1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识 课件（共19张PPT） 2024-2025学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

(共19张PPT)
第一章 三角函数
1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识
1.借助单位圆画出正弦函数的图象，根据图象进一步理解正弦函数的性质.
2.能正确使用五点法画出简单的正弦函数.
问题：画出正弦函数y＝sin x在区间x∈[0，2π]上的图象.
（1）在区间[0，2π]上取一系列的x值，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图).
知识点1：正弦函数的图象
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
思考：表格中的数据有些是无理数，怎样在平面直角坐标系中比较准确地画出？
问题：画出正弦函数y＝sin x在区间x∈[0，2π]上的图象.
（2）将x轴上从0到2π一段分成12等份；
解：（1）作单位圆，把圆O分成12等份，对应于0， ，2π的角，并作出相应的正弦值；
O
y
x
问题：画出正弦函数y＝sin x在区间x∈[0，2π]上的图象.
（3）平移相应角的正弦值；
（4）描点，用光滑曲线顺次连接，就得到y＝sin x在区间x∈[0，2π]上的图象.
O
y
x
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

思考：根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y＝sin x，x∈R的图象吗？
将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象(如图).
正弦函数的图象称作正弦曲线.
如图可知当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现，即正弦函数是周期函数.
回顾：说说正弦函数的性质.
知识点2：正弦函数性质的再认识
请观察正弦函数的图象(如图)，进一步理解正弦函数的性质.
1.定义域：R
2.周期性：
它的最小正周期为2π.
3.单调性：
在正弦函数的图象中，选取长度为2π的区间 观察图，可以看出：
当x由 增加到 时，sin x的值由－1增加到1；
当x由 增加到 时，sin x的值由1减小到－1.
3.单调性：
因此正弦函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
由正弦函数的周期性可知，
正弦函数在每一个区间 ，k∈Z上都单调递增，
在每一个区间 ，k∈Z上都单调递减.
4.最大(小)值和值域：
设集合A＝{x|x＝2kπ＋ ，k∈Z}，B＝{x|x＝2kπ＋ ，k∈Z}，
当x∈A时，正弦函数y＝sin x取得最大值1；反之，当正弦函数y＝sin x达到最大值1时，x∈A.
当x∈B时，正弦函数y＝sin x取得最小值－1；反之，当正弦函数y＝sin x达到最小值－1时，x∈B.
4.最大(小)值和值域：
从正弦函数的图象(如图)可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以正弦函数的值域是[－1，1].
5.奇偶性：
由图可知正弦曲线关于原点对称.
由诱导公式sin(－x)＝－sin x可知，正弦函数是奇函数.
思考交流：正弦函数图象有对称轴吗？有对称中心吗？
有，对称轴是x＝kπ＋ (k∈Z)，
对称中心是(kπ，0)(k∈Z).
例1 比较下列各组三角函数值的大小：
（1） 与 ； （2） 与 .
解：（1）因为 ，且函数y＝sin x在区间 上单调递增，
所以
（2）
因为 ，且函数y＝sin x在区间 上单调递减，
所以 ，即
思考：在确定正弦函数图象的形状时，应抓住哪些关键点？
知识点3：五点(画图)法
在一个周期内，例如[0，2π]，从正弦函数的图象(如图)可以看出：
x=0，π， 2π是y＝sin x的零点； 分别是y=sinx的最大值点、最小值点.它们在正弦曲线中起着关键作用.
根据正弦曲线的基本性质，描出 (0，0) ( ，1)， (π，0) ，( ，－1)， (2π，0)这五个关键点后，函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象就基本确定了(如图).
因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图.这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”.
例2 画出函数y＝sin x－1在区间[0，2π]上的图象.
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
于是得到函数y＝sin x－1在区间[0，2π]上的五个关键点：
描点连线，画出y＝sin x－1在[0，2π]上的图象.
0
1
y
x
-1
-2
y＝sin x，x [0，2 ]
y＝sin x－1，x [0，2 ]
根据图象说说函数y＝sin x－1的性质.
例2 画出函数y＝sin x－1在区间[0，2π]上的图象.
1.函数y＝－sin x， 的简图是( )
D
根据今天所学，回顾下列知识点：
（1）正弦函数的图象.
（2）正弦函数y＝sin x的性质.
（3）五点画图法.