(共12张PPT)
18.2.3 正方形
1.正方形的性质
(1)边:四条边都 .角:四个角都是 .
(2)对角线:对角线相等、 、 ,并且每条对角线平分一组对角.
2.正方形的判定
(1)有一组 的矩形是正方形.
(2)有一个角是 的菱形是正方形.
(3)对角线 的矩形是正方形.
(4)对角线 的菱形是正方形.
相等
直角
互相平分
互相垂直
邻边相等
直角
互相垂直
相等
知识点一 正方形的性质
1.如图,点P为正方形ABCD对角线AC上一点,如果AP=AB,那么∠CBP的度数是( )
A.15° B.22.5°
C.30° D.45°
2.如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若ED=2,AE=3,那么正方形ABCD的面积为( )
A.5 B.
C. D.13
3.(2023重庆中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=
45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于( )
A.2α B.90°-2α
C.45°-α D.90°-α
B
A
A
4.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.
名师点睛
根据正方形的性质可以得到许多边、角的等量关系,所以正方形与全等三角形经常结合在一起考查,充分利用正方形的性质是解决问题的关键.
证明:∵四边形ABCD是正方形.
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.
∴∠AFO+∠MAE=90°.
又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°.
∴∠MEA=∠AFO.∴△BOE≌△AOF(AAS).
∴OE=OF.
知识点二 正方形的判定
5.已知,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可判定该四边形是正方形,那么所添加的这个条件可以是( )
A.∠D=90° B.AB=CD
C.AD=BC D.BC=CD
6.如果证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要进一步证明( )
A.AB=AD且AC=BD B.AB=AD且AC⊥BD
C.∠A=∠B且AC=BD D.AC和BD互相垂直平分
7.下列条件能判断一个四边形是正方形的是( )
A.对角线互相垂直且相等 B.一组对边平行,另一组对边相等且有一个内角为90°
C.对角线平分每一组对角 D.四边相等且有一个角是直角
D
A
D
8.如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交对角线AC于点M,ME⊥AB,MF⊥BC,垂足分别是E,F.求证:四边形EBFM为正方形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.
∵MF⊥BC,ME⊥AB,∴∠BFM=∠MEB=90°.
∴∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°.
∴四边形EBFM为矩形.
∵BM平分∠ABC,MF⊥BC,ME⊥AB,∴ME=MF.
∴四边形EBFM为正方形.
名师点睛
在证明一个四边形是正方形时,首先看题干中这个四边形是平行四边形、矩形还是菱形,然后选择相应的判定方法,寻找判定正方形所需的条件是解题的关键,此外,利用正方形的定义判定正方形时既要有边的条件又要有角的条件.
【基础过关】
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线互相垂直平分且相等
2.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ABE,则∠BED为( )
A.15° B.35°
C.45° D.55°
母题变式
如图,以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC,连接AP,DP,则∠PAD= .
A
C
15°
3.如图,已知AC= cm,小红做了如下操作:分别以A,C为圆心,1 cm的长为半径作弧,两弧分别相交于点B,D,依次连接点A,B,C,D,则四边形ABCD的形状是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.(2023河北中考)如图,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,则S△ABC=( )
A.4 B.8
C.12 D.16
D
B
5.(2023黑龙江中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件
,使得矩形ABCD为正方形.
6.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰三角形有 个.
7.如图,正方形ABCD的边长为8,E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG= .
AB=AD(答案不唯一)
8
1
8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF.∴OE=OF.
∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA,∴OE=OF=OA=OC,
即EF=AC.∴菱形AECF是正方形.
【素养闯关】
9.(2023常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为( )
A.80° B.90°
C.105° D.115°
10.(2023廊坊香河校级三模)问题:如图,在正方形ABCD中,边长AB为10,点P为对角线AC上一点(不与点A,C重合).当△BCP为等腰三角形时,求AP的值.嘉嘉:当点P为AC中点时,△BCP为等腰三角形,AP=5;淇淇:当CP=BC=10时,△BCP是等腰三角形,AP=10-10.则( )
A.嘉嘉的结论正确
B.淇淇的结论正确
C.嘉嘉、淇淇的结论合起来正确
D.嘉嘉、淇淇的结论合起来也不正确,还有一种情况
C
C
11.如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:PA=EF.
(2)若正方形ABCD的边长为10,求四边形PFCE的周长.
(1)证明:如图,连接PC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠BCD=90°.
在△ABP与△CBP中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,
∴四边形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF.
(2)解:∵∠EBP=45°,∠PEB=90°,
∴BE=PE,∴PE+EC=BE+EC=BC=10,
∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2BC=20.(共15张PPT)
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
平行四边形的判定定理
(1)两组对边分别 的四边形是平行四边形.
(2)一组对边 的四边形是平行四边形.
一组对边平行,一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
(3)两组对角分别 的四边形是平行四边形.
(4)对角线 的四边形是平行四边形.
相等
平行且相等
相等
互相平分
知识点一 用边判定平行四边形
1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,若∠ABD=40°,则∠BDC= .
2.如图,AB=CD=EF,且△ACE≌△BDF,则图中平行四边形的个数为 .
40°
3
3.如图,在 ABCD中,E为AD延长线上一点,F为CB延长线上一点,且DE=BF,连接AF,CE.求证:四边形AFCE是平行四边形.
名师点睛
在四边形中证明线段相等或平行时,可先判定四边形是平行四边形,再利用平行四边形的性质解决问题.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
又∵DE=BF,
∴AD+DE=BC+BF,
即AE=CF,
又∵AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
知识点二 用角判定平行四边形
4.下面给出的四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( )
A.3∶4∶3∶4
B.3∶3∶4∶4
C.2∶3∶4∶5
D.3∶4∶4∶3
A
5.如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E,DF平分∠ADC,交BC于点F,那么四边形BFDE是平行四边形吗 请说明理由.
名师点睛
当已知条件出现所要证明的四边形的角时,可选择“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来判定.
解:四边形BFDE是平行四边形.理由如下:
在 ABCD中,∠ABC=∠ADC,∠A=∠C.
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
∴∠ABE=∠EBC=∠ABC,∠CDF=∠ADF=∠ADC,
∴∠CDF=∠ADF=∠ABE=∠EBC.
∵∠DFB=∠C+∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,
∴∠DFB=∠BED,∴四边形BFDE是平行四边形.
知识点三 用对角线判定平行四边形
6.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AO=CO,BO=DO
B.AB=CD,AD=BC
C.AB∥CD,AB=CD
D.AB∥CD,AD=BC
D
7.(2022内江中考改编)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.试判断四边形DEBF的形状,并证明你的结论.
名师点睛
若已知条件与对角线有关,可证明对角线互相平分,从而证明四边形是平行四边形.
解:四边形DEBF是平行四边形.证明如下:
如图,连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC ,OB=OD.
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF.
∴OE=OF.
∴四边形DEBF是平行四边形.
【基础过关】
1.(2022河北中考)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
2.(2022邯郸模拟)如图,给出了四边形的部分数据,再添加一条线段长为9的条件,可得此四边形是平行四边形,则这条线段是( )
A.① B.② C.③ D.④
D
D
3.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF.
求证:四边形BEDF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴……
∵AE=CF,∴DE=BF.
∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.
省略号表示的是( )
A.AD=BC
B.AB=CD
C.AB=CD,AB∥CD
D.AD=BC,AD∥BC
D
4.(2023衡阳中考)如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=BC B.AB∥DC
C.AB=DC D.∠A=∠C
5.如图,AC,BD是相交的两条线段,O分别为它们的中点.当BD绕点O旋转时,
连接AB, BC,CD, DA所得到的四边形ABCD始终为 形.
