1.4.3-1.4.4 诱导公式与对称、旋转 课件（共16张PPT） 2024-2025学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

(共16张PPT)
第一章 三角函数
1.4.3~1.4.4 诱导公式与对称、旋转
1.由三角函数的定义及终边的对称性和旋转得到诱导公式.
2.能运用诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简.
问题1：已知角α为锐角，那么角α的终边与角－α，α＋π，α－π，π－α的终边有怎样的位置关系？如果角α是任意角呢？请画图说明.
解：图象如图所示，
知识点 1：角α与－α，α±π，α－π的正弦函数、余弦函数关系
角α与－α的终边关于x轴对称，
角α与α±π的终边关于原点对称，
α﹣π
角α与π－α的终边关于y轴对称，
问题2：根据任意角正(余)弦函数的定义，并结合问题1的结论思考下面问题：
（1）sin(－α)与sin α的值有何关系？cos(－α)与cos α呢？
（2）sin(α±π)与sin α的值有何关系？cos(α±π)与cos α呢？
（3）sin(π－α)与sin α的值有何关系？cos(π－α)与cos α呢？
α﹣π
解：结合问题1的结论可知：
（1）sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α；
（2）sin(α±π)＝－sin α，cos(α±π)＝－cos α；
（3）sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
例1 画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系.
（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 ；（4） 与 .
解：（1）如图1所示，关于原点对称；
（3）如图3所示，关于x轴对称；
（2）如图2所示，关于y轴对称；
（4）如图4所示，关于y轴对称.
图1
图2
图3
图4
例2 求下列三角函数值.
解：
思考：观察解答过程，说说该如何求解一个三角函数的值？
任意角三角函数求值步骤
任意负角的
三角函数
任意正角的
三角函数
0 ~ 2π 的角
的三角函数
锐角的
三角函数
问题1：设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转 得到点P'，即 的终边与单位圆交于点P'.
（1）怎么表示点P'？
（2） 与cos α的值有何关系？ 与sin α的值有何关系？
知识点 2：角α与α± 的正弦函数、余弦函数关系
解：（1）点P'的坐标为(－v，u)；
（2） ；
问题2：利用问题1中（2）的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究 与α三角函数值的关系？
解：
同理可得
对任意角α，下列关系式均成立(其中k∈Z).
通常称这些公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式.
sin(α＋2kπ)＝sin α
sin(－α)＝－sin α
sin(α±π)＝－sin α
sin(π－α)＝sin α
cos(α＋2kπ)＝cos α
cos(－α)＝cos α
cos(α±π)＝－cos α
cos(π－α)＝－cos α
诱导公式
思考：在平面直角坐标系中，对角α的终边经过对称或旋转得到了诱导公式.我们发现 是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π，2kπ(k∈Z)又都是 的整数倍，还有中心对称也可以用旋转π表示，尝试用旋转 的整数倍来分析诱导公式.
除了关于－α的诱导公式sin(－α)＝－sin α和cos(－α)＝cos α，对于其他诱导公式中的角，都可以看作 ，其中n＝1，2，3，4k(k∈Z).
当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；
当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号通常把α看成锐角时原三角函数的符号.
例3 求下列函数值：
解：
(3)原式
例3 求下列函数值：
例4 化简：
解：原式
练一练1：若sin(3π＋α)＝ ，则 等于( )
A
根据今天所学，回答下列问题：
（1）诱导公式有哪些？
（2）任意角三角函数求值的步骤有哪些？