郑州市 2025年高中毕业年级第一次质量预测数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.设集合A= x|x2-2>0 ，B={1,2,3,4}，则A∩B的子集的个数为
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
2.若复数 z满足 1+ i z+ i = 2，其中 i为虚数单位，则 z的虚部为
A. - 1 B. 1 C. - 2 D. 2
3.设向量 a= 2,0 ， b= 1,1 ，下列结论正确的是
A. a = b B. a b= 1 C. a-b ⊥ b D. a b
4.将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷 2次，其八个面上分别标有 1 8八个数
字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点
2
数，则P max X,Y =8|min X,Y =4 = 1
A. 2 B. 2 C. 4 D. 9 6
15 9 9 25 5
π
5.若 x1= ， x2= 3π 是函数 f x = sinωx ω>0 两个相邻的极值点，则ω=4 4
A. 2 B. 3 C. 1 D. 1
2 2
cosx
6.关于函数 f x = 2cosx+ 1 ，下列结论错误的是2
A. 函数 f x 的图象关于 y轴对称 B. 函数 f x 的图象关于直线 x= π 对称
2
C. 函数 f x 的最小正周期为 2π D. 函数 f x 的最小值为 2
D1 C1
7.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点M，N，P分别为A1B1，BC和AD的中 M
点，底面ABCD为菱形，∠DAB= 60°且AB= 2AA1．记MN与AA1所成的角A1 B1
为 α，MN与平面ABCD所成的角为 β，二面角M-PN-B的平面角为 γ，则 D
P CN
A. α> β> γ B. β> γ> α C. γ> α> β D. α> γ> β A B
8.若函数 f x = ex- ln x+1 - 1， g x = lnx- ax，对 x1∈ (-1, +∞)， x2∈ 0,+∞ ，
使得 f x1 ≥ g x2 成立．下列结论正确的是
A. x0∈ 0,2 ，使得 f x0 = 0
B. 函数 y= f x 的最大值为 0
C. a 1的取值范围为 ,+∞e
D. 过 (0,0)作 y= f x 的切线，有且只有一条
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9.下列结论正确的是
A. 若随机变量X B 9, 23 ，则D 3X+1 = 18
B. 将总体划分为 2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 x1，
x 2 2 2 1 2 22和 s1， s2，若 x1= x2，则总体方差 s = s1+s2 2
C. 某物理量的测量结果服从正态分布N 10,σ2 ， σ越大，该物理量在一次测量中在 (9.8,
10.2)的概率越大
D. 已知某 4个数据的平均数为 5，方差为 3，现又加入一个数据 5，此时这 5个数据的方差
为 2.4
10.已知数列 an ， a *1= 1， an+1= 2an+ 1 n∈N ，数列 bn 满足 bn= 2log2 1+an - 1．若在
数列 bn 中去掉 an 的项，余下的项组成数列 cn ，则
A. a1+ a2+ a3+ a4= 26 B. b5= 10
C. a4< b15< a5 D. c1+ c2+ +c10= 170
11.如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆 x-1 2 + y-1 2 = 4相交于
A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是 D
A. AO长度的最大值为 2 2 A
B. 线段BD长度的最小值为 2 2 M O
C. 点M的轨迹是一个圆
B
D. 四边形ABCD面积的取值范围为 4 2,6 C
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
x2 y2
12.已知双曲线C： - = 1，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为 4，则P到另一个
16 9
焦点的距离为 ．
13.已知正方形ABCD的边长为 2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为 4时，
△AEF面积的最大值为 ．
14.甲、乙两人各有 4张卡片，每张卡片上分别标有 1， 2， 3， 4四个数字之一．两人进行四
轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字
的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片 (舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用)．
则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)记 △ABC的内角 A， B， C的对边为 a， b， c，已知 b 2 + c 2 - a 2 = 2 bc，