6.如图,已知AO=OC,BD=6 cm,那么OB= cm时,
四边形ABCD是平行四边形.
7.一个四边形边长依次为a,b,c,d,且(a-c)2+|b-d|=0,则这个四边形为 .
母题变式
已知a,b,c,d为四边形的四边长,a,c为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形一定是 .
C
平行四边
3
平行四边形
平行四边形
8.(2022河池中考)如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
(1)求证:∠ACB=∠DFE.
(2)连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.
(1)证明:∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,
即AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠ACB=∠DFE.
(2)解:如图,四边形BFEC是平行四边形.理由如下:
由(1)可知,∠ACB=∠DFE,
∴BC∥EF.
又∵BC=EF,
∴四边形BFEC是平行四边形.
【素养闯关】
9.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,给出下列四个条件:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
10.如图,已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边,AD⊥BC,∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开,得到两个三角形,若把这两个三角形拼成一个平行四边形,则能拼出 种不同的平行四边形.
B
3
11.如图,在 ABCD中,对角线AC交BD于点O,DE∥AC,DE=AC.
(1)求证:四边形AODE是平行四边形.
(2)不添加辅助线,图中还有哪些平行四边形.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=AC.
∵DE∥AC,DE=AC,
∴DE=OA,DE∥OA,
∴四边形AODE是平行四边形.
(2)解:题图中还有平行四边形ABOE、平行四边形CDEO.理由如下:
∵四边形AODE是平行四边形,
∴AE∥BD,DE∥AC,AE=OD,DE=OA.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC,
∴AE∥OB,AE=OB,DE∥OC,DE=OC,
∴四边形ABOE、四边形CDEO是平行四边形.
12.如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求证:四边形BCED是平行四边形.
(2)已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.
(1)证明:∵∠A=∠F,∴DE∥BC.
∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF,∴∠DMF=∠2.
∴DB∥EC.∴四边形BCED为平行四边形.
(2)解:∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠CBN.
∵EC∥DB,∴∠CNB=∠DBN.
∴∠CNB=∠CBN.∴CN=BC=DE=2.(共14张PPT)
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
菱形的判定
(1)定义判定:有一组邻边 的平行四边形是菱形.
(2)定理判定:
①对角线 的平行四边形是菱形.
②四条边 的四边形是菱形.
相等
互相垂直
相等
知识点一 根据平行四边形判定菱形
1.(教材P58练习T3变式)如图,将两张对边平行且等宽
的纸条交叉叠放在一起,则重合部分构成的四边形ABCD
菱形(填“是”或“不是”).
2.如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,延长BC至点E,使BE=BD,过点E作EF∥BD交AD延长线于点F.求证:四边形BEFD是菱形.
是
证明:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∵EF∥BD,∴四边形BEFD是平行四边形.
∵BE=BD,∴四边形BEFD是菱形.
变式:(变换条件)若将题中“平行四边形ABCD”变为“矩形ABCD”,最后的结论还成立吗
变式:解:成立.
证明:在矩形ABCD中,AD∥BC.
∵EF∥BD,∴四边形BEFD是平行四边形.
∵BE=BD,
∴四边形BEFD是菱形,所以原结论还成立.
3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AF=6,求四边形AEDF的周长.
名师点睛
证明平行四边形是菱形的方法:一是证明邻边相等,另一个是证明对角线互相垂直.
解:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF为平行四边形,∠EAD=∠FDA.
∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD=∠FDA,
∴FA=FD,∴平行四边形AEDF为菱形.
∵AF=6,∴C菱形AEDF=4AF=4×6=24.
知识点二 根据四边形判定菱形
4.下列条件中,能判定四边形是菱形的是( )
A.两条对角线相等
B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相垂直平分
D.两条对角线互相平分且相等
5.(2023齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:
,使四边形ABCD成为菱形.
C
AD∥BC(答案不唯一)
6.如图,在△ABC中,M是AC边上的一点,连接BM.将△ABC沿AC翻折,使点B落在点D处,当DM∥AB时,求证:四边形ABMD是菱形.
证明:∵AB∥DM,∴∠BAM=∠AMD.
∵△ADC是由△ABC翻折得到,
∴∠CAB=∠CAD,AB=AD,BM=DM,
∴∠DAM=∠AMD,∴DA=DM,
∴DA=DM=AB=BM,∴四边形ABMD是菱形.
名师点睛
证明一个四边形是菱形,要结合条件灵活选用方法.如果可以证明四条边相等,则可以直接证明该四边形是菱形;若易证得一组邻边相等或对角线互相垂直,则可以先证明这个四边形是平行四边形,再用菱形的判定方法证明即可.
【基础过关】
1.(2022襄阳中考)如图, ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是( )
A.若OB=OD,则 ABCD是菱形
B.若AC=BD,则 ABCD是菱形
C.若OA=OD,则 ABCD是菱形
D.若AC⊥BD,则 ABCD是菱形
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC⊥BD,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.AB=CD B.OA=OC,OB=OD
C.AC=BD D.AB∥CD,AD=BC
D
B
3.(2023深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.(2023张家口蔚县校级模拟)下列是4位同学所画的菱形,依据所标数据,不一定为菱形的是( )
B
B
5.(教材P61习题T12变式)在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),
B(0,2),C(3,0),D(0,-2),四边形ABCD是 .
6.若一个平行四边形的一条边的长为13,两条对角线的长分别为10和24,则它的面积为
.
7.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为 .
菱形
120
8
8.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是菱形.
证明:∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=DA.
∵E,F分别为OA,OB的中点,∴EF为△OAB的中位线,
∴EF=AB.同理可得FG=BC,GH=CD,HE=AD,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH为菱形.
【素养闯关】
9.如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形
D
10.(2023张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF.
(2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.
证明:(1)∵AD=BC,
∴AD+CD=BC+CD,
∴AC=BD.
∵AE=BF,CE=DF,
∴△AEC≌△BFD(SSS),
∴∠A=∠B,∴AE∥BF.
(2)∵△AEC≌△BFD,
∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF.
∵EC=DF,∴四边形DECF是平行四边形,
∵DF=FC,∴四边形DECF是菱形.
11.如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD,BE,BC于点P,O,Q,连接BP,EQ.
(1)求证:四边形BPEQ是菱形.
(2)若AB=6,F为AB的中点,OF+OB=9,求PQ的长.
(1)证明:∵PQ垂直平分BE,∴QB=QE,OB=OE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠PEO=∠QBO.
在△BOQ与△EOP中,∴△BOQ≌△EOP(ASA).∴QB=PE.
∵AD∥BC,∴四边形BPEQ是平行四边形.∵QB=QE,∴四边形BPEQ是菱形.
(2)解:∵O,F分别为BE,AB的中点,∴AE+BE=2OF+2OB=18.设AE=x,则BE=18-x,
在Rt△ABE中,62+x2=(18-x)2,解得x=8.
∴BE=18-x=10.∴OB=BE=5.
设PE=y,则AP=8-y,BP=PE=y.在Rt△ABP中,62+(8-y)2=y2,解得y=,即PB=PE=.
在Rt△BOP中,PO==,∴PQ=2PO=.(共8张PPT)
小专题集训四 矩形、菱形、
正方形的性质与判定
类型一 矩形的性质与判定
1.(2023陕西中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4.点E在边AD上,且ED=3,M,N分别是边AB,BC上的动点,且BM=BN,P是线段CE上的动点,连接PM,PN.若PM+PN=4.则线段PC的长为
.
