(共19张PPT)
如 图 ，A 、B 表示两个仓库，要在A 、B一侧的河岸边建造一个码 头 ，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
点P 是码头的位置
生活情境
第 十 章 三 角 形 的 有 关 证 明
10.4线段的垂直平分线
EN
1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，
并会进行运用.
2.通过经历线段垂直平分线的性质定理的证明过程，
体验逻辑推理的数学方法。
学习目标
温故知新
定义：垂 直于一条线段，并且平分这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线。
符号语言：
∵/是线段AB的垂直平分线；
∴__ 二
工 由上可知：线段是轴对称图形，线段
的垂直平分线是它的对称轴.
线段的垂直平分线的性质是什么
B
典例精析
例1如图，在△ABC 中，AB=AC=20cm,DE 垂直平分AB, 垂足
为E, 交 AC 于D, 若 △DBC 的周长为35cm, 则BC 的长为( C )
A.5cm
B.10cm
C.15cm
D.17.5cm
解析：∵△
DBC 的周长为BC+BD+CD=35cm, 又
∵DE 垂直平分AB,∴AD=BD, 故
BC+AD+CD=35cm. ∵AC=AD+DC=20cm,
∴BC=35-20=15(cm). 故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转 化，从而求出未知线段的长.
练 一 练：1.如图①所示，直线CD 是线段AB的垂直平分线，点P 为直线CD 上的
一点，且PA=5, 则线段PB的长为( B )
2.如图②所示，在△ABC 中 ，BC=8cm, 边AB 的垂直平分线交AB 于点D, 交 边
AC 于点E,△BCE 的周长等于18cm, 则AC 的长是10 cm .
A.6 B.5 C.4 D.3
图②
线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
它是真命题吗 你能证明吗
微课--线段垂直平分线的逆命题
发现线段垂直平分线性质的逆命题
想一想：如果PA=PB, 那么点P 是否在线段AB的垂直平分线上呢
记得要分点P 在线
段AB上及线段AB外
两种情况来讨论
(1)当点P 在线段AB上时，
∵PA=PB,
∴ 点P 为线段AB的中点，
显然此时点P 在线段AB的垂直平分线上；
( 2 ) 当 点P 在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB,
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点P 作PCLAB, 垂足为点C,
∴底边AB上的高PC 也是底边AB上的中线.
即PCLAB, 且AC=BC.
∴直线PC 是线段AB的垂直平分线，
此时点P 也在线段AB的垂直平分线上.
总结归纳
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
应用格式：
∵ PA=PB,
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上.
作 用 ：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例 2 :已 知：如图△ABC 中 ，AB=AC,O 是△ABC 内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC,
∴A在线段BC的垂直平分线(到一条线段
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上) .
同理，点O 在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确
定一条直线). 利用三角形的全等证明
证明：延长AO交BC于点D,
∵AB=AC,AO=AO,OB=OC, ∴△ABO≌△ACO(SSS).
∴∠BAO=∠CAO,
∵AB=AC,
∴AOLBC.
∵OB=OC ,OD=OD ,
∴Rt△DBO≌Rt△DCO(HL). . ∴.BD=CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
0.
B4
C
D
A
线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等
见垂直平分线，得线段相等
到线段的两个端点距离相等的 点在线段的垂直平分线上
课堂小结
线段的垂直
平分的性质
和判定
判断一个点是否在线段的垂直
平分线上
内容
作用
判定
性 质
作用
内容
2.已知线段AB, 在平面上找到三个点D 、E 、F, 使
DA=DB,EA=EB,FA=FB, 这样的点的组合共有 无数 _种 .
当堂练习
1. 如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是( A )
垂直平分CD;
垂直平分AB;
与CD 互相垂直平分；
平分∠ ACB.
A.AB
B.CD C.AB
D.CD
3.下列说法：
①若 点P 、E 是线段AB的垂直平分线上两点，则
EA=EB,PA=PB;
②若PA=PB,EA=E B, 则直线PE 垂直平分线段AB;
③若PA=PB , 则 点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA=EB, 则经过点E 的直线垂直平分线段AB. 其中正确的有①②③ ( 填 序 号 ) .
4.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E, 连接
BE,AB+BC=16cm, 则 △BCE 的周长是16 cm.
5. 已知：如图，点C,D 是线段AB 外的两点，且AC=BC,
AD=BD,AB 与CD 相交于点O.
求证：AO=BO.
证明：∵AC=BC,AD=BD,
∴ 点C 和点D 在线段AB的垂直平分线上，
∴CD 为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB 与CD 相交于点O,
. ∴.AO=BO.