2sin C-A = sin B．
(1)求 sinC；
(2)设BC= 10，求BC边上的高．
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16. (15分)已知两定点F1 -1,0 ，F2 1,0 ，动点P满足 PF1 + PF2 = 2 F1F2 ．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过F2 1,0 的直线 l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线 x= 2交于点C，设O为坐
标原点，若S△OAC:S△OBC= 3:1，求直线 l的方程．
17. (15分)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为B1C1的中点，底面△ABC B1
为等腰直角三角形，且AB=AC= 1 AA1= 2． M2
C A
(1) 1若A 11在底面ABC内的射影为点B，求点A到平面A1BC的距离；
(2)若A1在底面ABC内的射影为BC的中点，求平面A1MB与平面BCC1B1夹
角的余弦值． B
C A
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18. (17分)已知函数 f x = logax a>0且a≠1 ， y = f x 关于 y = x对称的函数记为 y =
g x ．
(1)若 a> 1，方程 f x - g x = 0有且只有一个实数解，求 a的值；
(2)讨论方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数；
(3)若 a= e，设函数F x = 2 x - f x ，若F x1 =F x2 x1≠x2 ，求F x1 +F x2 的
取值范围．
19. (17分)如果数列 an 满足 a1= 0， an-an-1 = p p为常数，n≥2，n∈N ，则称数列 an
为 α数列，已知项数为n的数列 an 的所有项的和为Tn，且 an 为 α数列．
(1)若n= 4， p= 1， a4= 1，写出所有可能的Tn的值；
(2)若n= 101， p= 5，证明：“a101= 500”是“数列 an 为递增数列”的充要条件；
(3)若n≥ 2， p= 5，证明：若Tn= 0，则n= 4k或n= 4k+ 1， k∈N* ．
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一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.设集合A= x|x2-2>0 ，B={1,2,3,4}，则A∩B的子集的个数为
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】由题意，集合A= x∣x> 2 或 x<- 2 ，集合B={1,2,3,4}，所以A∩B={2,3,
4}，集合有 3个元素，子集的个数有 8个．故选A．
2.若复数 z满足 1+ i z+ i = 2，其中 i为虚数单位，则 z的虚部为
A. - 1 B. 1 C. - 2 D. 2
【答案】C
2
【解析】因为 z+ i= + = 1- i，所以 z= 1- 2i，所以 z的虚部为-2，故选C．1 i
3.设向量 a= 2,0 ， b= 1,1 ，下列结论正确的是
A. a = b B. a b= 1 C. a-b ⊥ b D. a b
【答案】C
【解析】由题意， a = 2， b = 2， a- b= 1,-1 ， a b= 2，所以 a-b b= 0，所以
a-b ⊥ b．故选C．
4.将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷 2次，其八个面上分别标有 1 8八
个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次
2
抛掷的点数，则P max X,Y =8|min X,Y =4 = 1
A. 2 B. 2 C. 4 D. 9
15 9 9 25 65
【答案】B
P AB
【解析】设A=min X,Y = 4，B=max X,Y = 8，则P B∣A =
，
P A
A包含的样本点有： 4,4 , 4,5 , 4,6 , 4,7 , 4,8 , 5,4 , 6,4 , 7,4 , 8,4 共 8个，
P AB
AB 2包含的样本点有： 4,8 , 8,4 共 2个，所以P B∣A = = ．故选B．
P A 9
x = π x = 3π5.若 1 ， 2 是函数 f x = sinωx ω>0 两个相邻的极值点，则ω=4 4
A. 2 B. 3 C. 1 D. 1
2 2
【答案】A
T
【解析】由题意， = x2- x = π 2π1 ，则T= π，由T= ，解得ω= 2，故选A．2 2 ω
cosx
6.关于函数 f x = 2cosx+ 1 ，下列结论错误的是2
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A. 函数 f π x 的图象关于 y轴对称 B. 函数 f x 的图象关于直线 x= 对称
2
C. 函数 f x 的最小正周期为 2π D. 函数 f x 的最小值为 2
【答案】C
【解析】由题意， f x = 2cosx+ 2-cosx，
