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第一章 三角函数
1.6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
1.了解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响.
2.掌握y=sin x与y=sin(ωx+φ)图象间的变换关系.
回顾:如何由函数y=sin x的图象得到y=cos x的图象?
y=cos x的图象可通过将y=sin x的图象向左平移 个单位长度得到.
问题1:由诱导公式 可知:y=cos x的图象就是 的图象,那么函数y=sin x的图象如何变换得到 的图象?
将y=sin x的图象向左平移 个单位长度得到 的图象.
令 ,得
即函数y=sin x的图象上的点(0,0)平移到点 ,
所以函数 的图象是将函数y=sin x的图象上的所有的点向左平移 个单位长度得到的.
问题2:怎样通过平移函数y=sin x的图象得到 的图象?
函数 的图象是将函数y=sin x的图象上的所有的点向右平移 个单位长度得到的.
画出 的图象,说说它的周期性和单调性.
在区间 ,k∈Z上都单调递增;
在区间 ,k∈Z上都单调递减.
周期函数,周期为2π,
参数φ对y=sin(x+φ)图象的影响
函数y=sin(x+φ)与函数y=sin x的周期相同,由x+φ=0得x=-φ,即函数y=sin x图象上的点(0,0)平移到了点(-φ,0).
y=sinx
y=sin(x+ )
向左 >0 (向右 <0)
平移| |个单位
例1 求函数 的周期,并画出其图象.
解:由y=sin x的周期可知:
根据周期函数的定义, 是周期函数,π是它的最小周期,
按y=sin x五个关键点列表:
0 π 2π
x
0 1 0 -1 0
因此函数在区间 上的五个关键点:
画出 在一个周期上的图象,由该函数的周期性,把图象向左、右延拓得到在R上的图象(如图).
思考1:观察 的图象,说出该函数的单调性、最大(小)值和值域?
在区间 ,k∈Z上都单调递增;
在区间 ,k∈Z上都单调递减;
当 ,k∈Z时,ymax=1;当 ,k∈Z时,ymin=-1.
值域为[-1,1].
思考2:根据前面所研究的图象伸缩、平移变换,如何由y=sin x的图象变换到 的 图象?
y=sin x
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
y=sin 2x
先收缩后平移
先平移后收缩
y=sin x
向左平移 个单位
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
向左平移 个单位
函数y=sin(ωx+φ)与函数y=sin ωx有相同的周期,由ωx+φ=0得 ,
即函数y=sin ωx图象上的点(0,0)平移到了点
y=sin(ωx+ )
向左 >0 (向右 <0)
平移 个单位
y=sinx
y=sin x
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
先伸缩后平移
伸缩变换规律
y=sin( x+ )
y=sinx
y=sin(x+ )
向左 >0 (向右 <0)
平移| |个单位
纵坐标不变
横坐标变为原来的 倍
先平移后伸缩
在函数y=sin(ωx+φ)中,φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相,ωx+φ为相位.
1.把函数 的图象向 平移 个单位长度得到y=sin 2x的图象.
左
根据今天所学,回答下列问题:
(1)y=sin x与y=sin(x+φ)图象间如何变换?
(2)y=sin x与y=sin(ωx+φ)图象间如何变换?