2
解题指导
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们的性质和判定主要从边、角、对角线这三个方面进行总结,它们各自特有的性质可以为证明有关线段相等、角相等、直线平行与垂直等问题提供新的方法和思路.
2.(2022石家庄赞皇期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在斜边AB上,E,F分别在直角边CA,BC上,且DE⊥AC,DF∥AC.
(1)求证:四边形CEDF是矩形.
(2)连接EF,若点C到AB的距离是5,求EF的最小值.
(1)证明:∵DF∥AC,∠C=90°,
∴∠DFB=∠C=90°,∴∠DFC=90°=∠C.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°=∠DFC=∠C,
∴四边形CEDF是矩形.
(2)解:连接CD,如图所示:
由(1)可知,四边形CEDF是矩形,
∴CD=EF,
∴当CD有最小值时,EF的值最小.
∵当CD⊥AB时,CD有最小值,
∴CD⊥AB时,EF有最小值.
∵C到AB的距离是5,即点C到AB的垂直距离为5,
∴CD的最小值为5,∴EF的最小值为5.
类型二 菱形的性质与判定
3.(2023张家口张北校级期中)如图,两条宽都为1 cm的纸条交叉成60°角重叠在一起,则重叠四边形的面积为 cm2.
4.(2022石家庄平山期末)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:四边形ADCF是菱形.
(2)若AB=6,AC=8,求菱形ADCF的面积.
(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
在△AEF和△DEB中,
∴△AEF≌△DEB(AAS),∴AF=DB.
∵D是BC的中点,∴DB=DC,∴AF=CD.
∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,∴AD=BC=CD,
∴平行四边形ADCF是菱形.
(2)解:∵D是BC的中点,∴=2S△ADC=S△ABC=AB·AC=×6×8=24.
类型三 正方形的性质与判定
5.已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形.现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.选①② B.选②③
C.选①③ D.选②④
6.(2023秦皇岛青龙期末)如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一点,若∠CED=70°,则∠ABE的度数是 .
B
25°
7.如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)若AB=3,BE=2,求四边形AECF的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴CD=AB,∠ABE=∠CDF=45°.
又∵BE=DF.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:如图,连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.
又∵DF=BE,∴OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
∵AB=3.∴AC=BD=6.
∵BE=DF=2.∴EF=2.
∴四边形AECF的面积=AC·EF=×6×2=6.
8.(2022吕梁交口期末)如图,已知四边形ABCD和CEFG均是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH.
(1)求证:AK=AH.
(2)求证:四边形AKFH是正方形.
(3)若四边形AKFH的面积为10,CE=1,求点A,E之间的距离.
(1)证明:∵四边形ABCD和CEFG都是正方形,∴AB=AD=DC=BC,GC=EC=FG=EF.
在△ADH和△ABK中,∴△ADH≌△ABK(SAS),∴AK=AH.
(2)证明:∵△ADH≌△ABK,∴∠HAD=∠BAK.∴∠HAK=90°.
∵DH=CE=BK,∴HG=EK=BC=AD=AB.
同理可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH,∴AH=AK=HF=FK,∴四边形AKFH是正方形.
(3)解:连接AE(图略).∵四边形AKFH的面积为10,∴KF=.
∵EF=CE=1,∴KE===3,∴AB=KE=3.
∵BK=EF=1,∴BE=BK+KE=4,∴AE===5,故点A,E之间的距离为5.(共14张PPT)
18.2.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
1.矩形的定义
有一个角是 的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质
(1)矩形的四个角都是 .
(2)矩形的对角线 .
3.直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
直角
直角
相等
一半
知识点一 矩形的性质
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠COD=50°,那么∠CAD的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
2.(2023保定雄县期中)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,点E在BD的延长线上,若∠BOC=110°,则∠ADE=( )
A.145° B.140° C.135° D.130°
3.如图,在矩形ABCD中,AC交BD于点O,∠AOD=60° ,OE⊥AC.若AE=,则OE=( )
A. B.2 C.3 D.4
B
第1题图
第2题图
第3题图
A
A
4.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=6,则OC的值为 .
5.如图,在矩形ABCD中,E,F为BC上两点,且BE=CF,连接AF,DE,交于点O.
求证:△AOD是等腰三角形.
6
名师点睛
有关矩形的证明题常与全等三角形或直角三角形等知识结合起来考查.利用矩形的性质,可以得到许多有关等角、等边的结论,在解此类证明题时,注意合理选择有关的结论.
证明:在矩形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=DC.
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS).∴∠BAF=∠EDC.
∵∠DAF=90°-∠BAF,∠EDA=90°-∠EDC,
∴∠DAF=∠EDA.∴OA=OD,即△AOD是等腰三角形.
知识点二 直角三角形斜边上的中线
6.如图,在△ABC中,D为AB的中点,点E在AC上,且BE⊥AC,若DE=5,AE=8,则BE的长度是
( )
A.6.5 B.6
C.5.5 D.5
7.如图,在Rt△ABC中,斜边上的中线CD=AC,则∠B= .
B
30°
8.如图,AD是△ABC的高线,且BD=AC,E是AC的中点,连接BE,取BE的中点F,连接DF.
求证:DF⊥BE.
证明:如图,连接DE.
∵AD是△ABC的高线,E是AC的中点.
∴DE=AC.
又∵BD=AC,
∴DE=BD.
又∵F是BE的中点,
∴DF⊥BE.
名师点睛
在直角三角形中,遇到斜边中点,求角的度数时,常与等腰三角形相联系;计算有关线段的长度时,常与三角形的中位线或勾股定理相联系.
【基础过关】
1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.邻角互补
C.对边相等 D.对角线相等
2.(2022日照中考)如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时,∠AED的大小为( )
A.27° B.53°
C.57° D.63°
D
D
3. 如图,在矩形ABCD中,ABA.8个 B.6个
C.4个 D.2个
4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,AC=12,F是DE上一点,连接AF,CF,DF=1.若∠AFC=90°,则BC=( )
A.12 B.13
C.14 D.15
C
C
5.(教材P53例1变式)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°.
(1)∠OBC= .
(2)若BD=8,则AB的长为 .
6.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点.若AC=4,则EF的长是 .
30°
4
2
7.如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.
(1)求证:△ABN≌△MAD.
(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,
∴∠BAN=∠AMD.
∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.
在△ABN和△MAD中,
∴△ABN≌△MAD(AAS).
(2)解:∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD,
∵AD=2,∴BN=2,
又∵AN=4,
在Rt△ABN中,AB===2,
∴=2×2=4,S△ABN=S△MAD=×2×4=4,
∴=-S△ABN-S△MAD=4-8.
8.(2022无锡惠山区期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AC=CE.
(2)若DE=9,CD=12,求△COD的周长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,BC∥AD,即BC∥DE.
又∵CE∥BD,∴四边形DECB是平行四边形,
∴BD=CE,∴AC=CE.
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,CO=DO=AC,
∴∠EDC=180°-∠ADC=90°.
在Rt△EDC中,DE=9,CD=12,
∴CE===15,
由(1)知,AC=CE=15,
∴△COD的周长为CO+DO+CD=AC+AC+CD=AC+CD=15+12=27.
∴△COD的周长为27.
【素养闯关】
9.(2023杭州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若∠AOB=60°,则=
( )
A. B.
C. D.
10.如图,∠BOD=45°,BO=DO,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个结论:①OE平分∠BOD;②OF=BD;③DF=AF;④若点G是线段OF的中点,则△AEG为等腰直角三角形.正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
D
A
11.如图,在四边形ABCD中, ∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求证: BM=MN .