对于A，对于定义域内的任意 x，都有 f -x = f x ，得 f x 为偶函数，故A正确；
对于B，对于定义域内的任意 x，都有 f π-x = f x ，得 f x 关于 x= π 对称，故B正
2
确；
对于C，对于定义域内的任意 x，都有 f π+x = f x ，得 f x 的最小正周期为 π，故C错
误；
对于D，由基本不等式， f x = 2cosx+ 2-cosx≥ 2 π，当且仅当 x= kπ+ 得时等号成立，
2
f x 取得最小值 2．故D正确；故选C．
7.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点M， N， P分别为A1B1， BC和 D1 C1
AD的中点，底面ABCD为菱形，∠DAB= 60°且AB= 2AA1．记MN与A M1 B1
AA1所成的角为 α，MN与平面ABCD所成的角为 β，二面角M-PN-B D C
的平面角为 γ，则 P N
A B
A. α> β> γ B. β> γ> α
C. γ> α> β D. α> γ> β
【解析】C
如图，取 AB的中点 Q，连接 MQ， NQ，易知 MQ⊥面 ABCD，所以
∠QMN= α，∠MNQ= β，不妨设AA1= 2，AB= 2，则在Rt△MNQ中， D1 C1
A M
tanα= 3 = 6 tanα= 2 6， = ，作QH⊥PN于点H，连接MH， 1 B1
2 2 3 3 D H C
QH，易知 MH⊥ PN P，所以 M - PN - B的平面角为 ∠MHQ = γ，则在 N
A Q B
Rt△MHQ中， tanγ= MQ = 2 = 6 ，
HQ 3 3
2 2
所以 tanγ> tanα> tanβ，所以 γ> α> β．故选C．
8.若函数 f x = ex- ln x+1 - 1， g x = lnx- ax，对 x1∈ (-1, +∞)， x2∈ 0,+∞ ，
使得 f x1 ≥ g x2 成立．下列结论正确的是
A. x0∈ 0,2 ，使得 f x0 = 0
B. 函数 y= f x 的最大值为 0
C. a 1的取值范围为 ,+∞e
D. 过 (0,0)作 y= f x 的切线，有且只有一条
【答案】D
f x = ex- 1【解析】因为 + ，x 1
对于A， f x 在 -1,+∞ 上单调递增，且 f 0 = 0，所以当 x∈ 0,2 时， f x > 0．故
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A错误；
对于B， f x 在 (-1,0)上单调递减，在 0,+∞ 上单调递减，且 f 0 = 0，所以 f x 有最
小值 0．故B错误；
对于 C，因为 f x 有最小值 0，只需使 g x ≤ 0在 0,+∞ 上能成立，即 lnx ≤ ax在
0,+∞ 上能成立，易知无论 a取何值， lnx≤ ax在都成立，所以 a∈R．故C错误；故选
D．
二、多选题：本题共 3小题，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9.下列结论正确的是
A. 2若随机变量X B 9, ，则D 3X+1 = 183
B. 将总体划分为 2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 x1，
x 和 s22 1， s2
2，若 x1= x
2 1 2 2
2，则总体方差 s = s +s2 1 2
C. 某物理量的测量结果服从正态分布N 10,σ2 ， σ越大，该物理量在一次测量中在 (9.8,
10.2)的概率越大
D. 已知某 4个数据的平均数为 5，方差为 3，现又加入一个数据 5，此时这 5个数据的方差
为 2.4
【答案】AD
【解析】对于A，D X =np 1-p = 9× 1 × 2 = 2，D 3X+2 = 9D X = 18．故A正
3 3
确；
对于B ，设两层样本的数量分别为m，n，则 x= x1= x s2= m s2+ n 22， m+n 1 m+ s2．故n
B错误；
对于C，因为 σ越小，方差越小，数据越集中在平均值附近，随机变量在 μ附近取值的概
率越大．故C错误；
x +x +x +x
对于D，设 4 1 2 3个数据分别为 x1， x2， x3， x4，则 x= 4 = 5，4
2 x -5
2+ x -5 2+ x -5 2+
= 1 2 3
x -5 2
s 4 = 3，
4
= x1+x2+x +x +5加入数据 5之后， x 3 4 = 5，
5
2 x1-5
2 + x2-5 2 + x -5 2 + x -5 2= 3 4 s = 12 = 2.4．
5 5
故D正确；故选AD．
10.已知数列 an ， a1= 1， an+1= 2an+ 1 n∈N* ，数列 bn 满足 bn= 2log2 1+an - 1．若在
数列 bn 中去掉 an 的项，余下的项组成数列 cn ，则
A. a1+ a2+ a3+ a4= 26 B. b5= 10
C. a4< b15< a5 D. c1+ c2+ +c10= 170
【答案】ACD
【解析】由题意得， an+1+ 1= 2 an+1 ，所以 an+1 为等比数列，首项为 2，公
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比为 2，得 an= 2n- 1， bn= 2n- 1．
对于A，由 an= 2n- 1易得A正确；
对于B，由 bn= 2n- 1易得 b5= 9，故B错误；
