(共12张PPT)
19.2.1 正比例函数
第2课时 正比例函数的图象与性质
1.正比例函数的图象
一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过 的直线.
2.正比例函数的性质
(1)当k>0时,直线y=kx经过 象限,从左向右 ,即y随x的增大而 .
(2)当k<0时,直线y=kx经过 象限,从左向右 ,即y随x的增大而 .
原点
第三、第一
上升
增大
第二、第四
下降
减小
知识点一 正比例函数的图象
1.下列图象中,表示正比例函数图象的是( )
2.正比例函数y=(m2+1)x的图象经过的象限是( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、四象限 D.第二、三象限
B
A
3.已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).
(1)求该正比例函数的解析式.
(2)画出该正比例函数的图象.
(3)判断点A(4,-2)、点B(-1.5,3)是否在这个正比例函数的图象上.
解:(1)将点(3,-6)代入y=kx,得-6=3k,
解得k=-2.
∴该正比例函数的解析式为y=-2x.
(2)该正比例函数的图象如图所示.
(3)将点A(4,-2)、点B(-1.5,3)分别代入解析式得-2≠-2×4,3=-2×(-1.5),
故点A不在该正比例函数的图象上,点B在该正比例函数的图象上.
知识点二 正比例函数的性质
4.(2023廊坊期末)下列关于正比例函数y=3x的说法中,正确的是( )
A.当x=3时,y=1
B.它的图象是一条过原点的直线
C.y随x的增大而减小
D.它的图象经过第二、四象限
5.已知,函数y=3x的图象经过点A(-1,y1),点B(-2,y2),则y1与y2的大小关系为y1 y2.
(填“>”“<”或“=”)
B
>
6.已知正比例函数y=(2m+4)x.求:
(1)当m为何值时,函数图象经过第一、三象限
(2)当m为何值时,y随x的增大而减小
(3)当m为何值时,点(1,3)在该函数图象上
名师点睛
“数”与“形”的有机结合
解:(1)∵函数图象经过第一、三象限,∴2m+4>0,解得m>-2.
(2)∵y随x的增大而减小,∴2m+4<0,解得m<-2.
(3)∵点(1,3)在该函数图象上,∴2m+4=3,解得m=-.
【基础过关】
1.(2023邢台信都区期末)正比例函数y=x的图象大致是( )
2.正比例函数y=kx的图象如图所示,则k的值为( )
A.- B. C.- D.
A
B
3.已知点(-2,y1),(-5,y2)都在直线y=x上,则y1,y2的大小关系是( )
A.y1C.y1>y2 D.y1≥y2
4.函数y=4x,y=-7x,y=-x的共同特点是( )
A.图象位于同样的象限
B.y随x增大而减小
C.y随x增大而增大
D.图象都过原点
C
D
5.已知y是x的正比例函数,且函数图象经过点(4,-6),则在此正比例函数图象上的点是
( )
A.(2,3) B.(-4,6)
C.(3,-2) D.(-6,4)
6.若正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过第二、四象限,则k的值可以是 (写出一个即可).
7.点A(1,m)在函数y=2x的图象上,则m的值是 .
8.(2022平凉崆峒区三模)若有意义,则在y关于x的函数y=mx中,y随x的增大而
.(填“增大”或“减小”)
B
-1
2
增大
9.已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).
(1)求这个函数的解析式.
(2)判断点A(4,-2)是否在这个函数图象上.
(3)图象上两点B(x1,y1),C(x2,y2),如果x1>x2,比较y1,y2的大小.
解:(1)∵正比例函数y=kx经过点(3,-6),
∴-6=3k,解得k=-2,
∴这个正比例函数的解析式为y=-2x.
(2)将x=4代入y=-2x,得y=-8≠-2,
∴点A(4,-2)不在这个函数图象上.
(3)∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小.
∵x1>x2,∴y1【素养闯关】
10.若函数y=-2mx-(m2-9)的图象经过原点,且y随x的增大而减小,则m的值为 .
3
11.已知函数y=(k+)(k为常数).
(1)当k为何值时,该函数是正比例函数,写出函数的解析式.
(2)当k为何值时,该正比例函数y随x的增大而增大
(3)当k为何值时,该正比例函数y随x的增大而减小
(4)分别画出(2)(3)中的图象.
(5)点A(2,5)与点B(2,-3)分别在哪条直线上
解:(1)由题意,得k2-3=1,且k+≠0,解得k=±2.
∴当k=±2时,该函数是正比例函数,
∴正比例函数的解析式为y=x或y=-x.
(2)当k+>0时,该正比例函数y随x的增大而增大,此时k=2.
(3)当k+<0时,该正比例函数y随x的增大而减小,此时k=-2.
(4)图象略.
(5)∵5=×2,∴点A(2,5)在直线y=x上;∵-3=-×2,∴点B(2,-3)在直线y=-x上.(共11张PPT)
19.2.3 一次函数与方程、不等式
第2课时 一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与二元一次方程(组):每个一次函数变形后都可化为二元一次方程;二元一次方程组都对应着两个一次函数,也对应着两条直线.
C
A
3.若直线y=2x-3与直线y=5x+2的交点坐标为(a,b),则解为的方程组是( )
A. B.
C. D.
名师点睛
方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值,而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数的解析式,因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
C
知识点二 用图象法解二元一次方程组
4.用图象法解方程组时,下列选项中的图象正确的是( )
C
5.如图,已知函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P,点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组的解是( )
A.B.C.D.
名师点睛
利用图象法解二元一次方程组的步骤:
A
【基础过关】
1.下列图象中,以方程2x+y-2=0的解为坐标的点组成的图象是( )
2.已知,一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则关于x,y的方程组的解为( )
A. B. C. D.
A
A
3.不解方程,下列方程组中无解的是( )
A. B.C. D.
4.当函数y=x+1与y= -x-5的函数值相等时,其自变量x的值是 .
5.如图,在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+与直线l2:y=kx+3相交于点A,则方程组的解为 .
6.如图所示的两条直线l1,l2的交点坐标可以看作方程组
的解.
B
-4
x=2,y=1
7.如图,在平面直角坐标系中,两直线交于点P,求交点P的坐标.
解:解方程组
可得
∴交点P的坐标为(4,2).
【素养闯关】
8.若直线y=2x+b经过直线y=x-2与直线y=3x+4的交点,则b的值为( )
A.-11 B.-1
C.1 D.6
C
9.已知点P的坐标为(a,b),现将它向左平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到点P'的坐标为(-2b,-2a).
(1)为了求得点P和点P'的坐标,根据题意可列方程组为 .
(2)请用图象法求出a,b的值(在网格中作图).
(3)请写出点P和点P'的坐标.
解:(2)由方程组得①b=-a+,②b=-2a+4,
画出函数图象如图所示.
由图象得方程组的解为∴a=1,b=2.
(3)由(2)知点P的坐标为(1,2).点P'的坐标为(-4,-2).(共16张PPT)
19.2.2 一次函数
第3课时 待定系数法确定一次函数解析式
1.待定系数法
先设出函数 ,再根据条件确定解析式中未知的 ,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.
2.用待定系数法确定一次函数的解析式要先设出解析式为 ,再把 组点的坐标或x,y的对应值代入求解.
解析式
系数
y=kx+b
两
知识点一 求一次函数解析式
1.一次函数y=kx+b的图象经过点(2,-1)和(0,3),那么这个一次函数的解析式为( )
A.y=-2x+3 B.y=-3x+2
C.y=3x-2 D.y=x-3
2.如图,直线AB对应的函数解析式为( )
A.y=-x+3 B.y=x+3
C.y=-x+3 D.y=x+3
3.若一条直线经过点(2,-1),且与直线y=-3x+1平行,则这条直线的解析式为 .
A
A
y=-3x+5
4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,1),且与y轴的交点的纵坐标为3.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求此一次函数与x轴的交点的坐标.
解:(1)由题意知b=3,∴y=kx+3,
把点(-2,1)代入y=kx+3,得-2k+3=1,
解得 k=1,
∴一次函数的解析式为y=x+3.
(2)令y=0,∴x+3=0,解得 x=-3,
∴此一次函数与x轴交点的坐标为(-3,0).
名师点睛
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:(1)设出含有待定系数的函数解析式.(2)把已知条件代入函数解析式得到关于待定系数的方程(组).(3)解方程(组),求出待定系数.(4)将求出的待定系数的值代回原函数解析式.
知识点二 一次函数的应用
5.小红在练习仰卧起坐,本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系:
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系,则该函数解析式为 .
