
（2）汽车在前进和后退中，车轮滚动的角度如何表示才比较合理？
（3）举出生活中遇到的不在0°~360°的角的实际例子，说说自己的理解.
问题1：用旋转方式定义角，角的构成要素有哪些？
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
知识点 1：角的概念推广
构成要素：始边、顶点、终边.
角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点；角α可记为“角α”、“∠α”或简记为“α”．
O
A
B
α
问题2：如图，若主动轮旋转两周，你能准确描述出被动轮旋转的现象吗？
主动轮
被动轮
A
B
主动轮和被动轮的旋转方向是相反的，但题中未给明主动轮旋转方向，故同样不能判断被动轮旋转方向，无法准确描述被动轮旋转现象.
思考：如图，如何区分主动轮、被动轮旋转形成的不同方向的角？
正角：按逆时针方向旋转形成的角，如图∠α；
负角：按顺时针方向旋转形成的角，如图∠β；
零角：没有做任何旋转形成的角.
O
A
B
α
正角
O1
A1
B1
β
负角
注意：用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.
角的分类
角的分类：按一条射线绕其端点的旋转方向，角可以分为三类：
思考：如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？
不一定，如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边重合.
问题3：将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置？
终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
象限角：角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.
知识点 2：象限角及其表示
练一练1：判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1）第一象限的角一定是正角.( )
（2）第二象限角是钝角.( )
（3）锐角都是第一象限角.( )
×
×
√
问题4：在同一平面直角坐标系内作出30°，390°，－690°，观察它们的终边有什么关系，这些角有什么样的数量关系？
图像如图所示，
观察图像可知：390°和－690°的角与30°的角终边相同.
390°＝30°＋360°，－690°＝30°＋(－2)×360°.
思考：设集合S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}，那么390°，－690°角是集合S中的元素吗？30°角是集合中的元素吗？集合S的任一元素与30°角终边相同吗？
一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
注意：（1）α是任意角；（2）集合中 α与k·360°间用“＋”连接；
如： k·360°－30°应看成 k·360°＋(-30°)，表示与-30°角终边相同的角.
终边相同的角
例1：判定下列各角是第几象限的角:
（1）－60°； （2）945°； （3）－950°12′.
解：（1）因为－60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角；
（2）因为945°＝225°＋2×360°，所以945°与225°角终边相同，
而225°角的终边在第三象限角，所以945°角是第三象限角；
（3）因为－950°12′＝129°48′＋(－3)×360°，
而129°48′角的终边在第二象限角，所以-950°12′角是第二象限角.
例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角；
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}，
于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z} ∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z} ∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋k·180°，k∈Z}.
例2：写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.
例3：写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合－360°≤β<720°的元素β写出来.
解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}.
因为－360°≤60°＋k·360°<720°，
解得 ，
又k∈Z，所以k＝－1，0，1，
所求元素分别是60°＋(－1)×360°＝－300°，
60°＋0×360°＝60°，
60°＋1×360°＝420°.
练一练2：回答下列问题.
（1）下列各组角中，终边相同的是( 　　)
A．495°和－495°　 　 B．1 350°和90°
C．－220°和140° D．540°和－810°
（2）若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C
C
特殊值法；
如假设α＝－60°.
练一练3：已知角α为锐角，那么角α的终边与角α＋180°，α－180°，180°－α终边的几何关系分别是什么？如果角α是任意角呢？请画图说明.
O
x
y
α
α＋180°
α－180°
180°－α
回顾本节课，总结知识框架图.
任意角
象限角
正角、负角、零角
终边相同的角：
{β |β＝ α ＋ k·360°，k∈Z }