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
(1)证明:在△CAD中,
∵M,N分别是AC,CD的中点.∴MN∥AD,MN=AD.
在Rt△ABC中,∵M是AC的中点,∴BM=AC.
∵AC=AD,∴BM=MN.
(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD.
∴∠BAC=∠DAC=30°.
由(1)可知BM=AC=AM=MC.
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.
∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°.
∴BN2=BM2+MN2.
由(1)可知MN=BM=AC=1.∴BN=.
12.(2022安康紫阳期末)在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE,CE,∠ABE=45°.
(1)如图1,若BE=3,BC=4,求CE的长.
(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于点F,H为AD上一点,连接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.
(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AD=BC=4,AB=CD.
∵∠ABE=45°,∴∠AEB=45°,∴AE=AB.
∵AE2+AB2=BE2,∴AE2+AB2=18,∴AE=3=AB=CD,
∴DE=AD-AE=4-3=1,∴CE===.
(2)证明:延长BF,AD交于点M.如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠PBC=∠EMP.
∵点P是EC的中点,∴PC=PE.
在△BPC和△MPE中,
∴△BPC≌△MPE(AAS).∴BP=PM,
∵∠DHF=∠CBF,∠CBF=∠EMP,∴∠DHF=∠EMP,∴FM=FH,∴BP=PM=PF+FM=PF+FH.
∴BP=PF+FH.(共15张PPT)
河北中考特色题型——
与四边形有关
类型一 与四边形有关的命题证明
1.(2023石家庄三模)如图,证明矩形的对角线相等.已知:四边形ABCD是矩形.求证:AC=BD.以下是排乱的证明过程:①∴AB=CD,∠ABC=∠DCB;②∵BC=CB;③∵四边形ABCD是矩形;④∴AC=DB;⑤∴△ABC≌△DCB.
甲的证明顺序是:③①②⑤④
乙的证明顺序是:②①③⑤④
则下列说法正确的是( )
A.甲和乙都对 B.甲和乙都不对
C.甲对、乙不对 D.乙对、甲不对
C
2.(2023衡水武邑二模)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC⊥BD,垂足为O,OA=OC.
求证:四边形ABCD是菱形.
其中,“……”表示的是( )
A.BC=CD
B.AB=BC
C.AB=BC,AD=CD
D.OB=OD
C
3.(2023廊坊期末)对于定理:菱形的两条对角线互相垂直,甲、乙两位同学的证明方法如下:
甲:证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,OB=OD,∴△ABD是等腰三角形.
在等腰△ABD中,∵OB=OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.
乙:证明:∵AB=10,OA=6,OB=8,102=82+62,∴AB2=OB2+OA2,∴△AOB是直角三角形,
∴AC⊥BD.
下列说法正确的是( )
A.甲的证法正确,乙的证法错误
B.甲的证法错误,乙的证法正确
C.甲、乙的证法都正确
D.甲、乙的证法都错误
A
类型二 四边形与尺规作图
4.(2023河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O.
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO.
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD
为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
C
5.(2023保定雄县期中)如图1,在 ABCD中,AD>AB,∠ABC为钝角.要在对边BC,AD上分别找点M,N,使四边形ABMN为菱形.现有图2中的甲、乙两种用尺规作图确定点M,N的方案,则可得出结论( )
A.只有甲正确 B.只有乙正确
C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确
D
6.(2023邢台期中)现有一张平行四边形ABCD纸片,AD>AB,要求用尺规作图的方法在边BC,AD上分别找点M,N,使得四边形AMCN为平行四边形,甲、乙两位同学的作法如图所示,下列判断正确的是( )
A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
C
7.(2022唐山乐亭期末)如图1,直线l1∥l2,直线l3分别交直线l1,l2于点A,B.小嘉在图1的基础上进行尺规作图,得到如图2,并探究得到下面两个结论:
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形;
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形.下列判断正确的是( )
A.①②都正确 B.①错误,②正确
C.①②都错误 D.①正确,②错误
B
8.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α= °.
56
类型三 四边形与图形变换(平移、剪拼等)
9.(2023沧州吴桥校级模拟)一次实践探究课上,老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形,下列拼成的四边形中,不是菱形的是( )
D
10.(2023石家庄新华区校级期末)一节数学课上,老师展示了如下问题:如图,两个完全相同的直角三角尺ABC和DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°,AC>BC,AC,DF都在直线l上,固定三角尺DEF,将三角尺ABC从图示位置开始沿射线DA移动,甲、乙、丙、丁四位同学分别给出了关于四边形AEDB的说法:
甲:一定是平行四边形;
乙:不可能是矩形;
丙:可能是菱形;
丁:可能是正方形;
则说法不正确的是( )
A.甲和丙 B.乙和丙
C.只有丁 D.乙和丁
D
11.(2023保定高碑店期末)如图,△ABC和△ACD是两个完全相同的三角形,AB=CD,BC=AD,将△ACD沿直线l向右平移到△EFG的位置,点A对应点E,且点E,C不重合,连接BE,CG,有下列结论:
结论1:以点B,E,C,G为顶点的四边形总是平行四边形;
结论2:当BE最短时,BC⊥CG.
下列判断正确的是( )
A.只有结论1正确
B.只有结论2正确
C.结论1、结论2都正确
D.结论1、结论2都不正确
A
类型四 与四边形有关的方案选择
12.(2023承德丰宁期末)如图为小亮在家找到的一块木板,他想检验这块木板的表面是不是矩形,但仅有一根足够长的细绳,现提供了如下两种检验方法:
方法一:
第一步:先测量两组对边是否相等
第二步:再测量对角线是否相等
方法二:直接测量对角线是否相等
下列说法正确的是( )
A.方法一可行,方法二不可行
B.方法一不可行,方法二可行
C.方法一、二都可行
D.方法一、二都不可行
A
13.(2023石家庄三模)现有一四边形ABCD,借助此四边形作平行四边形EFGH,两位同学提供了如下方案,对于方案Ⅰ,Ⅱ,下列说法正确的是( )
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ,Ⅱ都可行
D.Ⅰ,Ⅱ都不可行
C
14.(2023唐山一模)如图,在 ABCD中,要在对角线BD上找点E,F,使四边形AECF为平行四边形,现有甲、乙、丙三种方案,则正确的方案是( )
甲:只需要满足BE=DF
乙:只需要满足AE=CF
丙:只需要满足AE∥CF
A.甲、乙、丙都是
B.只有甲、丙才是
C.只有甲、乙才是
D.只有乙、丙才是
B(共15张PPT)
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的性质(2)
1.平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 ,叫做这两条平行线之间的距离.
2.平行四边形的面积:S平行四边形= .
3.平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线 .
距离
底×高
互相平分
知识点一 两平行线之间的距离
1.如图,有两种说法:
①线段AB的长是点A到点B的距离.
②线段AB的长是直线l1,l2之间的距离.
关于这两种说法,正确的是( )
A.①正确,②错误
B.①正确,②正确
C.①错误,②正确
D.①错误,②错误
B
2.(2023石家庄裕华区期末)如图,直线AB∥CD,点P是直线AB上一个动点,当点P的位置发生变化时,△PCD的面积( )
A.向左移动变小 B.向右移动变小
C.始终不变 D.无法确定
3.如图,已知直线m∥n,A,B为直线n上两点,C,P为直线m上两点.写出图中面积相等的三角形.