6.在空中,自地面算起,每升高1 km,气温下降若干度(℃).某地空中气温t(℃)与高度h(km)间的函数的图象如图所示.观察图象可知:该地面高度h km时,气温低于0 ℃.t关于h的函数解析式为 .
y=3x+37
日期x/日 1 2 3 4
成绩y/个 40 43 46 49
>4
t=-6h+24
7.(2023吉林中考)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道,两组每天挖掘长度均保持不变,合作一段时间后,乙组因维修设备而停工,甲组单独完成了剩下的任务,甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了 天.
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时,直接写出乙组已停工的天数.
30
名师点睛
在用一次函数解决实际问题时,首先要理解题意,当自变量在一定范围内,有不同的函数关系时,要注意分段讨论.
解:(2)设乙组停工后y关于x的函数解析式为 y=kx+b,点(30,210)(60,300)在图象上,
则解得
∴函数解析式为y=3x+120(30≤x≤60).
(3)由(1)关系式可知,甲单独干了30天,挖掘的长度是300-210=90(m),甲的工作效率是
每天3 m.前30天是甲、乙合作共挖掘了210 m,则乙单独挖掘的长度是210-90=120(m).
当甲挖掘的长度是120 m时,工作天数是120÷3=40(天),
乙组已停工的天数是40-30=10(天).
易错点 忽略一次函数的增减性而致错
典题 对于一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则一次函数的解析式为
.
易错提醒
此题考查一次函数的性质,没有给出k的符号,所以要注意根据一次函数的性质分情况讨论.
y=x+2或y=-x+7
【基础过关】
1.直线y=kx+3与x轴的交点是(1,0),则k的值是( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
2.已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值:
则y与x的函数解析式为( )
A.y=-2x+1 B.y=2x-3
C.y=3x-1 D.y=-3x+1
D
D
3.已知函数y=ax+b经过点(1,3),(0,-2),则a-b等于( )
A.-1 B.-3
C.3 D.7
4.一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,3),每当x增加1个单位时,y增加3个单位,则此函数解析式是( )
A.y=x+3 B.y=2x-3
C.y=3x-3 D.y=4x-4
D
C
5.如图,购买一种苹果,付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省( )
A.4 元 B.5 元
C.6 元 D.7 元
6.(教材变式题)已知一次函数y=kx+b,当x=3时,y=8,当x=-2时,y=-2.则k= ,b=
.
C
2
2
7.如图,一次函数的图象过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的解析式为 .
8.(2023威海中考)一辆汽车在行驶过程中,其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时,y与x之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x之间的函数表达式为 .
y=x+2
y=80x-10
9.(2022雄县期中)如图,直线AB过点A(-1,5),P(2,a),B(3,-3).
(1)求直线AB的函数解析式和a的值.
(2)直线AB分别与x轴、y轴交于点C,D,请写出C,D的坐标.
(3)求△AOP的面积.
解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
将A(-1,5),B(3,-3)代入得解得
∴直线AB的解析式为y=-2x+3.
把P(2,a)代入y=-2x+3,得
a=-2×2+3=-1,∴a的值是-1.
(2)在y=-2x+3中,令x=0得y=3,∴D(0,3).
在y=-2x+3中,令y=0得x=,∴C(,0).
(3)如图, ∵D(0,3),A(-1,5),P(2,-1),
∴S△AOD=×3×1=,S△POD=×3×2=3,
∴S△AOP=S△AOD+S△POD=,∴△AOP的面积为.
10.在测浮力的实验中,将一长方体石块由玻璃器皿的上方,向下缓慢移动浸入水里的过程中,弹簧测力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示.
(1)求AB所在直线的函数解析式.
(2)当石块下降的高度为8 cm时,求此刻该石块所受浮力的大小.
(温馨提示:当石块位于水面上方时,F拉力=G重力;当石块入水后,F拉力=G重力-F浮力)
解:(1)设AB所在直线的函数解析式为F拉力=kx+b,将(6,4),(10,2.5)代入,得
解得
∴AB所在直线的函数解析式为F拉力=-x+.
(2)在F拉力=-x+中,令x=8得F拉力=-×8+=,
∵4-=(N),
∴当石块下降的高度为8 cm时,该石块所受浮力为 N.
【素养闯关】
11.(2023鄂州中考)象棋起源于中国,中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图,如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅”位于点(-2,-1)的位置,则在同一坐标系下,经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为( )
A.y=x+1 B.y=x-1
C.y=2x+1 D.y=2x-1
A
12.(2023遵化期末)如图,直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A,B两点,直线BC与x轴交于点C(-2,0),P是线段AB上的一个动点(点P与A,B不重合).
(1)求直线BC所对应的函数解析式.
(2)设动点P的横坐标为t,△POA的面积为S.
①求出S与t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围;
②在线段BC上存在点Q,使得四边形COPQ是平行四边形,求此时点Q的坐标.
解:(1)∵直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A,B两点,
∴点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,4),
设直线BC所对应的函数解析式为y=kx+b,
则解得
即直线BC所对应的函数解析式是y=2x+4.
解:(2)①∵点O(0,0),点A(4,0),∴OA=4,
∵动点P的横坐标为t,△POA的面积为S,P是线段AB上的一个动点(点P与A,B不重合),
∴动点P的纵坐标为-t+4,
∴S=×4×(-t+4)=-2t+8,
即S与t的函数解析式是S=-2t+8(0②如图,过点P作PQ∥x轴,交BC于点Q,
∵点P的坐标为(t,-t+4),
∴点Q的纵坐标为-t+4.
∵点Q在直线y=2x+4上,
∴-t+4=2x+4,得x=-t.
∵四边形COPQ是平行四边形,OC=2,
∴OC=PQ,
∴2=t-(-t),解得 t=,
∴点Q的坐标为(-,).(共15张PPT)
19.2.2 一次函数
第2课时 一次函数的图象与性质
1.一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是一条 ,我们称它为直线y=kx+b.
2.一次函数的平移规律
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象,可以由直线y=kx(k≠0)平移 个单位长度得到.当 时,向上平移;当 时,向下平移.
3.一次函数的性质
(1)当k>0时,直线y=kx+b从左向右 ,y随x的增大而 .
(2)当k<0时,直线y=kx+b从左向右 ,y随x的增大而 .
直线
|b|
b>0
b<0
上升
增大
下降
减小
知识点一 一次函数的图象
1.(2023济宁嘉祥期末)一次函数y=-2x-1的图象大致是( )
2.(2022保定莲池区校级期末)正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限,则一次函数y=x+k的图象大致是( )
D
B
3.(2023石家庄长安区期末)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+1的图象可能是( )
A.直线l1
B.直线l2
C.直线l3
D.直线l4
4.一次函数y1=ax+b与正比例函数y2=-bx在同一坐标系中的图象可能是( )
A
C
5.已知直线y=(k-2)x+k经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 .
0名师点睛
一次函数y=kx+b中k主升降,b定上下:(1)k的符号决定直线从左向右呈上升趋势还是下降趋势.(2)b的符号决定直线与y轴交点的位置,当b=0时,直线经过原点.
知识点二 一次函数的性质
6.(2023巴中中考)一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x增大而减小,则k的取值范围是
( )
A.k>0 B.k<0
C.k>3 D.k<3
7.若点A(x1,-1),B(x2,-2),C(x3,3)在一次函数y=-2x+m(m是常数)的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3
C.x1>x3>x2 D.x3>x2>x1
D
B
8.若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.k>0 B.b=2
C.y随x的增大而增大 D.x=3时,y=0
9.在一次函数y=(m-2)x+3中,若y随x的增大而减小,则m的取值范围是 .
名师点睛
一次函数的增减性仅与y=kx+b(k≠0)中的k有关,而图象经过哪些象限取决于k和b的符号.
B
m<2
【基础过关】
1.(2023通辽中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-3的图象是( )
2.一次函数y=x-1的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
B
3.(2023沧州南皮三模)如图,函数y=|x+2|-1的图象所在坐标系的原点是( )
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
4.(教材变式题)一次函数y=2x+4的图象如图,下列说法正确的是( )
A.y的值随着x的增大而减小
B.函数图象经过第二、三、四象限
C.函数图象与y轴的交点坐标为(-2,0)
D.y=2x+4的图象可由y=2x的图象向上平移4个单位长度得到
B
D
5.(2023临沂中考)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出的结论,错误的是( )
A.k>0 B.kb<0
C.k+b>0 D.k=-b
6.(2022衡水武邑期末)若式子在实数范围内有意义,则一次函数y=kx+3-k的图象可能是( )
C
D
7.若将直线y=x+m沿y轴的方向平移3个单位长度后,恰好能经过点A(-1,2),则m的值可能是 .
8.(2023郴州中考)在一次函数y=(k-2)x+3中,y随x的增大而增大,则k的值可以是 (任写一个符合条件的数即可).
