江苏省南通市2025届高三第一次调研测试数学（PDF版，无答案）

南通市2025届高三第一次调研测试
数 学 2025.01.15
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|lnx≥0}，则A∩B＝
A．[－1，2] B．[1，2] C．(0，2] D．(0，1]
2．已知向量a，b满足a＋2b＝(3，1)，2a－3b＝(－1，2)，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
3．某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为
A． B． C． D．
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则＝
A．1 B．2 C．4 D．9
5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以p%的增长率呈指数增长．若增长为原来的倍，经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为(参考数据：lg2≈0.3)
A．6 B．12 C．16 D．20
6．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a＝f()，b＝f()，c＝f(－13)，则
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
7．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行．若|AF2|＝|F1F2|，则C的离心率为
A．2 B．2 C．3 D．3
8．设函数f(x)＝sin(ωx－)(ω＞0)，若f(x)在(0，)上有且只有2个零点，且对任意实数a，f(x)在(a，a＋)上存在极值点，则ω的取值范围是
A．(，3) B．(，3] C．(3，) D．(3，]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是
A．若z2为实数，则z是实数 B．若z2为虚数，则z是虚数
C．若z2＝，则z1z2是实数 D．若z12＋z22＝0，则z1z2＝0
10．口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则
A．P(A)＝ B．P(B|A)＝
C．A与B为互斥事件 D．A与B相互独立
11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AB，A1D1的中点，则
A．C1F⊥平面DD1E
B．向量，，不共面
C．平面CEF与平面ABCD的夹角的正切值为
D．平面CEF截该正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋a3＋a5＝ ．
13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为45°，且l过点F．若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ．
14．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b．记m＝|a－b|，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：
女 男
未参加跳绳比赛 75 90
参加跳绳比赛 25 10
(1)能否有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
(2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人进行研究．老师甲从这12人中随机选取3人，求至少有1人参加跳绳比赛的概率．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．(15分)
在△ABC中，已知tanA＝，sin(A－B)＝．
(1)求B；
(2)若AD为∠BAC的平分线，△ABC面积为14，求AD．
17．(15分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1＝BC1＝CA1，BC1⊥CA1．
(1)证明：三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱；
(2)证明：AB1⊥CA1；
(3)设AB1平面α，BC1∥平面α，若直线BC1与平面α的距离为，求三棱柱ABC－A1B1C1外接球的表面积．
18．(17分)
已知函数f(x)＝x3＋ax的图象与x轴的三个交点为A，O，B(0为坐标原点)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2ln有三个零点，求a的取值范围；
(3)若a≠－1，点P在y＝f(x)的图象上，且异于A，O，B，点Q满足·＝0，·＝0，求OQ的最小值．
19．(17分)
已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，且经过点A(，)．定义第n(n∈N*)次操作为：经过C上点An作斜率为k的直线与C交于另一点Bn，记Bn关于x轴的对称点为An＋1，若An＋1与Bn重合，则操作停止；否则一直继续下去．
(1)求C的方程；
(2)若A1为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值；
(3)若k＝－，A1是C在第一象限与A不重合的一点，证明：△AnAn＋1An＋2的面积为定值．