C
名师点睛
因为两平行线间的距离处处相等,所以同底等高的三角形面积相等.这一结论可以作为定理直接应用.
解:设m,n之间的距离为h,由m∥n,
得点P,C到直线n的距离都为h,
∴S△APB=AB·h, S△ACB=AB·h,∴S△APB=S△ACB.
同理可得S△APC=S△BPC.∴S△APC-S△COP=S△BPC-S△COP.
即S△AOC=S△BOP.
知识点二 平行四边形对角线的性质
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列结论正确的是( )
A.OB = OD B.AB = BC
C.AC⊥BD D.∠ABD = ∠CBD
5.如图,在 ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10 cm,BD=6 cm,则 ABCD的周长是 cm.
A
(8+4)
6.如图, ABCD的周长为60 cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm,求AB和BC的长.
名师点睛
从“平行四边形的对角线互相平分”得出“平行四边形被它的对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等于平行四边形的两邻边之差”.熟记这个结论,能为计算带来很多方便.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC.
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm,
∴(OA+OB+AB)-(OB+OC+BC)=8 cm,
即AB-BC=8 cm.①
∵ ABCD的周长为60 cm,
∴2(AB+BC)=60 cm,即AB+BC=30 cm.②
∴由①②得到AB=19 cm,BC=11 cm.
知识点三 平行四边形的面积
7.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知AD=5,BD=8,AC=6,则△OBC的面积为( )
A.5 B.6
C.8 D.12
8.如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,DE⊥BC于点E,若OB=6.5,CD=,DE=5,求 ABCD的面积.
B
解:∵在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,
∴BD=2OB=13.
在Rt△BDE中,BE===12,
在Rt△CDE中,CE===4,
∴BC=BE-CE=12-4=8,则S ABCD=BC·DE=8×5=40.
易错点 没有分类讨论导致漏解
典题 设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12 cm,EF与CD的距离是5 cm,则AB与EF的距离等于 .
易错提醒
未给出图形的题目有时具有不确定性,所以要充分考虑到已知条件而产生的各种情况.
7 cm或17 cm
【基础过关】
1.如图,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2,FG⊥l2,下列说法错误的是( )
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE=FG
C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D.AC =BD
2.(2022梅州期中) ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=10 cm,则OA=( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
C
C
3.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范围是( )
A.1C.104.(2023保定竞秀区二模)小明为了计算 ABCD的面积,画出一些垂线段,如图所示,这些线段不能表示 ABCD的高的是( )
A.BF B.GH
C.DE D.BD
A
D
5.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AC=8,∠BOC=120°,则BD的长是
.
6.如图,EF过 ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,若 ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 .
7.(2023秦皇岛青县校级期中)已知三条相互平行的直线l1,l2,l3,其中l1,l2之间的距离为2 cm,l2,l3之间的距离为3 cm,则l1与l3之间的距离为 .
16
12
1 cm或5 cm
8.如图,点E,F分别是 ABCD边AD,BC上的点,线段EF过对角线AC与BD的交点G.若AE=CF=4,
EF=6,∠GFC=90°,求对角线AC的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AG=CG,∴∠EAG=∠FCG.
在△AEG和△CFG中,
∴△AEG≌△CFG(AAS).∴GE=GF.
∵AE=CF=4,GF=EF=×6=3,∠GFC=90°,
∴CG==5,
∴AC=2CG=10.
【素养闯关】
9.如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有
( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
10.如图,在 ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为 .
母题变式
如图,在 ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为 .
B
6
12
11.(2023唐山丰润区期中)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F.下列结论中正确的是 .
①△ABC≌△EAD;②△ABE是等边三角形;③AD=BF;④S△DCE=S△ACE;⑤S△ABE=S△FBE;⑥S△CEF=S△ABE.
①②④⑥
12.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F.
(1)求证:AE=CF.
(2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°.
∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AE=CF.
(2)解:∵∠AEO=90°,∠AOE=70°,
∴∠EAO=90°-∠AOE=20°.
∵∠EAD=3∠EAO,
∴∠EAD=3×20°=60°,
∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=60°-20°=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠BCA=∠DAC=40°.(共15张PPT)
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的性质(1)
1.平行四边形
(1)定义:两组对边分别 的四边形叫做平行四边形.
(2)表示方法:平行四边形用“ ”表示,平行四边形ABCD记作“ ”.
用字母表示平行四边形时,必须按顺时针或逆时针方向注明各顶点.
2.平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边 .
(2)平行四边形的对角 .
平行
ABCD
相等
相等
知识点一 平行四边形的定义
1.如图,在 ABCD中,AB∥EG∥FH∥CD,则图中平行四边形的个数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
2.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中的一张,重合的部分构成了一个四边形,这个四边形是 .
D
平行四边形
知识点二 平行四边形边的性质
3.若 ABCD的周长是30 cm,且AB∶BC=3∶2,则AB= cm.
4.(2023自贡中考)如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.求证: DM=BN.
9
名师点睛
利用平行四边形的性质可得等角和等边,进而由等角和等边证明相关三角形全等,这是平行四边形中证明等量关系的常用方法和思路.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠A=∠C.
在△ADM和△CBN中,
△ADM≌△CBN(SAS),
∴DM=BN.
知识点三 平行四边形角的性质
5.(2022南京模拟)在 ABCD中,∠A=80°,∠B=100°,则∠D等于( )
A.60° B.80°
C.100° D.120°
6.在 ABCD中,∠C=∠B+∠D,则∠A的度数为 .
C
名师点睛
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边形对角相等,邻角互补的性质,并且已知一个角或已知两邻角的关系可求出其他各个角的度数.
120°
【基础过关】
1.(2023石家庄栾城区校级模拟)如图,将平行四边形纸片沿着线段AB折成两个全等的图形,则∠1的度数是( )
A.40° B.60°
C.80° D.100°
2.如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交AD于点E,交CD延长线于点F,若∠A=50°,则∠F的度数为( )
A.50° B.65°
C.70° D.75°
C
B
3.如图, ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,1),(-2,-2),(2,-2),则顶点D的坐标是
( )
A.(-4,1) B.(4,-2)
C.(4,1) D.(2,1)
4.如图,在 ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC的长为( )
A.8 B.10
C.12 D.14
C
B
5.如图,在 ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=
.
6.如图,在 ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为 .
7.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是 .
61°
30°
14
8.(2022梧州中考)如图,在 ABCD中,E,G,H,F分别是AB,BC,CD,DA上的点,且BE=DH,AF=
CG.求证:EF=HG.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.
∵BE=DH,
∴AB-BE=CD-DH,即AE=CH.
在△AEF和△CHG中,
∴△AEF≌△CHG(SAS).∴EF= HG.
9.(2022吕梁期中)如图,在 ABCD中,E为AB上一点,且∠CDE=∠DCB.
(1)求证:AD=DE.
(2)请判断BD与CE的数量关系,并说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∠DCB=∠A,
∴∠CDE=∠AED.
∵∠CDE=∠DCB,
∴∠A=∠AED,
∴AD=DE.
(2)解:BD=CE.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB.
由(1)知AD=DE,∴DE=CB,
在△CDE与△DCB中,
∴△CDE≌△DCB(SAS),∴BD=CE.
【素养闯关】
10.小英是班上的“手工达人”,她用彩带编织一个小饰品的一部分如图所示,则两条彩带的重叠部分形成的三个四边形都是 .
平行四边形
11.如图,在 ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证:AB=FC.
(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DF,∴∠ABE=∠FCE.
∵E为BC中点,∴BE=CE.