0或6
3
9.如图是小林画出函数y=-x+10的一部分图象,利用图象回答:
(1)求自变量x的取值范围.
(2)当x取什么值时,y的最小值、最大值各是多少
(3)在图中,当x增大时,y的值是怎样变化
解:(1)由图可知0≤x≤10.
(2)k=-<0,y随x增大而减小,当x=0时,y有最大值10;当x=10时,y有最小值5.
(3)y随x增大而减小.
【素养闯关】
10.(2023陕西中考)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a为常数,a<0)的图象可能是( )
11.(2023张家口宣化区期中)无论m取任何非零实数,一次函数y=mx-(3m+2)的图象过定点( )
A.(3,2) B.(3,-2)
C.(-3,2) D.(-3,-2)
D
B
12.(2022任丘期末)如图,点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,直线与x轴交于点A.
(1)当点P的横坐标为3时,△APO的面积为多少
(2)设△APO面积为S,用含x的解析式表示S,并写出x的取值范围.
解:(1)∵令y=0,则-2x+8=0,解得x=4,
∴OA=4.
∵点P(x,y)是第一象限内一个动点,且在直线y=-2x+8上,
∴当x=3时,y=(-2)×3+8=2,
∴S△APO=×4×2=4.
(2)∵点P(x,-2x+8),
∴S△APO=OA×(-2x+8)=×4×(-2x+8)=-4x+16(013.已知一次函数y=ax-a+1(a为常数,且a≠0).
(1)若点(-,3)在该函数的图象上,求a的值.
(2)若当-1≤x≤2时,函数有最大值2,求a的值.
解:(1)把(-,3)代入y=ax-a+1,
得-a-a+1=3,解得a=-.
(2)①当a>0时,y随x的增大而增大,
则当x=2时,y有最大值2.
把x=2,y=2代入函数解析式得2=2a-a+1,
解得a=1;
②当a<0时,y随x的增大而减小,
则当x=-1时,y有最大值2.
把x=-1,y=2代入函数解析式得2=-a-a+1,
解得a=-.
综上,a=-或a=1.(共10张PPT)
第十九章回顾与提升
考点一 分析函数图象解决问题
1.(2023河北中考)如图是一种轨道示意图,其中和均为半圆,点M,A,C,N依次在同一直线上,且AM=CN.现有两个机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,沿着轨道以大小相同的速度匀速移动,其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x,两个机器人之间距离为y.则y与x关系的图象大致是( )
D
2.(2023自贡中考)如图1,小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是( )
A.小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C.报亭到小亮家的距离是400米
D.小亮打羽毛球的时间是37分钟
D
考点二 一次函数的图象与性质
3.(2022包头中考)在一次函数y=-5ax+b(a≠0)中,y的值随x值的增大而增大,且ab>0,则点A(a,b)在( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
4.(2022绍兴中考)已知(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线y=-2x+3上的三个点,且x1A.若x1x2>0,则y1y3>0
B.若x1x3<0,则y1y2>0
C.若x2x3>0,则y1y3>0
D.若x2x3<0,则y1y2>0
B
D
5.(2023北京中考)在平面直角坐标系中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)和B(1,2),与过点(0,4)且平行于x轴的直线交于点C.
(1)求该函数的解析式及点C的坐标.
(2)当x<3时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且小于4,直接写出n的值.
解:(1)把点A(0,1),B(1,2)代入y=kx+b(k≠0),得解得
∴该函数的解析式为y=x+1,
由题意知点C的纵坐标为4,当y=x+1=4时,解得 x=3,∴C(3,4).
(2)由(1)知:当x=3时,y=x+1=4,
因为当x<3时,函数y=x+n的值大于函数y=x+1的值且小于4,
所以当y=x+n过点(3,4)时满足题意,代入(3,4),得4=×3+n,解得 n=2.
考点三 一次函数的应用
6.(2023衡水景县期末)某商场为了抓住夏季来临衬衫热销的契机,决定用46 000元购进A,B,C三种品牌的衬衫共300件,并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件.设购进A种型号的衬衣x件,购进B种型号的衬衣y件,三种品牌的衬衫的进价和售价如表所示:
(1)直接用含x,y的代数式表示购进C种型号衬衣的件数,其结果可表示为 .
(2)求y与x之间的函数解析式.
(3)如果该商场能够将购进的衬衫全部售出,但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种费用共计1 000元.
①求利润P(元)与x(件)之间的函数解析式;
②求商场能够获得的最大利润.
解:(1)∵A,B,C三种品牌的衬衫共300件,购进A种型号的衬衣x件,
购进B种型号的衬衣y件,
∴购进C种型号衬衣的件数为(300-x-y)件,故答案为300-x-y.
型号 A B C
进价(元/件) 100 200 150
售价(元/件) 200 350 300
解:(2)由题意得 100x+200y+150(300-x-y)=46 000,
∴y=x+20,
∴y与x之间的函数解析式为y=x+20.
(3)①P=(200-100)x+(350-200)y+(300-150)(300-x-y)-1 000=-50x+44 000.
答:利润P(元)与x(件)之间的函数解析式为P=-50x+44 000.
②由题意得
解得 90≤x≤95.
又∵P=-50x+44 000,y随x的增大而减小,
∴当x=90时,P最大=-50×90+44 000=39 500,
答:市场能获得的最大利润为39 500元.
1.(确定自变量的取值范围时忽略某些字母取值的限制)函数y=+(x-5)-2中自变量x的取值范围是( )
A.x≥3且x≠5 B.x>3且x≠5
C.x>3 D.x≥3
2.(识别函数图象时,不能正确根据题意判断符合题意的图象)小玲从山脚沿某上山步道“踏青”,匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿,休息结束后她加快了速度,匀速直至到达山顶.设从她出发开始所经过的时间为t,她行走的路程为s,下面能反映s与t的函数关系的大致图象是( )
B
A
3.(根据一次函数的定义求字母的取值时,忽略某些隐含条件)已知函数y=(m+1)x2-|m|+4,y是x的一次函数,则m的值是( )
A.1 B.-1
C.1或-1 D.任意实数
4.(考虑不周,缺乏必要的讨论致误)若一次函数y=kx+5在-1≤x≤4范围内有最大值17,则k= .
A
-12或3(共12张PPT)
19.2.3 一次函数与方程、不等式
第1课时 一次函数与一元一次
方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程:解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为
时,求自变量x的值.
2.一次函数与一元一次不等式:解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值 或 时,求自变量x的取值范围.
0
大于0
小于0
知识点一 一次函数与一元一次方程
1.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数,且a≠0),x与y的部分对应值如下表:
那么方程ax+b=0的解是( )
A.x=-1 B.x=0
C.x=1 D.x=4
2.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程x+5=ax+b的解是( )
A.x=20 B.x=5
C.x=25 D.x=15
C
A
3.如图,一次函数y=kx+b的图象经过点B(-3,0),则关于
x的一元一次方程kx+b=0的解为 .
4.利用图象法解方程:x-2=0.
x=-3
名师点睛
利用一次函数的图象解一元一次方程时,关键是找准方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值.
解:画函数y=x-2的图象如图所示,
从函数图象可以看出直线y=x-2
与x轴的交点坐标是(2,0),
∴方程x-2=0的解是x=2.
知识点二 一次函数与一元一次不等式
5.函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象如图,则关于x的不等式kx+b>0的解集为( )
A.x>0 B.x<0
C.x<2 D.x>2
母题变式
利用函数y=ax+b的图象解得ax+b<0的解集是x<-2,则y=ax+b的图象可能是( )
6.如图,函数y=ax+4和y=bx的图象相交于点A,则不等式bx≥ax+4的解集为 .
C
C
x≥2
7.在如图的平面直角坐标系内画出一次函数y=2x-4的图象,根据图象求:
(1)当x取什么值时,y<0,y=0,y>0.
(2)当-4名师点睛
求不等式的解集反映在函数图象上,即求自变量的取值范围.解此类题目一般不求函数的解析式,而应根据不等式找到对应部分的图象,进而确定自变量的取值范围.
解:函数图象如图所示.
(1)由图象知,
x<2时,y<0;x=2时,y=0;x>2时,y>0.
(2)由图象可得,
当x=0时,y=-4;当x=3时,y=2.
所以当-4【基础过关】
1.如图是一次函数y=x-1的图象,根据图象可直接写出方程x-1=0的解为x=2,这种解题方法体现的数学思想是( )
A.数形结合思想 B.整体思想
C.分类讨论思想 D.函数思想
2.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是( )
A
C
3.如图,直线y=kx+3经过点(2,0),(0,3),则关于x的不等式kx+3>0的解集是( )
A.x>2 B.x<2
C.x≥2 D.x≤2
4.如图,已知函数y=2x+b和y=ax-2的图象交于点P(-3,-4),则根据图象可得不等式2x+b>ax-2的解集是( )
A.x>-4 B.x>-3
C.x>-2 D.x<-3
5.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,甲、乙两位同学给出的下列结论:
甲说:方程kx+b=x+a的解是x=3;乙说:当x<3时,y1其中正确的结论有( )
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.甲、乙都正确 D.甲、乙都错误
B
B
A
6.一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=3的解为 .