对于C， a4= 15， a5= 31， b15= 29，故C正确；
对于D，结合AC选项， c1+ c2+ +c10=T14-S4= 196- 26= 170，其中Sn，Tn分
别为 an ， bn 的前n项和．故D错误；
故选ACD．
11.如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆 x-1 2 + y-1 2 = 4相交于
A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，下列结论正确的是 D
A
A. AO长度的最大值为 2 2
B. 线段BD长度的最小值为 2 2 M O
C. 点M的轨迹是一个圆 B
D. 四边形ABCD面积的取值范围为 4 2,6 C
【答案】BCD
【解析】如图，由于原题图中没有画坐标系，于是如图添加坐标系，设圆的圆心 y
为E，则EO= 2． A D
对于A，AO最大值为圆心E到O的距离加上半径 r，所以当AOmax= 2+ 2． E
故A错误； O x
B
对于B，弦AC的最大值为直径 2r= 4，此时BD有最小值 2 2．故B正确； C
对于C，因为MO= 1 AB，而AB= 2 4-EM 2，即MO2+ME 2= 4，所以M
2
的轨迹为圆．故C正确； A
对于D，如图，因为S= 1 AC BD= 2 4-d2 4-d2= 2 8+d2d2
2 1 2 1 2
，
d1 E
而 d21+ d22= 2，所以 0≤ d1d2≤ 1，所以S= 2 8+d2d21 2 ∈ 4 2,
d
6 ．故D 2正确； B O D
故选BCD． C
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
x2 y2
12.已知双曲线C： - = 1，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为 4，则P到另一个
16 9
焦点的距离为 ．
【答案】12
【解析】由双曲线的定义， PF1-PF2 = 2a= 8，不妨设PF2= 4，得PF1= 12．
13.已知正方形ABCD的边长为 2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为 4时，
△AEF面积的最大值为 ．
【答案】12- 8 2
【解析】设AE= x，AF= y，则EF= x2+y2，所以 x2+y2 + x+ y= 4，整理得 8 x+y
- 16= 2xy 1 1，由基本不等式，得 xy≤ 4-2 2 2 ，所以 S= xy≤ 4-2 2 2 = 12-
2 2
8 2．考生可以直接令AE=AF，得面积的最大值．
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14.甲、乙两人各有 4张卡片，每张卡片上分别标有 1， 2， 3， 4四个数字之一．两人进行四
轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字
的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片 (舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用)．
则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种．
【答案】216
【解析】若甲的卡片顺序为： 1,2,3,4，则乙可能的所有顺序为： 2,1,4,3； 2,3,4,1； 2,4,1,
3； 3,1,4,2； 3,4,1,2； 3,4,2,1； 4,1,2,3； 4,3,1,2； 4,3,2,1共九种，甲全排列共有A44种，
所以答案为：A44× 9= 216．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)记 △ABC的内角 A， B， C的对边为 a， b， c，已知 b 2 + c 2 - a 2 = 2 bc，
2sin C-A = sin B．
(1)求 sinC；
(2)设BC= 10，求BC边上的高．
3 10
【答案】 1 ； 2 12．
10
【解析】(1)在△ABC中，A+B= π-C，
2 2 2
∵ b2+ c2- a2= 2bc b +c -a 2bc 2，所以 cosA= = = ，
2bc 2bc 2
∴A= π ． 2分
4
∵ 2sin C-A = sinB，∴ 2sin C- π = sin4
3π -C
4 ，
展开并整理得 2 sinC-cosC = 2 cosC+sinC ，
2
得 sinC= 3cosC， 4分
又 sin2C+ cos2C= 1，且 sinC> 0，
∴ sinC= 3 10 ． 6分
10
(2) BC AB由正弦定理得 = ，
sinA sinC
AB= BC得 × sinC= 10 × 3 10 = 6 5， 8分
sinA 2 10
2
由 (1)得， sinC= 3cosC> 0， sinC= 3 10 10， cosC=
10 10
sinB= sin A+C = sinAcosC+ cosAsinC= 2 5 ． 10分
5
设BC边上的高为 h，则 h=AB× sinB= 6 5 × 2 5 = 12 12分
5
∴AB边上的高为 12． 13分