在△ABE与△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(ASA),∴AB=FC.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=FC.
∵AD=2AB,
∴AD=DF.由(1)得△ABE≌△FCE,
∴AE=EF,∴DE⊥AF.
12.(2023长沙中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF.
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
(1)证明:在 ABCD中,
∵AB∥CD,∴∠CDE=∠F.
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,∴AD=AF.
(2)解:∵AD=AF=6,AB=3,
∴BF=AF-AB=3.
如图,过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H,
∵∠BAD=120°,
∴∠DAH=60°,
∴∠ADH=30°,
∴AH=AD=3,
∴DH==3,
∴△ADF的面积=AF·DH=×6×3=9.
13.(2022葫芦岛期末)如图,在 ABCD中,AB=BD,点E在射线BD上(不与B,D重合),CF∥AE交直线BD于点F.
(1)如图1,当点E在线段BD上时,请直接写出BE,BF,CD之间的数量关系.
(2)如图2,当点E在线段BD的延长线上时,请写出BE,BF,CD之间的数量关系,并加以证明.
解:(1)BE+BF=CD.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADE=∠CBF.
∵CF∥AE,∴∠AED=∠CFB,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(AAS),∴BF=DE,∴BF+BE=DE+BE=BD,
∵AB=BD=CD,即BF+BE=CD.
解:(2)BE-BF=CD.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ADE=∠CBF.
∵CF∥AE,
∴∠AED=∠CFB.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(AAS),∴BF=DE,
∴BE-DE=BE-BF=BD.
∵AB=BD=CD,∴BE-BF=CD.(共13张PPT)
18.2.1 矩 形
第2课时 矩形的判定
矩形的判定
(1)定义法:有一个角是 的平行四边形是矩形.
(2)有三个角是 的四边形是矩形.
(3)对角线 的平行四边形是矩形.
对角线相等的四边形不一定是矩形.
直角
直角
相等
V知识点一 根据平行四边形判定矩形
1. ABCD的对角线AC和BD交于点O,添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是
( )
A.OD=OC B.∠DAB=90°
C.∠ODA=∠OAD D.AC⊥BD
D
2.(2023岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中,选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号).
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
名师点睛
证明一个平行四边形为矩形的两种方法:一是证明有一个角是直角,另一个是证明两条对角线相等.
(1)解:①当∠1=∠2时, ABCD为矩形;②当AM=DM时, ABCD为矩形,故答案为①②.
(2)证明:选条件①.
方法一:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°.
在△ABM和DCM中,∴△ABM≌DCM(SAS),∴∠A=∠D,∴∠A=∠D=90°,
∴ ABCD为矩形;
方法二:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∴∠A+∠D=180°.
∵BM=CM,∴∠3=∠4.
∵∠1=∠2,∴∠ABC=∠DCB.
∵∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠ABC=90°,∴ ABCD为矩形.
知识点二 根据四边形判定矩形
3.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组拟定的方案,其中正确的是( )
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量对角线是否相等
D.测量其中三个角是否都为直角
D
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE为矩形.
证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°.
又AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
名师点睛
在证明一个四边形是矩形时,若已知条件无边,常用方法是证明其中三个角是直角.
【基础过关】
1.已知在 ABCD中,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能说明 ABCD是矩形的是( )
A.① B.②
C.③ D.④
2.如图,在四边形ABCD中,给出部分数据,若添加一个数据后,四边形ABCD是矩形,则添加的数据是( )
A.CD=4 B.CD=2
C.OD=2 D.OD=4
B
D
3.如图, ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,则四边形EFGH为( )
A.平行四边形
B.矩形
C.正方形
D.以上均不正确
4.如图,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.OM=AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
B
A
5.如图是一个平行四边形的活动框架,若改变框架的形状,则∠α也随之变化.当∠α是
时,这个平行四边形是矩形.
6.在四边形ABCD中,有以下四个条件:①AB∥CD;②AD=BC;③AC=BD;④∠ADC=∠ABC.从中选取三个条件,可以判定四边形ABCD为矩形.则可以选择的条件序号是 .
7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是各边的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是 .
90°
①③④
12
8.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB=4.
(1)求证: ABCD是矩形.
(2)求AD的长.
(1)证明:∵△AOB为等边三角形,
∴∠BAO=∠AOB=60°,OA=OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD=BD,OA=OC=AC,
∴BD=AC,∴ ABCD是矩形.
(2)解:∵ ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,
∵△ABO是等边三角形,∴OB=OD=AB=4.
∴AD==4.
【素养闯关】
9.如图,四边形ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,G,H分别是对角线BD,AC的中点,若四边形EGFH为矩形,则四边形ABCD需满足的条件是( )
A.AC=BD B.AC⊥BD
C.AB=DC D.AB⊥DC
10.(2023石家庄裕华区校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发,相向而行,速度均为2 cm/s,运动时间为t(0≤t≤5)秒,若G,H分别是AB,DC的中点,且t≠2.5,当E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时,t的值为 .
D
0.5或4.5
11.(2022巴中中考)如图,在 ABCD中,E为BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,延长EC至点G,使CG=CE,连接DG,DE,FG.
(1)求证:△ABE≌△FCE.
(2)若AD=2AB,求证:四边形DEFG是矩形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠EAB=∠CFE.
又∵E为BC的中点,∴EC=EB.
在△ABE和△FCE中,∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)∵△ABE≌△FCE,∴AB=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,∴DC=CF.
又∵CE=CG,∴四边形DEFG是平行四边形.
∵E为BC的中点,CE=CG,∴BC=EG.
又∵AD=BC=EG=2AB,DF=CD+CF=2CD=2AB,
∴DF=EG,∴平行四边形DEFG是矩形.
12.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB,外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长.
(2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 并说明理由.
解:(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.
∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.
∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF.∴OE=OC,OF=OC.∴OE=OF.
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
∴∠ECF=90°.
在Rt△CEF中,CE=8,CF=6,
由勾股定理得EF==10,∴OC=OE=EF=5.
(2)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
当O为AC的中点时,AO=CO.
∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形.
∠ECF=90°,∴四边形AECF是矩形.(共8张PPT)
小专题集训三 平行四边形的
性质与判定
类型一 平行四边形的性质
1.(2023秦皇岛青龙二模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE∥BC交CD于点E,若OE=4 cm,则AD的长为( )
A.4 cm B.8 cm
C.12 cm D.16 cm
B
解题指导
平行四边形的性质包括边的位置关系和数量关系、角的数量关系、对角线的数量关系等,这些结论是进行线段和角度计算与证明的重要依据.而平行四边形的判定多与性质互为逆定理,且判定方法较多,在应用时要根据已知条件灵活选择,并注意不要与性质混淆.
2.(2022烟台中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A+∠ADC=180°,∠CDF=∠AFD.
∵∠A=40°,∴∠ADC=140°.
∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF=∠ADC=70°,
∴∠AFD=∠CDF=70°.
∵DF∥BE,∴∠ABE=∠AFD=70°.
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BC,AB=10,AD=6.
(1)求 ABCD的面积.
(2)求对角线BD的长.
解:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC=6.
在Rt△ABC中,AC==8,则S ABCD=BC·AC=6×8=48.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,BO=OD.
∵ AC=8,∴OC=4.
在Rt△BCO中,OB==2.
∴BD=2OB=4.