7.(2023石家庄藁城区期末)如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点A(-2,4),则不等式kx+b>4的解集为 .
x=2
x>-2
8.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,点A,B在直线l上,根据图象回答下列问题:
(1)写出方程kx+b=0的解.
(2)写出不等式kx+b>2的解集.
(3)若直线l上的点P(m,n)在线段AB上移动,则m,n的取值范围分别是什么
解:(1)当x=-2时,y=0,
∴方程kx+b=0的解为x=-2.
(2)当x>2时,y>2,∴不等式kx+b>2的解集为x>2.
(3)-2≤m≤2,0≤n≤2.
【素养闯关】
9.若方程x-2=0的解也是直线y=(2k-1)x+10与x轴的交点的横坐标,则k的值为( )
A.2 B.0
C.-2 D.±2
10.(2022鞍山铁西区期中)定义max(a,b),当a≥b时,max(a,b)=a;当aC
6
11.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5),且与函数y=x+1的图象相交于点A (,a).
(1)求a的值.(2)求0(3)若函数y=kx+b的图象与x轴的交点是B,函数y=x+1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积.
解:(1)把(,a)代入解析式y=x+1,得a=.
(2)由(1)得函数y=kx+b的图象经过点(-1,-5)和(,).
∴解得∴函数y=kx+b的解析式为y=2x-3.
由题意,得0<2x-3(3)直线y=x+1与y轴交于点C(0,1),直线y=2x-3与x轴交于点B(,0),
∴S四边形ABOC=S△AOB+S△AOC=××+×1×=.(共13张PPT)
19.1.1 变量与函数
1.变量与常量
在一个变化过程中,数值 的量叫做变量,数值 的量叫做常量.
2.函数的概念
(1)在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有
确定的值与其对应,那么我们就说 是自变量,y是x的函数.
(2)如果当x=a时y=b,那么 叫做当自变量的值为a时的函数值.
3.函数的解析式
用关于 的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.
发生变化
始终不变
唯一
x
b
自变量
知识点一 变量与常量的确定
1.(2023张家口宣化区期中)圆的周长公式为C=2πr,下列说法正确的是( )
A.常量是2 B.变量是C,π,r
C.变量是C,r D.常量是2,r
2.(2021石家庄桥西区期末)刘师傅到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,则其中的变量是( )
A.金额 B.单价
C.数量 D.金额和数量
C
名师点睛
区别常量与变量,就是看在某个变化过程中,该量的值是否可以改变,即要抓住一个“变”字,不变就是常量,变化就是变量.
D
知识点二 函数
3.长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(其中x>0),面积为y cm2,则这样的长方形中y与x的关系可以写为( )
A.y=x B.y=12-x
C.y=(12-x)·x D.y=2(12-x)
4.(2023山西中考)一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂重1 kg物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为( )
A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x
C.y=10+0.5x D.y=0.5x
C
B
5.已知一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2 m,到达坡底时,小球速度为40 m/s.解答下列各题:
(1)小球的速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数解析式为 .
(2)请问t的取值范围是 .
(3)当t为3.5 s时小球的速度为 .
(4)当t为 时,小球的速度为16 m/s.
v=2t
名师点睛
求函数关系式的关键是找题中的等量关系.对于函数值,当已知函数关系式时,求函数值就是求代数式的值.
0≤t≤20
7 m/s
8 s
知识点三 自变量的取值范围
6.(2023廊坊大城二模)在函数y=+(x-3)0中,自变量x的取值范围是( )
A.x≥-3 B.x>-3
C.x≠3 D.x>-3且x≠3
7.函数y=的自变量x的取值范围是 .
8.(2023齐齐哈尔中考)在函数y=+ 中,自变量x的取值范围是 .
D
名师点睛
自变量的取值范围必须满足使它所在的每个部分都有意义,要根据各种形式有意义的条件分别求出各自的自变量的取值范围,然后再求它们的公共部分.
x≥
x>1且x≠2
【基础过关】
1.太阳能热水器里的水温会随着太阳照射时间的变化而变化.在这个变化过程中,自变量是( )
A.热水器里的水温 B.太阳照射时间
C.太阳光强弱 D.热水器的容积
2.下列关于变量x,y的关系,其中y不是x的函数的是( )
B
D
3.底边为10的三角形的面积y与其高x的关系式为y=5x,在此式中( )
A.y是变量,5,x是常量
B.y,x是变量,5是常量
C.x是变量,5,y是常量
D.5是变量,x,y是常量
4.(2023遵化期末)如图,在△ABC中,已知BC=16,高AD=10,动点Q由C点沿CB向B点移动(不与点B重合).设CQ的长为x,△ACQ的面积为S,则S与x之间的函数关系式为( )
A.S=80-5x(0B.S=5x(0C.S=10x(0D.S=5x+80(0B
B
5.根据如图所示的程序计算函数y的值,若输入自变量x的值为,则输出的结果是( )
A. B.
C. D.
6.(2023黑龙江中考)在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
7.当x= 时,函数y=27x+3与函数y=2x-7 的函数值相等,这个函数值是 .
C
x≥-3
-
-
8.如图是我国古代某种铜钱的平面示意图,该图形是在一个圆形的中间挖去一个正方形得到的.若圆的直径是3 cm,正方形的边长为x cm,该图形的面积为y cm2(π取3).
(1)写出y与x之间的关系式.
(2)当x=时,求y的值.
解:(1)由题意得y=3×()2-x2=-x2.
(2)当x=时,y=-()2=.
【素养闯关】
9.(2023保定曲阳期中)如图,有一个球形容器,小海在往容器里注水的过程中发现,水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量.下列有四种说法:
①S是V的函数;②V是S的函数;③h是S的函数;④S是h的函数.
其中所有正确说法的序号是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
B
10.如图,圆柱的高是4 cm,当圆柱底面半径r(cm)变化时,圆柱的体积V(cm3)也随之变化.
(1)指出在这个变化过程中的变量与常量.
(2)写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式.
(3)当圆柱的底面半径由2 cm变化到8 cm时,圆柱的体积是怎样变化的
解:(1)在这个变化过程中,变量是 r,V,常量是高4.
(2)圆柱的体积V与底面半径r的关系式是 V=4πr2.
(3)当圆柱的底面半径由2变化到8时,圆柱的体积由 16π cm3变化到 256π cm3.
11.(2022秦皇岛青龙期中)如图,已知在矩形ABCO中,边AB=15,BC=10.以点O为原点,OC,OA所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系.
(1)点A的坐标为(0,10),写出B,C两点的坐标.
(2)若点P从点C出发,以3单位/秒的速度向CO方向移动(不超过点O),点Q从原点O出发,以2单位/秒的速度向OA方向移动(不超过点A),设P,Q两点同时出发,t秒后,写出△BPQ的面积S与t之间的函数关系式.
解:(1)∵四边形ABCO是矩形,∴OC=AB=15.
∵BC=10,∴B(15,10),C(15,0).
(2)当P运动t秒时,CP=3t,OQ=2t,
∴S△BCP=CP·BC=×3t×10=15t(0S△BPQ=S矩形AOCB-S△POQ-S△ABQ-S△PBC
=15×10-×(15-3t)×2t-×(10-2t)×15-15t
=150-15t+3t2-75+15t-15t
=3t2-15t+75.(共6张PPT)
小专题集训五
一次函数的实际应用
类型一 利用一次函数解决利润最值问题
1.“节能环保,绿色出行”意识的增强,越来越多的人喜欢骑自行车出行,也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同,那么今年的销售总额将比去年减少10%,求:
(1)A型自行车去年每辆售价多少元.
(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍.已知,A型车和B型车的进货价格分别为1 500元和1 800元,计划B型车销售价格为2 400元,应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最大.
解题指导
一次函数应用问题的求解思路:
①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答;
②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用.
解:(1)设去年A型自行车每辆售价x元,则今年售价每辆为(x-200)元,由题意,得
=,
解得x=2 000.
经检验,x=2 000是原方程的根.
答:去年A型自行车每辆售价为2 000元.
(2)设今年新进A型车a辆,则B型车(60-a)辆,获利y元,由题意,得
y=(2 000-1 500-200)a+(2 400-1 800)(60-a),
y=-300a+36 000.
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,
∴60-a≤2a,∴a≥20.