16. (15分)已知两定点F1 -1,0 ，F2 1,0 ，动点P满足 PF1 + PF2 = 2 F1F2 ．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过F2 1,0 的直线 l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线 x= 2交于点C，设O为坐
标原点，若S△OAC：S△OBC= 3:1，求直线 l的方程．
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x2
【答案】 1 + y2= 1； 2 y= x- 1或 y=-x+ 1．
2
【解析】(1)依题意知 F1F2 = 2， PF1 + PF2 = 2 F1F2 = 2 2> 2= F1F2 ，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦点在 x轴上， 2分
x2 y2
设椭圆方程为 + = 1 a>b>0 由 2a= 2 2， 2c= 2，得 a= 2， c= 1， b= 1，
a2 b2
x2
故所求点P的轨迹方程为 + y2= 1． 4分
2
(2)依题意，设直线 l的斜率为 k k≠0 ，则直线 l的方程为 y= k x-1 ，
x
2+2y2=2
设A x1,y 2 2 21 ，B x2,y2 ，联立 ，消 y得 1+2k x - 4k x+ 2k2-2 = 0，y=kx-k
2 2
Δ= 8k2+ 8 4k 2k -2，可得： x1+ x2= ①， x1x2= ②． 6分
1+2k2 2 1 +2k
由S△OAC：S△OBC= 3:1，∴ AC ： BC = 3:1，AC = 3BC，
∴ 2- x1= 3 2-x2 ，整理得 3x2- x1= 4③ 8分
x = k
2-1 2
由①③得 1 ， x = 3k +12 ， 10分
2k2+1 2k2+1
代入②，解得 k=±1， 13分
∴直线 l的方程为 y= x- 1或 y=-x+ 1． 15分
17. (15分)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为B1C1的中点，底面△ABC B1
1
为等腰直角三角形，且AB=AC= AA1= 2． M2 C1 A1
(1)若A1在底面ABC内的射影为点B，求点A到平面A1BC的距离；
(2)若A1在底面ABC内的射影为BC的中点，求平面A1MB与平面BCC1B1夹 B
角的余弦值．
1
【答案】 1 2； 2 ． C A
8
【解析】(1)如图，取BC的中点O，连接AO．
∵△ABC为等腰三角形，B=AC，∴AO⊥BC， 2分 B1
又∵A1在底面ABC内的射影为点B
M
，
C1 A1
∴A1B⊥面ABC，∴A1B⊥AO，
又∵A1B∩BC=B，∴AO⊥面A1BC， 4分
B
∴AO即为点A到平面A1BC的距离． O
又∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC= 2∴AO= 2． C A
∴点A到平面A1BC的距离为 2． 6分
(2) B1如图，取BC的中点O，连接AO，A1O，
M z
∵A1在底面ABC内的射影为BC的中点，∴A1O⊥面ABC C1 A1
∵△ABC为等腰三角形，AB=AC，∴AO⊥BC．
∴建立如图所示的空间直角坐标系，易知A1O= 14 B
∴M 0,- 2, 14 ，B - 2,0,0 ，A1 0,0, 14 ，B1 - 2,- 2, 14 ， O
∴MB= - 2, 2,- 14 ，BA1= 2,0,
A
14 ，BB1= 0,- 2, 14 ． 8分 Cx y
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设平面MBA1的一个法向量为n1= x,y,z ，
- 2x+ 2y- 14z=0由 ，得n1= - 7,0,1 ， 10分2x+ 14z=0
设平面BCC1B1的一个法向量为n2= x,y,z ，
- 2x+ 2y- 14z=0由 ，得n2= 0, 7,1 ， 12分- 2y+ 14z=0
n
则 cos = 1 n2 = 11 2 ， 14分
n1 n2 8
平面A1MB与平面BCC1B
1
1夹角的余弦值为 ． 15分8
18. (17分)已知函数 f x = logax a>0且a≠1 ， y = f x 关于 y = x对称的函数记为 y =
g x ．
(1)若 a> 1，方程 f x - g x = 0有且只有一个实数解，求 a的值；
(2)讨论方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数；
(3)若 a= e，设函数F x = 2 x - f x ，若F x1 =F x2 x1≠x2 ，求F x1 +F x2 的
取值范围．
1
【答案】 1 e e；
2 当 0< a< 1，方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数为 1个．
当 a> 1， a≠ e，方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数为 2个．
当 a= e，方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数为 1个；
3 8-4ln2,+∞ ．
【解析】(1) ∵ f x = logax关于 y= x对称的函数为 y= ax，∴ g x = ax． 2分
设 y= f x 与 y= g x 有公共点 x0,y0 ，由对称性可知， x0,y0 在 y= x上，
