(共12张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
1.互逆命题:如果两个命题的题设、结论正好 ,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的 .
2.互逆定理:如果一个定理的 经过证明是正确的,它也是一个 ,则称这两个定理互为逆定理.
3.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.
c不一定表示直角三角形的斜边.
相反
逆命题
逆命题
定理
a2+b2=c2
知识点一 互逆命题、互逆定理
1.下列命题中,其逆命题为真命题的是( )
A.对顶角相等
B.若a=b,则|a|=|b|
C.内错角相等,两直线平行
D.若ac22.命题“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是 ,
,它是
命题.
C
在直角
三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°
真
3.写出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假.
(1)如果|a|=|b|,那么a=b.
(2)如果a>0,那么a2>0.
(3)同位角相等,两直线平行.
解:(1)逆命题为如果a=b,那么|a|=|b|.
原命题为假命题,逆命题为真命题.
(2)逆命题为如果a2>0,那么a>0.
原命题为真命题,逆命题为假命题.
(3)逆命题为两直线平行,同位角相等.
原命题和逆命题都是真命题.
名师点睛
分清原命题的题设与结论是写出逆命题的前提,原命题正确,它的逆命题不一定正确.
知识点二 勾股定理的逆定理
4.(2023保定雄县期中)由下列各组线段围成的三角形中,是直角三角形的是( )
A.1,2,2 B.2,3,4
C.1,, D.2,,
5.在△ABC中,AB=1,AC=,BC=2,则这个三角形是 .(填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”)
C
直角三角形
6.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形:
(1)在△ABC中,AB=12,BC=16,AC=20.
(2)一个三角形三边长之比为7∶24∶25.
(3)一个三角形三边长a,b,c满足a2-b2=c2.
解:(1)∵122+162=202,
∴三边长分别为12,16,20的三角形是直角三角形.
(2)∵三角形三边长之比为7∶24∶25,
设三边长分别为7x,24x,25x,则(7x)2+(24x)2=(25x)2,
∴边长之比为7∶24∶25的三角形是直角三角形.
(3)∵a2-b2=c2,∴a2=b2+c2,故是直角三角形.
名师点睛
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形,因此,在一些实际问题中,要抽象出三角形及三边的长度,从而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
【基础过关】
1.下列命题,其逆命题是假命题的是( )
A.四边形是多边形
B.内错角相等,两直线平行
C.直角三角形的两个锐角互余
D.有两边相等的三角形是等腰三角形
2.在下列定理中,没有逆定理的是( )
A.有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B.直角三角形两个锐角互余
C.全等三角形对应角相等
D.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
A
C
3.已知在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A-∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.(b+c)(b-c)=a2
D.a=7,b=24,c=25
4.命题“如果两个角都是平角,那么这两个角相等”的逆命题是 .
.
B
如果两个角相等,那么
这两个角都是平角
5.已知三角形三边长为a,b,c,如果+|b-8|+(c-10)2=0,那么△ABC是 三角形.
母题变式
已知在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若a,b满足b=++12,c=13,则S△ABC= .
6.如图,在四边形ABCD中,AB=5,BC=3,DE⊥AC于E,DE=3,S△DAC=6,则∠ACB的度数等于
.
直角
30
90°
7.写出下列命题的逆命题,并判断是真命题,还是假命题.
(1)如果a+b=0,那么a=0,b=0.
(2)等角的余角相等.
(3)如果一个数的平方是9,那么这个数是3.
解:(1)逆命题:如果a=0,b=0,那么a+b=0.此逆命题为真命题.
(2)逆命题:如果两个角的余角相等,那么这两个角也相等.此逆命题为真命题.
(3)逆命题:如果一个数是3,那么这个数的平方是9.此逆命题为真命题.
【素养闯关】
8.(2023邢台期中)如图,网格中每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,D都在小正方形的顶点上.
(1)线段AB的长为 .
(2)若EF=,则AB,CD,EF三条线段首尾顺次相接 (填“能”或“不能”)构成直角三角形.
2
能
9.如图,在长方形ABCD中,AB=24,AD=50,E是AD上一点,且AE∶ED=9∶16.
(1)求BE,CE的长.
(2)判断△BEC的形状,并说明理由.
解:(1)∵AD=50,AE∶ED=9∶16,
∴AE=18,DE=32.
∵AB=24,
∴BE==30,CE==40.
(2)△BEC是直角三角形.理由如下:
∵BE=30,CE=40,BC=AD=50,∴BE2+CE2=BC2,
∴△BEC是直角三角形.(共4张PPT)
小专题集训二 利用勾股定理
解决最短路径问题
类型一 平面中的最短路径问题
1.(2023无锡中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=30°,∠ADC=60°,BC=CD=2,若线段MN在边AD上运动,且MN=1,则BM2+2BN2的最小值是( )
A. B.
C. D.10
2.如图,在等边三角形ABC中,D是BC的中点,E是AB的中点,H是AD上任意一点.如果AB=AC=BC=10,那么HE+HB的最小值是 .