∵y=-300a+36 000.
∴k=-300<0,
∴y随a的增大而减小.
∴a=20时,y最大=30 000.
∴B型车的数量为60-20=40(辆).
∴当新进A型车20辆,B型车40辆时,这批自行车销售获利最大.
2.某网店销售甲、乙两种羽毛球,已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元,王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球,共花费255元.
(1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元
(2)根据消费者需求,该网店决定用不超过8 780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒,且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的,已知甲种羽毛球每筒的进价为50元,乙种羽毛球每筒的进价为40元.
①若设购进甲种羽毛球m筒,则该网店有哪几种进货方案
②若所购进羽毛球均可全部售出,请求出网店所获利润W(元)与甲种羽毛球进货量m(筒)之间的函数关系式,并说明当m为何值时所获利润最大 最大利润是多少
解:(1)设甲种羽毛球每筒的售价为x元,乙种羽毛球每筒的售价为y元,
根据题意,可得解得
答:该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元,乙种羽毛球每筒的售价为45元.
(2)①若购进甲种羽毛球m筒,则乙种羽毛球为(200-m)筒,
根据题意,可得
解得75∵m为整数,∴m的值为76,77,78,
∴进货方案有3种,分别为
方案一,购进甲种羽毛球76筒,乙种羽毛球为124筒,
方案二,购进甲种羽毛球77筒,乙种羽毛球为123筒,
方案三,购进甲种羽毛球78筒,乙种羽毛球为122筒.
②根据题意可得W=(60-50)m+(45-40)(200-m)=5m+1 000,
∵5>0,∴W随m的增大而增大,且75∴当m=78时,W最大,W最大值为1 390,
答:当m=78时,所获利润最大,最大利润为1 390元.
类型二 利用一次函数解决路程问题
3.甲、乙两车分别从A地驶向B地,甲车比乙车早出发2 h,并在中途休息了0.5 h后按原速度前行.如图是两车行驶的路程y(km)与甲车行驶的时间x(h)的函数图象.
(1)a= ,b= .
(2)求当a(3)当甲车行驶多少时间时,两车恰好相距60 km
40
解:(2)当由题意,得解得∴y=40x-20.
(3)设乙车行驶的路程y与甲车出发时间x之间的解析式为y=k2x+b2,
由题意,得解得∴y=80x-160,
当40x-20-(80x-160)=60时,解得x=2,当80x-160-(40x-20)=60时,解得x=5.
答:甲车行驶2 h或5 h,两车恰好相距60 km.(共11张PPT)
19.3 课题学习 选择方案
借助两个一次函数图象解决有关问题
若同一平面直角坐标系中,存在两个函数图象,需注意在不同的范围内,两函数图象的相对位置及这种相对位置关系所表示的实际意义.
知识点一 “两个一次函数”类方案选择问题
1.(2023邯郸一模)如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象(总利润=总销售额-总成本).由于目前销售不佳,小李想了两个解决方案:
方案(1)是不改变食品售价,减少总成本;
方案(2)是不改变总成本,提高食品售价.
下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象,则分别反映了方案(1)(2)的图象是( )
A.②③ B.①③
C.①④ D.④②
B
2.(2023邯郸馆陶期末)暑期将至,某游泳俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下:
方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次游泳费用按六折优惠;
方案二:不购买学生暑期专享卡,每次游泳费用按八折优惠.
设某学生暑期游泳x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=kx+b;
按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x,其函数图象如图所示.
(1)b的值是 .
(2)打折前的每次游泳费用是 元.
(3)若小明打算办一张暑期专享卡,使得游泳的费用更合算,则他去游泳的次数x至少是
.
解:(1)由题图可知:x=0时,y1=30,∴b=30,故答案为30.
(2)由(1)知y1=kx+30,将(10,180)代入,得180=10k+30,解得k=15,∴y1=15x+30,
∴打折前每次游泳费用是15÷=25(元),故答案为25.
(3)方案二打八折每次游泳费用k2=25×=20(元),
∴y2=20x.
∵办一张暑期专享卡,使得游泳的费用更合算,
∴15x+30<20x,解得x>6.
∵x是整数,∴x最小为7,故答案为7.
名师点睛
两个函数图象在同一直角坐标下,当取相同的自变量时,下方的图象对应函数的函数值小,上方图象对应函数的函数值大,交点处的函数值相等.
知识点二 “利用一次函数的增减性求最值”类方案设计
3.某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防流感.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量的2倍.怎样购买,才能使总费用W最少 并求出最少费用.
解:(1)设每桶甲消毒液的价格为x元,每桶乙消毒液的价格为y元.
由题意可得解得
答:每桶甲消毒液的价格为45元,每桶乙消毒液的价格为35元.
解:(2)由题意可得W=45a+35(30-a)=10a+1 050,
∵k=10>0,∴W随a的增大而增大.
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量的2倍.
∴解得17.5≤a≤20.
∵a为整数,
∴当a=18时,W取得的最小值,
此时W=1 230,30-a=12.
答:购买甲消毒液18瓶,乙消毒液12瓶时,才能使总费用W最小,最少费用是1 230元.
名师点睛
利用一次函数解决实际问题,常常给出问题情境要求设计解决问题的方案或给出多种不同方案通过判断选出最佳方案,其解题关键是将实际问题数学化,建立一次函数的模型,利用一次函数的相关性质求解.
【基础过关】
1.(2023石家庄新华区期末)如图,l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系;l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系.根据图象判断,该公司盈利时,销售量
( )
A.小于12件 B.等于12件
C.大于12件 D.不低于12件
C
2.某公司生产一种品牌的产品,近年的产销情况如图所示,直线l1和l2分别表示产量与年份、销量与年份的函数关系,则下列说法:①该产品产量与销售量均呈直线上升的趋势,应该按原计划继续生产;②该产品已经出现供大于求的趋势价格将趋跌;③该产品库存积压越来越大,应该压缩生产或设法促销;④该产品近年的产量一直大于销量,因此一直处于亏损状态.其中错误的是( )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
B
3.甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客,在草莓售价相同的条件下,分别推出下列优惠方案:进入甲园,顾客需购买门票,采摘的草莓按六折优惠;进入乙园,顾客免门票,采摘草莓超过一定数量后,超过的部分打折销售,活动期间,某顾客的草莓采摘量为x千克,若在甲园采摘需总费用y1元,在乙园采摘需总费用y2元.y1,y2与x之间的函数图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克
B.甲园的门票费用是60元
C.乙园超过5千克后,超过部分的价格按五折优惠
D.顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多
D
【素养闯关】
4.(2023台州期末)在“美丽中国,清洁乡村”活动中,李家村提出两种购买垃圾桶方案:方案1:不分类垃圾桶免费赠送,以后每月的垃圾处理费用800元:方案2:买分类垃圾桶,需要费用3 000元,以后每月的垃圾处理费用200元;设方案1的总费用为y1千元,方案2的总费用为y2千元,交费时间为x个月.
(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式.
(2)在同一坐标系内,画出函数y1,y2的图象.
(3)在不考虑垃圾桶使用寿命的情况下,哪种方案省钱
解:(1)y1=x=x,y2=x+=x+3.
(2)如图:
(3)由图象可知0x=5时,方案一或者方案二一样省钱;
x>5时,方案二省钱.(共10张PPT)
19.2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的概念
1.正比例函数的有关概念
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
2.正比例函数:正比例函数的表达式为y=kx(k为常数,k≠0),只有一个待定系数k,因而只需一个条件就可以求得 k的值,从而确定表达式.
y=kx
知识点一 正比例函数的定义
1.在下列函数中是正比例函数的是( )
A.y=3x-4 B.y=-2x+1 C.y=3x D.y=4
2.若y关于x的函数y=(a-2)x+b是正比例函数,则a,b应满足的条件是( )
A.a≠2 B.b=0
C.a=2且b=0 D.a≠2且b=0
3.下列函数:①y=-;②y=;③y=8x2+x(1-8x);④y=1+8x.其中正比例函数有哪些
C
D
名师点睛
判断一个函数是不是正比例函数,一是看等号右边的代数式是否为单项式,二是看两个变量的次数是否为1,三是看自变量的系数是否不为0.以上条件同时满足时,该函数为正比例函数.
解:正比例函数有①③.
知识点二 正比例函数的解析式
4.y是x的正比例函数,当x=2时,y=4,那么当x=-1时,y的值为( )
A.2 B.1
C.-2 D.- 1
5.每本练习本0.5元,购买练习本的总费用y(元)与购买练习本的数量x(本)的关系式为
.
y=0.5x
C
6.(2023遵化期末)已知y+3与x成正比例,当x=2时,y=7.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)当x=-时,求y的值.