类型二 平行四边形的判定
4.(2021河北中考)如图1,在 ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案( )
A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、乙才是
C.只有甲、丙才是 D.只有乙、丙才是
A
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8,BC=16,点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P停止运动时,点Q也随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t为多少时,以点A,B,Q,D为顶点的四边形是平行四边形
(2)当t为多少时,以点A,B,Q,P为顶点的四边形是平行四边形
解:(1)∵当四边形ABQD为平行四边形时,BQ=AD=8,
又点Q速度为2个单位长度/秒,∴16-2t=8,解得t=4.
即当t为4秒时,以点A,B,Q,D为顶点的四边形是平行四边形.
(2)∵当四边形ABQP为平行四边形时,AP=BQ.
又点P,Q速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒,AD=8,BC=16,
∴t=16-2t,解得t=.
即当t为秒时,以点A,B,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.
类型三 平行四边形的判定与性质的综合
6.(2023无锡中考)如图,在△ABC 中,D,E分别为AB,AC的中点,延长DE到点F,使得EF=DE,连接CF.求证:
(1)△CEF≌△AED.
(2)四边形DBCF是平行四边形.
7.如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH.
(1)求证:四边形AFHD为平行四边形.
(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度数.
(1)证明:∵BF=BE,CG=CE,
∴BC为△FEG的中位线,
∴BC∥FG,BC=FG.
又∵H是FG的中点,
∴FH=FG,∴BC=FH.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴AD∥FH,AD=FH,
∴四边形AFHD是平行四边形.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠DCB.
∵CE=CB,∴∠BEC=∠EBC=75°,∴∠BCE=180°-75°-75°=30°,
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°,∴∠DAB=40°.(共13张PPT)
18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
1.菱形的定义
有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质
(1)菱形的四条边都 .
(2)菱形的两条对角线 ,并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形的周长与面积
(1)周长=边长× .
(2)面积=底×高=两条对角线长乘积的 .
相等
相等
互相垂直
4
一半
知识点一 菱形的定义和性质
1.关于菱形的性质,以下说法不正确的是( )
A.四条边相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
2.(2023石家庄高邑期末)如图,已知菱形OABC的边OA在x轴上,∠AOC=60°,点A的坐标为(6,0),则点B的坐标为 .
3.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为 .
B
(9,3)
64°
4.如图,已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角线AC,BD相交于点O,点E在AB上,且BE=BO,求∠EOA的度数.
名师点睛
在菱形中求角的度数或线段长时,往往根据菱形相关性质,将问题转化到三角形(如直角三角形、等腰三角形)中,利用等腰三角形的性质、勾股定理等进行求解.
解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD.
∵∠BAD=80°,∴∠BAO=∠BAD=40°,
∴∠ABO=90°-∠BAO=50°.
∵BE=BO,∴∠BEO=∠BOE=(180°-∠ABO)=65°,
∴∠EOA=90°-∠BOE=25°.
知识点二 菱形的周长和面积
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠BAD=60°,AC=2,则菱形ABCD的周长为( )
A.8 B.4 C.6 D.4
6.(2023石家庄桥西区期末)如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,则菱形ABCD的面积为 .
母题变式
在菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24,则菱形的面积为 .
7.如图,道路上的菱形标识预告前方道路设置人行横道,提醒车辆减速慢行.已知这种菱形标识的两条对角线长分别为3 m,1.5 m,则此菱形的面积为 m2.
A
8
18
2.25
8.如图,菱形ABCD的周长为20 cm,AC∶BD=3∶4,求菱形的面积.
解:∵四边形ABCD是菱形,周长为20 cm,
∴AC⊥BD,AO=AC,BO=BD,AB=20×=5(cm).
∵AC∶BD=3∶4,∴AO∶BO=3∶4.
设AO=3x cm,则BO=4x cm,
在Rt△AOB中,AO2+BO2=AB2,
∴(3x)2+(4x)2=52,解得x=1(负值舍去),
∴AO=3 cm,BO=4 cm,∴AC=6 cm,BD=8 cm,
∴=AC·BD=×6×8=24(cm2).
【基础过关】
1.如图,在菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1=( )
A.30° B.25°
C.20° D.15°
2.如图,已知菱形ABCD的周长为12,∠B=60°,则AC的长为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
D
A
3.(2022河南中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( )
A.6 B.12
C.24 D.48
母题变式
如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为 .
C
24
4.(2023唐山丰南区期中)如图,在平面直角坐标系中,菱形OACB的顶点C的坐标是(6,0),点A的纵坐标是1,则点B的坐标是( )
A.(3,1) B.(3,-1)
C.(1,-3) D.(1,3)
母题变式
如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=,则点A的坐标是 .
B
(2,0)
5.小贤家有一个中国结挂饰,他利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD,测得BD=24 cm,AC=32 cm.若过点O的直线EF⊥AB交边AB,CD于点E,F,则EF的长为 cm.
6.如图,在菱形ABCD中,已知AB=4.
(1)若相邻两内角的比为1∶2,则菱形ABCD较短的对角线长为 .
(2)若AO=2,则BD的长为 .
7.(2022南京模拟)如图,已知菱形ABCD中,∠ABC=120°,对角线BD长6 cm,O为BD的中点,过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E,连接OE,则线段OE的长度是 cm.
4
4
3
8.如图,在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF.
求证:(1)△ABF≌△DAE.
(2)DE=BF+EF.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AD∥BC,∴∠BPA=∠DAE.
∵∠ABC=∠AED,∴∠BAF=∠ADE.
∵∠ABF=∠BPF,∠BPA=∠DAE,∴∠ABF=∠DAE.
∵AB=DA,∴△ABF≌△DAE(ASA).
(2)∵△ABF≌△DAE,∴AE=BF,DE=AF.
∵AF=AE+EF=BF+EF,∴DE=BF+EF.
【素养闯关】
9.(2022呼和浩特中考)如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,E是DA的中点,F是对角线AC上一点,且∠DEF=45°,则AF∶FC的值是( )
A.3 B.+1
C.2+1 D.2+
10.(2023石家庄裕华区期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点(不与点A,B重合),PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=10,BD=5,则EF的最小值为
.
D
11.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AD,AB的中点.
(1)求证:△ABE≌△ADF.
(2)若BE=,∠C=60°,求菱形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∵E,F分别是边AD,AB的中点,
∴AF=AE.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)解:连接BD,如图,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠A=∠C=60°,
∴△ABD是等边三角形.
∵E是边AD的中点,∴BE⊥AD,∴∠ABE=30°,
∴AE=1,AB=2,∴AD=AB=2,
∴菱形ABCD的面积为AD·BE=2×=2.(共11张PPT)
第十八章回顾与提升
考点一 平行四边形的性质与判定
1. (2022广州中考)如图,在 ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周长为 .
21
2.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,BE⊥AC 于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AE=CF.
(2)若M,N分别为边AD,BC上的点,且DM=BN .求证:四边形MENF是平行四边形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠DFC=90°.
∵∠BAC=∠DCA,∠AEB=∠DFC,AB=CD,
∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠DAC=∠BCA.
∵DM=BN,∴AM=CN.
又∵AE=CF,∴△AME≌△CNF.
∴ME=NF,∠AEM=∠CFN,
∴∠MEF=∠NFE,∴ME∥NF,
∴四边形MENF是平行四边形.
考点二 与矩形、菱形、正方形相关的计算和证明
3.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.若AD=2,则当四边形ABCD的形状是 时,四边形AOBE的面积取得最大值是 .
正方形
2
4.(2023怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△BOF≌△DOE.
(2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO.
∵O是BD的中点,∴DO=BO,
又∵∠EOD=∠FOB,
∴△BOF≌△DOE(ASA).
(2)由(1)已证△BOF≌△DOE,
∴BF=DE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,即DE∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形.