∵ f x = 1 ， g x = axlna，
xlna
1
=ax0lna=1 1∴ x0lna 解得 x =
1
0 ，得 a= e e，lna
y0=ax0=logax0
1
∴ a的值为 e e． 5分
(2)由 (1)知， g x = ax，由 ax= xa a>0,a≠1 ， x∈ 0,+∞
xlna= alnx lnx = lna两边同取对数， ，即 ． 7分
x a
y= lnx y = 1-lnx令 ， ，∴函数 y= 1nx 在 (0,e)上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减．
x x2 x
当 0< a< 1，方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数为 1个．
当 a> 1， a≠ e，方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数为 2个．
当 a= e，方程 g x - xa= 0在 0,+∞ 上实数解的个数为 1个 10分
(3) ∵F x = 2 x- lnx，定义域为 0,+∞ 1 1 ，求导得，F x = -
x x
∵F x =F x ∴ 1 - 1 = 1 1又 1 2 ， - ，
x1 x1 x2 x2
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整理得 x1+ x2= x1x2， 13分
由基本不等式得， x1x2> 16， 14分
∴F x1 +F x2 = 2 x1x2- lnx1x2，设 x1x2= t t>4 ，则 h t = 2t- 2lnt，
2 2t-2
易知 h t = 2- = > 0，∴ h t = 2t- 2lnt在 4,+∞ 单调递增，
t t
∴ h t > h 4 = 8- 4ln2，
∴F x1 +F x2 的取值范围为 8-4ln2,+∞ ． 17分
19. (17分)如果数列 an 满足 a1= 0， an-an-1 = p p为常数，n≥2，n∈N ，则称数列 an
为 α数列，已知项数为n的数列 an 的所有项的和为Tn，且 an 为 α数列．
(1)若n= 4， p= 1， a4= 1，写出所有可能的Tn的值；
(2)若n= 101， p= 5，证明：“a101= 500”是“数列 an 为递增数列”的充要条件；
(3)若n≥ 2， p= 5，证明：若Tn= 0，则n= 4k或n= 4k+ 1， k∈N* ．
【答案】 1 0， 2， 4； 2 3 见解析．
【解析】(1)依题意可知有如下三种情况：
若 an： 0，-1， 0， 1，此时Tn= 0．
若 an： 0， 1， 0， 1，此时Tn= 2，
若 an： 0， 1， 2， 1，此时Tn= 4． 3分
(2)证明：必要性：因为 an< an+1 n=1,2, ,100 ，所以 an+1- an= 5 n=1,2, ,100 ，
故数列 an n=1,2,3, 101 为等差数列，公差为 5，所以 a101= 101-1 × 5= 500，必要
性成立； 6分
充分性：由于 a101- a100≤ 5， a100- a99≤ 5， ， a2- a1≤ 5，
累加可得， a101- a1≤ 500，即 a101≤ a1+ 500= 500，
因为 a101= 500，故上述不等式的每个等号都取到，
所以 an+1- an= 5 n=1,2, ,100 ，即 an+1> an n=1,2, ,100 ，充分性成立． 9分
综上所述，“a101= 500”是“数列 an 为递增数列”的充要条件； 10分
(3)证明：令 cn= an+1- an k=1,2, ,n-1 ，依题意， cn=±5，
因为 a2= a1+ c1， a3= a1+ c1+ c2， ， an= a1+ c1+ c2+ +cn-1， 12分
所以Tn=na1+ n-1 c1+ n-2 c2+ n-3 c3+ +cn-1
= n-1 + n-2 + +1- 1-c1 n-1 - 1-c2 n-2 - - 1-cn-1
n n-1= - 1-c1 n-1 + 1-c2 n-2 + + 1-cn-1 ， 14分2
因为 cn=±5，所以 1- cn为偶数
所以 1-c1 n-1 + 1-c2 n-2 + + 1-cn-1 为偶数；
n n-1
所以要使Tn= 0，必须使 为偶数，即 4整除n n-1 ，2
亦即n= 4k或n= 4k+ 1 k∈N* ， 16分
当n= 4k k∈N* 时，
比如， a4m-1= a4m-3= 0， a4m-2=-5， a4m= 5 m=1,2, ,k ，
或 a4m-1= a4m-3= 0， a4m-2= 5， a4m=-5 m=1,2, ,k 时，有 a1= 0，Tn= 0；
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当n= 4k+ 1 k∈N* 时，
比如 a4m-1= a4m-3= 0， a4m-2=-5， a4m= 5， a4m+1= 0 m=1,2, ,k ，
或 a4m-1= a4m-3= 0， a4m-2= 5， a4m=-5， a4m+1= 0 m=1,2, ,k ，有 a1= 0，Tn= 0；
当n= 4k+ 2或n= 4k+ 3 k∈N 时，n n-1 不能被 4整除，Tn≠ 0． 17分
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