名师点睛
求函数表达式时需要注意两点:一是所取的点必须在函数图象上,二是必须正确代入、准确计算.
解:(1)设y+3=kx,把x=2,y=7代入得2k=7+3,
解得k=5,
所以y+3=5x,所以y与x的函数解析式为y=5x-3.
(2)当x=-时,y=5×(-)-3=-.
【基础过关】
1.下列函数中,是正比例函数的是( )
A.y=-8x B.y=
C.y=8x2 D.y=8x-4
2.下列问题中,两个变量之间是正比例函数关系的是( )
A.汽车以80 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系
B.圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系
C.某水池有水15 m3,打开进水管进水,进水速度5 m3/h,x h后水池有水y m3
D.有一个棱长为x的正方体,则它的表面积S与棱长x之间的函数关系
A
A
3.如果每盒圆珠笔有12支,每盒的售价是36元,那么圆珠笔的销售额y(元)与销售量x(支)之间的函数解析式为( )
A.y=12x B.y=36x
C.y=x D.y=3x
4.已知下列函数是y关于x的函数.
(1)若y=2x+k-4是正比例函数,则k= .
(2)若函数y=(m-2)x|m|-1是正比例函数,则m的值是 .
(3)已知函数y=x2a+b+a+2b是关于x的正比例函数,则a= ,b= .
D
4
-2
-
5.列式表示下列问题中的y与x的函数关系,并判断该函数是否为正比例函数.
(1)每个练习本的厚度为0.5 cm,用x表示练习本的本数,y 表示x本练习本摞在一起的总厚度.
(2)圆的半径为x,周长为y.
(3)正方形的周长为y,边长为x.
(4)一个长方体的长为2 cm,宽为1.5 cm,高为x cm,体积为y cm3.
解:(1)y =0.5x,是正比例函数.
(2)y=2πx,是正比例函数.
(3)y=4x,是正比例函数.
(4)y=3x,是正比例函数.
【素养闯关】
6.下列说法中,不成立的是( )
A.y=3x-1中,y+1与x成正比例
B.y=-中,y与x成正比例
C.在y=2(x+1)中,y与x+1成正比例
D.在y=x+3中,y与x成正比例
7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积S(平方厘米)成正比.设其边长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为( )
A.6厘米 B.12厘米
C.24厘米 D.36厘米
D
A
8.已知A,B两地相距30 km,小明以6 km/h的速度从A地向B地步行y km,步行的时间为x h.
(1)求y与x之间的函数解析式,并指出y是x的什么函数.
(2)写出该函数自变量的取值范围.
解:(1)由题意,可得y=6x,此函数是正比例函数.
(2)∵A,B两地相距30 km,
∴0≤6x≤30,解得0≤x≤5,
即该函数自变量的取值范围是0≤x≤5.(共11张PPT)
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
1.一次函数的概念
一般地,形如 (k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.
2.一次函数与正比例函数的关系
当一次函数y=kx+b中的b=0时,即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的 .
y=kx+b
一次函数
知识点一 一次函数的概念
1.下列函数:①y=4x;②y=-;③y=;④y=-4x+1,其中一次函数的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.下列说法不正确的是( )
A.一次函数不一定是正比例函数
B.正比例函数是一次函数的特例
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.不是一次函数就不是正比例函数
C
C
3.已知y=2xm-2+3是一次函数,则m= .
母题变式
已知函数y=(k-1)x+k2-1,当k 时,它是一次函数.
3
名师点睛
判断是否为一次函数时要注意:(1)必须为整式.(2)自变量的最高次数是一次,系数不等于0.(3)正比例函数也属于一次函数.
≠1
知识点二 列一次函数解析式
4.如图,一长为5 m,宽为2 m的长方形木板,现要在长边上截去长为x m的一部分,则剩余木板的面积(空白部分)y(m2)与x(m)的函数关系式为(0≤x<5)( )
A.y=10-x B.y=5x
C.y=2x D.y=-2x+10
D
5.写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断y是x的一次函数还是正比例函数.
(1)居民用电标准是每千瓦时0.53元,求电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的关系.
(2)汽车离开A站4千米,再以40千米/时的平均速度向远离A站的方向行驶了x小时,求汽车离开A站的距离y(千米)与时间x(小时)之间的关系.
名师点睛
实际问题中列一次函数解析式的步骤:(1)认真审题,找出等量关系.(2)用字母表示问题中的变量.(3)根据题意列出一次函数解析式.
解:(1)根据题意可得y=0.53x,是正比例函数,也是一次函数.
(2)根据题意可得y=4+40x,是一次函数.
【基础过关】
1.下列函数中,不是一次函数的是( )
A.y= B.y=x
C.y=-3x D.y=-x+4
2.在下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是( )
A.路程一定时,时间y和速度x的关系
B.长度为10 m的铁丝折成矩形,长y与宽x的关系
C.正方形的面积y与它的边长x的关系
D.斜边长为5的直角三角形的两直角边y和x的关系
A
B
3.如图,李爷爷要围一个长方形菜园ABCD,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边的总长恰好为24 m.设边BC的长为x m.边AB的长为y m(x>y),则y与x之间的函数表达式为( )
A.y=-2x+24(0C.y=-2x+24(84.若一次函数y=kx+b,当x=-2时,y=7;当x=1时,y=-11,则k,b的值为( )
A.k=6,b=5 B.k=-1,b=-5
C.k=-6,b=-5 D.k=1,b=5
母题变式
已知一次函数y=kx+b,当x=0时,y=1;当x=2时,y=0.则当x 时,y≤0.
B
C
≥2
5.若y是z的正比例函数,z是x的一次函数,则y是x的 .
6.把方程3x-2y=1写成y是x的一次函数的形式是 ,当x=-1时,y= .
7.写出下列问题中x与y之间的解析式,并判断y是不是x的一次函数.
(1)在时速为70 km/h的匀速运动中,路程y(km)与时间x(h)之间的关系.
(2)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李,超过部分每千克收取1.5元的行李费用,则旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(千克)(x>20)之间的关系.
一次函数
y=x-
-2
解:(1)根据题意,可得y=70x,是一次函数.
(2)根据题意,可得y=1.5(x-20),是一次函数.
【素养闯关】
8.若5y+2与x-3成正比例,则y是x的( )
A.正比例函数 B.一次函数
C.没有函数关系 D.以上答案都不正确
9.若函数y=(a-2)x|a|-1+4是一次函数,则a的值为( )
A.-2 B.±2
C.2 D.0
B
A
10.已知函数y=(m-10)x+1-2m.
(1)m为何值时,这个函数是一次函数
(2)m为何值时,这个函数是正比例函数
解:(1)根据一次函数的定义可得m-10≠0,
∴m≠10时,这个函数是一次函数.
(2)根据正比例函数的定义,
可得m-10≠0且1-2m=0,
∴m=时,这个函数是正比例函数.(共9张PPT)
河北中考特色题型——
一次函数的综合
类型一 交点问题
1.(2023石家庄新华区模拟)如图,已知点A(-2,3),B(2,1),当直线y=kx-k与线段AB有交点时,k的取值范围是( )
A.k≤-1 B.k≥1
C.k≤-1或k≥1 D.k≤-3或k≥
2.(2023衡水二模)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A(2,1),C(6,3),且AB∥x轴,可移动的直线l:y=2x+b,从直线y=2x+1的位置出发,沿x轴正方向平移,平移距离为m,有以下结论:①当m=2时,直线l的表达式为y=2x-3;②若矩形的四个顶点分别在直线l的两侧,则1≤m≤6;③当m=时,点D和点B关于直线l对称.其中正确的有( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
C
B
类型二 与图形变换相结合
3.(2023河北中考)在平面直角坐标系中,设计了点的两种移动方式:从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式;从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式.
例点P从原点O出发连续移动2次:若都按甲方式,最终移动到点M(4,2);若都按乙方式,最终移动到点N(2,4);若按1次甲方式和1次乙方式,最终移动到点E(3,3).
(1)设直线l1经过上例中的点M,N,求l1的解析式,并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式.
(2)点P从原点O出发连续移动10次,每次移动按甲方式或乙方式,最终移动到点Q(x,y).其中,按甲方式移动了m次.
①用含m的式子分别表示x,y;
②请说明:无论m怎样变化,点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为l3,在图中直接画出l3的图象.
(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C,横坐标依次为a,b,c,若A,B,C三点始终在一条直线上,直接写出此时a,b,c之间的关系式.
解:(1)设l1的解析式为y=kx+b,由题意可得
解得
∴l1的解析式为y=-x+6,
将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y=-x+15.