5.(2023沧州期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在CD上,EF⊥CD,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG为矩形.
(2)若AD=10,EF=3,求CG的长.
(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴OB=OD,AB∥CD.
∵E为AD的中点,∴OE为△ABD的中位线,∴OE∥AB,∴OE∥GF.
∵OG∥EF,∴四边形OEFG为平行四边形.
∵EF⊥CD,∴∠EFG=90°,∴四边形OEFG是矩形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD=AD=10,OB=OD,AC⊥BD.
∵E为AD的中点,AD=10,
∴DE=AE=AD=5,
由(1)可知,四边形OEFG是矩形,
∴∠EFG=∠DFE=90°,OG=EF=3,FG=OE=5,
∴DF==4,
∴CG=CD-GF-FD=10-5-4=1.
6.如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN.
(1)求证:四边形EFMN是正方形.
(2)若AB=7,AE=3,求四边形EFMN的周长.
(1)证明:∵AE=BF=CM=DN,
∴BE=CF=DM=AN.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS),
∴EN=NM=MF=EF,∠ENA=∠DMN,
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,
∴∠ENA+∠DNM=90°,∴∠ENM=90°,
∴四边形EFMN是正方形.
(2)解:∵AB=7,AE=3,∴AN=BE=AB-AE=4,
∴EN==5,
∴正方形EFMN的周长=4×5=20.
考点三 三角形的中位线、直角三角形斜边上中线的性质
7.(2023株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位: cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=( )
A.3.5 cm B.3 cm
C.4.5 cm D.6 cm
8.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,∠CBA=70°,P,M,N分别是AB,AC,BD的中点,若BC=6,则△PMN的周长是 .
B
9
9.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC.
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
(3)在(2)的条件下,若AB=8,BC=10,且AG⊥CF于点G,求AG的长.
(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,∴AE=DE,BD=CD.
在△AFE和△DBE中,∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,∴AF=DC.
(2)解:四边形ADCF是菱形.
证明:∵AF∥BC,AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC⊥AB,AD是斜边BC上的中线,∴AD=DC=BC,∴四边形ADCF是菱形.
(3)解:由(2)得四边形ADCF是菱形,∴CF=CD=BC=5.
在Rt△ABC中,AC==6,∴=AC·AB=×6×8=24,∴=12,
∴S菱形ADCF=2=24,即CF·AG=24,∴AG==.
1.下列命题,其中是真命题的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.(确定平行四边形的顶点坐标时,忽略解的多种可能情况)已知在平面直角坐标系中,有点O(0,0),A(,),B(3,),C这四点.以这四点为顶点画平行四边形,则点C的坐标为 .
D
(2,0)或(-2,0)或(4,2)(共11张PPT)
18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 三角形的中位线定理及应用
三角形的中位线
(1)定义:连接三角形两边中点的 叫做三角形的中位线.
(2)中位线定理:三角形的中位线 于三角形的第三边,并且等于第三边的 .
线段
平行
一半
知识点 三角形中位线定理
1.(2023遵化期末)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,已知DE=6 cm,则BC的长是( )
A.3 cm B.12 cm
C.18 cm D.9 cm
2.如图,在△ABC中,已知AB=8,∠C=90°,∠A=30°,DE是△ABC的中位线,则DE的长为
( )
A.4 B.3 C.2 D.2
B
D
3.如图,在 ABCD中,BD为对角线,E,O,F分别是AB,BD,BC的中点,且OE=3,OF=2,则 ABCD的周长是( )
A.10 B.20
C.15 D.6
4.如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,若△DEF的周长为10,则△ABC的周长为 .
B
20
5.如图,爷爷家有一块等边三角形的空地ABC,已知E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=6米,爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜,需要多长的篱笆
名师点睛
(1)当题目中有中点时,特别是一个三角形中出现两边中点时,常常考虑运用三角形的中位线构造线段之间的关系,并由此建立待求线段与已知线段的联系,从而解决问题.
(2)构造三角形的中位线一般有两种方法:一是在三角形中连接两边中点;二是分割多边形为三角形.
解:∵点E,F分别是边AB,AC的中点,EF=6米,
∴EF是△ABC的中位线,∴BC=2EF=12米.
∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC=12米.
∵点E,F分别是边AB,AC的中点,
∴BE=AB=6米,FC=AC=6米,
∴四边形BCFE的周长为6+6+6+12=30(米),
∴需要30米长的篱笆.
【基础过关】
1.(2022沈阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是( )
A.70° B.60°
C.30° D.20°
2.如图,O是跷跷板AB的中点,支柱OC与地面l垂直,垂足为C,且OC=35 cm,当跷跷板的一端B着地时,另一端A离地面的高度是( )
A.35 cm B.45 cm
C.70 cm D.60 cm
B
C
3.如图,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE⊥AD,且AD=BE=4,F为CE的中点,连接DF,则AF的长等于( )
A.2 B.3
C. D.2
4.如图,AC是带有滑道的铁杠,AB,CD是两段横木,E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉,BE,DE,PQ是三段橡皮筋,其中,P,Q分别是BE,DE的中点,螺钉E在滑道AC内上下滑动时,橡皮筋PQ的长度( )
A.螺钉E滑至AC两端处时,PQ的长度最大
B.螺钉E滑至AC中点处时,PQ的长度最大
C.上下滑动时,PQ的长度时而增大时而减小
D.上下滑动时,PQ的长度始终不变
D
D
5.(2023金华中考)如图,把两根钢条OA,OB的一个端点连在一起,C,D分
别是OA,OB的中点,若CD=4 cm,则该工件内槽宽AB的长为 cm.
6.如图,在△ABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连接MN,点E是CN的中点,
连接ME并延长,交BC的延长线于点D.如果BC=4,那么CD的长为 .
7.如图,在△ABC和△ABD中,∠ACB=∠ADB=90°,E,F,G分别为AB,AC,BC的中点,如果AD=,BD=1,那么FG= .
8.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,AB=10,则EF的长是 .
8
2
1
2
9.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=BD,E,F分别是四边形ABCD边AD,BC的中点,EF分别交AC,BD于点G,H.求证:∠OGH=∠OHG.(提示:取CD的中点,构造中位线解题)
证明:如图,取CD边的中点M,连接EM,FM.
∵M,F分别是CD,BC的中点.
∴MF∥BD,MF=BD.
同理可得ME∥AC,ME=AC.
∵AC=BD.∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE.
∵MF∥BD,∴∠MFE=∠OHG.
∵ME∥AC,∴∠MEF=∠OGH,
∴∠OGH=∠OHG.
【素养闯关】
10.如图,在 ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是( )
A.EH=HG
B.四边形EFGH是平行四边形
C.AC⊥BD
D.△ABO的周长是△EFO的周长的3倍
11.(2022宿迁沭阳期中)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=12,AD=5.点M,N分别为线段BC, AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值是 .
B
6.5
12.(2022绵阳期中)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB的中点,点F是CB延长线上的一点,且CF=3BF,连接DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12 cm,DE=4 cm.
(1)求证:DE=BF.
(2)求四边形DEFB的周长.
(1)证明:∵点D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC.
∵CF=3BF,∴BF=BC,∴DE=BF.
(2)解:∵D是AC的中点,AC=12 cm,
∴CD=6 cm.
∵DE=4 cm,∴BC=8 cm.
由勾股定理,得DB===10(cm).
∵DE=BF,DE∥BC,
∴四边形DEFB为平行四边形,
∴四边形DEFB的周长=2×(4+10)=28(cm).
