1.6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 课件（共18张PPT）2024-2025学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

(共18张PPT)
第一章 三角函数
1.6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
1.了解A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，掌握由y＝sin x出发，利用图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的方法和步骤.
2.掌握探究y＝Asin(ωx＋φ)性质的方法和步骤.
回顾：说说ω，φ对函数y＝sin(ωx＋φ)的影响.
在函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)中，ω决定了函数的周期，φ决定了x=0时的函数值，φ为初相，ωx+φ为相位， 是函数的最小正周期.
那么A对y＝Asin(ωx＋φ)有什么影响？
问题1：研究函数 的周期，并画出其图象.
函数 与函数 有相同的周期，即它的周期为π.
从表达式上容易得到，对于同一个x值，函数 图象上点的纵坐标等于函数 图象上点的纵坐标的2倍.
问题1：研究函数 的周期，并画出其图象.
所以函数 的图象，可以看作图象 上所有点的纵坐标伸长原来的2倍(横坐标不变)而得到的.(如图)
参数 A 对 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响：
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每一个点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的.
A决定了函数 y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
y＝sin( x+ )
y＝sin x
y＝sin(x+ )
纵坐标变为原来的A倍
y＝Asin( x＋ )
向左 >0 (向右 <0)
平移| |个单位
纵坐标不变
横坐标不变
横坐标变为原来的 倍
先平移后伸缩
先伸缩后平移
y＝sin x
y=sin x
纵坐标变为原来的A倍
y＝Asin( x＋ )
向左 >0 (向右 <0)
平移 个单位
纵坐标不变
横坐标不变
横坐标变为原来的 倍
y＝sin( x+ )
y＝sin x
y＝Asin( x+ )
图象如何变换
问题2：讨论函数 的单调区间、最大(小)值和值域.
在区间 ，k∈Z上都单调递增；
在区间 ，k∈Z上都单调递减；
当 ，k∈Z时，ymax＝2；当 ，k∈Z时，ymin＝－2.
值域为[－2，2].
探究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的一般方法和步骤：
第1步，确定周期 ；
第2步，在五个关键点的基础上确定该函数的五个关键点；
第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；
第4步，借助图象讨论性质.
例1 画出函数 的图象，并讨论其基本性质.
分析：(方法1) 直接运用y＝Asin(ωx＋φ)的结果.
先变形， ，再用一般方法来研究.
(方法2)使用类似y＝Asin(ωx＋φ)的研究方法.
例1 画出函数 的图象，并讨论其基本性质.
方法2的解答过程：
解：(1)周期：由y＝cos x的周期可知：
所以 是周期函数，T＝4π，
(2)图象：刻画函数y＝cos x在区间[0，2π]上的图象基本形状的五个关键点为
由此刻画函数 在区间[0，4π]上的图象基本形状的五个关键点为(0，1)，(π，0)，(2π，－1)，(3π，0)，(4π，1)
画出 在一个周期上的图象，由该函数的周期性，把图象向左、右延拓得到在R上的图象(如图).
(3)其他性质：函数的单调增区间是[4kπ－2π，4kπ]，k∈Z；
单调减区间是[4kπ，4kπ＋2π]，k∈Z.
当x＝4kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；
当x＝4kπ＋2π，k∈Z时，函数取得最小值－1.
值域为[－1，1].
思考：如果不根据 的图象，怎么得到其他性质？
解：设 ，则函数y＝cos u的单调增区间是[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
所以函数 的单调增区间是[4kπ－2π，4kπ]，k∈Z.
同理函数 的单调减区间是[4kπ，4kπ＋2π]，k∈Z.
由2kπ－π≤ ≤2kπ，k∈Z得4kπ－2π≤x≤4kπ，k∈Z，
当u＝2kπ，k∈Z时，函数y＝cos u取得最大值1，
由 ＝2kπ，k∈Z得x＝4kπ，k∈Z，
所以当x＝4kπ，k∈Z时，函数 取得最大值1，
同理当x＝4kπ＋2π，k∈Z时，函数 取得最小值－1，
函数 的值域为[－1，1].
思考：如果不根据 的图象，怎么得到其他性质？
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)性质
定义域
值 域
周期性
奇偶性
单调性
最大(小)值
R
[－A，A]
φ＝kπ(k∈Z)时，偶函数； (k∈Z)时，奇函数
单调递增区间可由 (k∈Z)得到
单调递减区间可由 (k∈Z)得到
当x＝2kπ＋ (k∈Z)时，最大值为A
当x＝2kπ＋ (k∈Z)时，最小值为－A
1.为得到函数y＝2sin 3x的图象，只需将函数y＝sin x的图象的横坐标
到原来的 倍，再将纵坐标伸长到原来的 倍.
缩短
2
2.若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0， )的最小正周期为π，且 ，则ω＝ ，φ＝ ，振幅A＝ .
2
2
根据今天所学，回顾下列知识点：
（1）参数A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.
（2）探究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的一般方法和步骤.