(2)∵点P按照甲方式移动了m次,点P从原点O出发连续移动10次,
∴点P按照乙方式移动了(10-m)次,
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为(2m,m),
∵点(2m,m)按照乙方式移动(10-m)次后得到的点的横坐标为2m+10-m=m+10,
纵坐标为m+2(10-m)=20-m,
∴x=m+10,y=20-m;
②∵x+y=m+10+20-m=30,
∴直线l3的解析式为y=-x+30;
函数图象如图所示:
(3)5a+3c=8b.提示:∵点A,B,C横坐标依次为a,b,c,
∴点A(a,-a+6),点B(b,-b+15),点C(c,-c+30),
当a≠b≠c时,设直线AB的解析式为y=mx+n,
把点A,B的坐标分别代入,
得解得
∴直线AB的解析式为y=(-1+)x+6-.
∵点A,B,C三点始终在一条直线上,
∴c(-1+)+6-=-c+30,
∴5a+3c=8b.
当a=b=c时,则点A,B,C共线,则5a+3c=8b;
当-a+6=-b+15=-c+30时,-2a+b+c=33,
则5a+3c=8b.∴a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b.
类型三 存在性问题
4.(2023秦皇岛海港区期中)如图,在平面直角坐标系中,过点A(0,10)的直线AB与直线OC相交于点C(2,8),动点P沿路线O→C→B运动.
(1)求直线AB的解析式.
(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积.
(3)当△OPB的面积是△OBC的面积的时,此时点P的坐标为 .
(4)当点P运动到线段CB上时,是否存在点P,使△OBP是等腰三角形 若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4.解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+10,把C(2,8)代入得2k+10=8,解得k=-1,
∴直线AB的解析式为y=-x+10.
(2)在y=-x+10中,令y=0得-x+10=0,解得x=10,∴B(10,0),
∴S△OAB=OB·OA=×10×10=50.
(3)(,2)或(8,2).
(4)存在点P,使△OBP是等腰三角形.理由如下:
设P(m,-m+10),∵O(0,0),B(10,0),
∴OP2=m2+(-m+10)2,BP2=2(m-10)2,OB2=100.
当OP=BP时,m2+(-m+10)2=2(m-10)2,
解得m=5,∴P(5,5);
当OP=OB时,m2+(-m+10)2=100,
解得m=0(舍去)或m=10(舍去),
∴这种情况不存在;
当BP=OB时,2(m-10)2=100,解得m=5+10(P不在线段BC上,舍去)或m=-5+10,
∴P(-5+10,5).
综上所述,点P的坐标为(-5+10,5)或(5,5).
类型四 运动轨迹问题
5.(2023保定莲池区三模)某电子屏上下边缘距离为12 cm,点A为左边缘上一点,一光点P从左边缘点A出发在电子屏上沿图中虚线l(直线方向)运动,到达下边缘停止,运动时间为t(s),如图是光点P运动过程中的某位置,P与电子屏左边缘的水平方向的距离为s cm,s与t成正比例,P与电子屏上边缘竖直距离为d cm,d由两部分组成,一部分与t成正比例,一部分保持不变,且s,d与t满足表格中的数据.
(1)用含t的代数式表示s与d,并直接写出点P在水平方向的运动速度v1,及在竖直方向的运动速度v2.
(2)点P与电子屏下边缘竖直距离为h cm,求出h与s之间的关系式并通过计算说明h不少于3 cm的时长是多少
t(s) 1 2
s(cm) 4 8
d(cm) 6 9
解:(1)∵s与t成正比例,∴设s=k1t(k1≠0),
把t=1,s=4代入,得k1=4,∴s=4t.
∵d由两部分组成,一部分与t成正比例,一部分保持不变,∴设d=k2t+b(k2≠0),
把与代入,得
解得∴d=3t+3.
∵d≤12,∴3t+3≤12,∴0≤t≤3.
点P在水平方向运动的速度v1=(8-4)÷(2-1)=4(cm/s),
点P在竖直方向的运动速度v2=(9-6)÷(2-1)=3(cm/s).
(2)根据题意,得h=12-d=12-(3t+3)=-3t+9.
∵s=4t,∴t=,h=-3t+9=-3×+9=-s+9.
∵0≤t≤3,∴0≤s≤12,∴h=-s+9(0≤s≤12),
当h≥3时,-3t+9≥3,∴t≤2.
答:h不少于3 cm的时长是不超过2 s.(共15张PPT)
19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
函数的图象
(1)定义:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的
,那么坐标平面内由这些点组成的 ,就是这个函数的图象.
(2)画法:描点法画函数图象的一般步骤: 、 、 .
横、纵坐标
图形
列表
描点
连线
知识点一 从函数的图象获取信息
1.骑自行车是一种健康自然的运动方式,长期坚持骑自行车可增强心血管功能,提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者刘叔叔某天骑自行车行驶路程(km)与时间(h)的关系图象,观察图象得到下列信息,其中错误的是( )
A.点P表示刘叔叔出发4 h,一共骑行80 km
B.刘叔叔实际骑行时间为5 h
C.0 h~2 h刘叔叔的骑行速度为15 km/h
D.刘叔叔的骑行在0 h~2 h的速度比3 h~4 h的速度慢
B
2.(2023贵州中考)今年“五一”假期,小星一家驾车前往黄果树景点旅游,在行驶过程中,汽车离黄果树景点的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.小星家离黄果树景点的路程为50 km
B.小星从家出发第1小时的平均速度为75 km/h
C.小星从家出发2小时离景点的路程为125 km
D.小星从家到黄果树景点的时间共用了3 h
D
3.如图是某地一天的气温随时间变化的图象,其中T表示气温,t表示时间.
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系
(2)20时的气温是多少
(3)什么时间气温为6 ℃
(4)气温T可以看成时间t的函数吗 为什么
名师点睛
从函数图象中获取信息的技巧:(1)弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么,图象上最高点、最低点的意义.(2)上升线表示函数值随自变量的增大而增大,下降线表示函数值随自变量的增大而减小,水平线表示函数值不随自变量的变化而变化.(3)直线倾斜程度大表示函数值随自变量变化迅速,直线倾斜程度小表示函数值随自变量变化缓慢.
解:(1)图象反映了气温T与时间t之间的关系.
(2)20时的气温是8 ℃.
(3)10时和22时的气温为6 ℃.
(4)气温T可以看成时间t的函数.因为对于时间t的每一个值,气温T都有唯一确定的值
与它对应.
知识点二 画函数图象
4.(2023乐山中考)下列各点在函数y=2x-1图象上的是( )
A.(-1,3) B.(0,1)
C.(1,-1) D.(2,3)
5.作出函数y=-2x+1的图象.请完成所给的表格,并在平面直角坐标系中画出图象.
解:列表如下:
描点、连线,如图:
D
x … - 0 1 …
y … …
2 1 0 -1 -2
6.经过实验获得两个变量x(x>0),y(y>0)的一组对应值如表.
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象.
(2)点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,若0解:(1)函数图象如图所示:
(2)由函数图象可知,当x>0时,y随x的增大而减小,
又0y2.
名师点睛
用描点法画函数图象的注意事项:(1)列表时,要根据自变量的范围取值.(2)连线时,要用平滑曲线连接.
x 1 2 3 4 5
y 6 3 2 1.5 1.2
易错点 因不理解变量代表的实际意义而出错
典题 李强同学去登山,先匀速登上山顶,原地休息一段时间后,又匀速下山,上山的速度小于下山的速度.在登山过程中,他行走的路程s随时间t的变化规律的大致图象是
( )
B
易错提醒
根据实际情景确定函数的大致图象时,一定要注意变量代表的实际意义,理清函数与自变量的变化过程.
【基础过关】
1.下列曲线中不能表示y是x的函数的是( )
2.(2022宜昌中考)如图是小强散步过程中所走的路程s(单位:m)与步行时间t(单位:min)的函数图象.其中有一时间段小强是匀速步行的,则这一时间段小强的步行速度为( )
A.50 m/min B.40 m/min
C. m/min D.20 m/min
C
D
3.(2022临沂中考)甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y(单位:km)与时间x(单位:h)的对应关系如图所示,下列说法中不正确的是( )
A.甲车行驶到距A城240 km处,被乙车追上
B.A城与B城的距离是300 km
C.乙车的平均速度是80 km/h
D.甲车比乙车早到B城
4.(2023保定莲池区校级三模)甲、乙、丙、丁四个人所行的路程和所用时间如图所示,按平均速度计算,走得最快的是 .
D
甲
5.下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系,请分别找出四种场景对应的图象.
①一辆汽车在公路上匀速行驶(汽车行驶的路程与时间的关系),对应图 .
②向锥形瓶中匀速注水(水面的高度与注水时间的关系),对应图 .
③将常温下的温度计插入一杯热水中(温度计的读数与时间的关系),对应图 .
④一杯越来越凉的水(水温与时间的关系),对应图 .
D
B
A
C
6.如图是某市某一天的气温变化图.
根据图象解答下列问题:
(1)这天的最高气温是多少 最低气温是多少
(2)请描述这一天3时到12时气温的变化情况.
解:(1)由图可知,最高气温是40 ℃,最低气温是5 ℃.
(2)由图可知:3时到6时气温逐渐升高,6时到9时气温逐渐降低,
9时到12时气温逐渐升高.
【素养闯关】
7.(2022武汉中考)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线).这个容器的形状可能是( )
8.正方形ABCD的边AB上有一动点E,以EC为边作矩形ECFG,且边FG过点D.设AE=x,矩形ECFG的面积为y,则y与x之间的关系描述正确的是( )
A.y与x之间是函数关系,且当x增大时,y先增大再减小
B.y与x之间是函数关系,且当x增大时,y先减小再增大
C.y与x之间是函数关系,且当x增大时,y一直保持不变
D.y与x之间不是函数关系
A
C
9.(2023烟台中考)如图1,在△ABC中,动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图象,其中点F为曲线DE的最低点,则△ABC的高CG的长为 .
10.小红帮弟弟荡秋千,秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图所示.
(1)根据函数的定义,请判断变量h是否为关于t的函数
(2)结合图象回答:
①当t=0.7 s时,h的值是多少 并说明它的实际意义;
②秋千摆动第一个来回用了多少时间
解:(1)由图象可知,对于每一个摆动时间t,h都有唯一确定的值与其对应,
因此变量h是关于t的函数.
(2)①由函数图象可知,当t=0.7 s时,h=0.5 m,它的实际意义是当秋千摆动0.7 s时,
秋千离地面的高度是0.5 m;
②由图象可知,秋千摆动第一个来回用了2.8 s.(共14张PPT)
19.1.2 函数的图象
第2课时 函数的表示方法
函数的表示方法共有三种,分别是 法、列表法和 法.
解析式
图象
知识点一 函数的三种表示方法
1.“五一”期间,小亮骑自行车去动物园游玩,开始以正常速度匀速行驶,行驶中途做短暂休息,然后以更快的速度匀速行驶去动物园.下面能大致反映小亮离家距离s与出发时间t的关系的图象是( )
2.某学习小组做了一个实验:从一幢100 m高的楼顶放下一个苹果,测得有关数据如下:
则下列说法错误的是( )
A.苹果每秒下落的路程越来越长
B.苹果每秒下落的路程不变
C.苹果下落的速度越来越快
D.可以推测,苹果落到地面的时间不超过5 s
C
B
下落时间t/s 1 2 3 4
下落高度h/m 5 20 45 80
3.(原创题)一水箱中有水500 L,现在往外放水,每分钟放水50 L.
(1)写出水箱中剩余水量V(L)与放水实际时间t(min)之间的函数关系式.
(2)求出自变量t的取值范围.
(3)试一试,你能否画出这个函数的图象
名师点睛
函数的三种表示方法可以相互转化,因此在表示函数时,要根据具体情况选择适当的方法.画函数图象时,通常要取边界值.同时,两坐标轴上的单位长度可根据实际情况灵活掌握.
解:(1)由题意,得V=500-50t.
(2)∵V≥0,即500-50t≥0,解得t≤10,∴0≤t≤10.
(3)根据自变量的取值范围可列下表:在平面直角坐标系内,
根据表中数据描点,用平滑曲线连接这些点,如图:
t 0 1 2 3 4 … 7 8 9 10
V 500 450 400 350 300 … 150 100 50 0
知识点二 用函数知识解决问题
4.甲、乙两同学从A地出发,骑自行车在同一条路上行驶到B地,他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系的图象如图所示,根据图中提供的信息,下列说法错误的是( )
A.他们都行驶了18千米
B.甲车停留了0.5小时
C.乙比甲晚出发了0.5小时
D.相遇后甲的速度大于乙的速度
D
5.如图表示甲、乙两人从同一个地点出发后的情况.到10时时,甲大约走了13千米.根据图象回答:
(1)甲是几时出发的
(2)乙是几时出发的,到10时时,他大约走了多少千米
(3)到10时为止,哪个人的速度快
(4)两人最终在几时相遇
解:根据图象可知:
(1)甲是8时出发的.
(2)乙是9时出发的;到10时时,他大约走了13千米.
(3)到10时为止,乙的速度快.
(4)两人最终在12时相遇.
名师点睛
利用函数图象解决相关问题的一般方法:(1)理解题意,注意问题中变量之间的数量关系.(2)观察图象,特别是图象中的常量、变量以及两坐标轴表示的意义等.(3)对这些信息进行处理,解决问题.
【基础过关】
1.(2023泰安岱岳区期末)某商场为了促销一种饮料,实行大降价,为了提高服务质量,服务员制作了售价y(元)与数量x(个)之间的关系如下表,下面能表示这种关系式的式子是( )
A.x=1.8y B.y=1.8x
C.y=1.8+x D.y=
B
数量/个 1 2 3 4 5 …
售价/元 1.80 3.60 5.40 7.20 9.00 …
2.(2023霸州期中)如图,在实验课上,小亮利用同一块木板,测量了小车从木板顶部下滑的时间t与支撑物的高度h,得到如表所示的数据.下列结论不正确的是( )
A.这个实验中,木板的支撑物高度是自变量
B.支撑物高度h每增加10 cm,下滑时间就会减少0.24 s
C.当h=40 cm时,t为2.66 s
D.随着支撑物高度h的增加,下滑时间越来越短
B
木板的支撑物 高度h/cm 10 20 30 40 50 …
下滑时间t/s 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
3.(2023廊坊期末)某加工厂要在5天内加工完220吨面粉,加工厂安排甲、乙两组共同完成加工任务,乙组加工中途停工一段时间维修设备,然后提高加工效率继续加工,直到与甲队同时完成加工任务为止.设甲、乙两组各自加工面粉数量y(吨)与甲组加工时间x(天)之间的关系如图所示.观察图象后,小李、小王分别说出各自的判断:
小李:甲组每天加工面粉20吨;
小王:到第3天结束时,甲、乙两组共完成总任务的一半.
下列说法正确的是( )
A.只有小李的判断正确
B.两人的判断都正确
C.只有小王的判断正确
D.两人的判断都不正确
B
4.如果两个变量x,y之间的函数关系如图所示,那么函数y的取值范围是 .
5.声音在空气中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)的关系如下表:
请根据表格中的数据估计温度为5 ℃时,声音在空气中的传播速度为 m/s.
0≤y≤2
t/℃ 1 2 3 4 …
v/(m/s) 331+0.6 331+1.2 331+1.8 331+2.4 …
334
6.一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动,滚动的距离s(m)与时间t(s)之间的解析式为s=2t2(t≥0),通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表:
(1)根据解析式完成上表,并画出图象.
(2)当小球滚动6.5 s时,其滚动的距离是多少
2 8 18 32
时间t/s 1 2 3 4
距离s/m
解(2)当t=6.5时,s=84.5,即当小球滚动6.5 s时,其滚动的距离是84.5 m.
【素养闯关】
7.一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4 min内只进水不出水,从第4 min到第24 min内既进水又出水,从第24 min开始只出水不进水,容器内水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图,则图中a的值是( )
A.32 B.34 C.36 D.38
C
8.某商场为庆祝正式营业,推出了两种购物优惠方案,方案一:非会员购物,所有商品可享九五折优惠;方案二:若支付200元会员费成为该商场会员,则所有商品可享九折优惠.
(1)以x(元)表示商品价格,y(元)表示支出金额,分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式.
(2)若某人计划在该商场购买价格为6 000元的电视机一台,请分析选择哪种方案更省钱.
解:(1)方案一:y=0.95 x;
方案二:y=0.9x+200.
(2)当x=6 000时,方案一:y=0.95×6 000=5 700;
方案二:y=0.9×6 000+200=5 600.
∵5 700>5 600.∴选择方案二更省钱.
9.某机动车出发前油箱内有油42 L,行驶若干小时后,在途中加油站加油若干升.油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图,根据图象回答问题:
(1)机动车行驶几小时后加油 加了多少油
(2)试求加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t之间的解析式.
(3)如果加油站离目的地还有230 km,车速为40 km/h,要到达目的地,油箱中的油是否够用 请说明理由.
解:(1)由图象知,5小时后加油,加油36-12=24(L).
(2)观察图象,发现机动车5小时耗油42-12=30(L),
每小时耗油30÷5=6(L),
∴加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t之间的解析式为Q=42-6t.
(3)够用.理由如下:
由图象知,加油后,机动车还能行驶时间:11-5=6(h),
6×40=240(km),240>230,故油够用.