B
5
类型二 几何体中的最短路径问题
3.如图,在长为3,宽为2,高为1的长方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B,那么它爬行的最短路程是( )
A. B.3
C.2 D.
4.(2023唐山丰润区期中)如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条长16 cm的直吸管露在罐外部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A.4≤a≤5 B.3≤a≤4
C.2≤a≤3 D.1≤a≤2
B
B
类型三 阶梯问题
5.如图,台阶阶梯每一层高20 cm,宽30 cm,长50 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B,最短路程是 cm.
6.如图,有一个四级台阶,它的每一级的长、宽分别为18 dm,4 dm.
(1)如果给台阶表面8个长方形区域铺上定制红毯,需要定制红毯的面积为432 dm2,那么每一级台阶的高为多少
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点,台阶角落点A处有一只蚂蚁,想到台阶顶端点C处去吃美味的食物,则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少
50
解:(1)设每一级台阶的高为x dm,
根据题意,得18×(4+x)×4=432,解得x=2.
答:每一级台阶的高为2 dm.
(2)四级台阶平面展开图为长方形,两边分别为18 dm,(2+4)×4=24(dm),
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到点C的最短路程是此长方形的对角线长.
由勾股定理,得AC==30(dm).
答:蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30 dm.(共13张PPT)
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用(1)
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤
(1)将实际问题转化为数学问题.
(2)明确已知条件及结论.
(3)利用 定理解答,并确定实际问题的答案.
勾股
知识点一 应用勾股定理解决物高问题
1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处,旗杆折断之前的高度是( )
A.5 m B.12 m
C.13 m D.18 m
2.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3 m 的门,他先横着拿,进不去,又竖起来拿,结果竿比门高1 m,当他把竿斜着时,两端刚好顶着门的对角,问:竹竿长多少
名师点睛
勾股定理在实际生活中应用很多,当已知直角三角形的一边与另一边的关系,求直角三角形的另两边时,可设未知数,根据勾股定理建立方程,通过解方程解决问题.
解:设竹竿高x m,门高(x-1)m,
根据题意,得x2=(x-1)2+32 ,
解得x=5.答:竹竿长5 m.
D
知识点二 应用勾股定理解决距离问题
3.(2023霸州期中)如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行( )
A.6米
B.8米
C.10米
D.12米
C
4.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m,与公路上另一停靠站B的距离为400 m,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250 m范围内不得进入,问在进行爆破时,AB段公路是否有危险而需要暂时封锁 请通过计算进行说明.
名师点睛
利用勾股定理解应用题的三步骤:
(1)根据题意,画出图形.
(2)分析题目中的数量关系,数形结合,正确标图,将已知条件体现到图形中.
(3)在适当的直角三角形中应用勾股定理进行计算或建立等量关系,列出方程,解决问题.
解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,
∵BC=400 m,AC=300 m,∠ACB=90°,
∴根据勾股定理,得AB==500 m.
∵AB CD=BC AC,∴CD=240 m.
∵240 m<250 m,故有危险,∴AB段公路需要暂时封锁.
【基础过关】
1.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4 m,高3 m,长20 m,棚的斜面用塑料布遮盖,不计墙的厚度,则阳光透过的最大面积为( )
A.80 m2 B.100 m2
C.140 m2 D.150 m2
2.如图,书架上放了四个文件夹,已知∠ACB=90°,AC=24 cm,BC=7 cm,则AB的长是
( )
A.20 cm B.23 cm
C.25 cm D.27 cm
B
C
3.如图,一棵大树在离地面3 m,5 m 两处折成三段,中间一段AB恰好与地面平行,大树顶部落在离大树底部6 m处,则大树折断前的高度是( )
A.9 m B.14 m
C.11 m D.10 m
4.(2022石家庄赞皇期中)如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地AB=2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则人头顶离感应器的距离AD等于( )
A.1.2米 B.1.5米
C.2.0米 D.2.5米
D
B
5.(2023东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
6.(2022石家庄晋州期末)如图,一人在离水面高度为5 m的岸边C处,用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m.
(1)开始时,船距岸A的距离是 m.
(2)若此人收绳5 m后,船到达D处,则船向岸A移动 m.
50
12
(12-)
7.“交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街道直道上行驶,某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方30 m C处,过了2 s后,测得小汽车所在地B处与车速检测仪距离为50 m,请问这辆小汽车超速了吗
解:根据题意,得AC=30 m,AB=50 m,∠C=90°.
在Rt△ACB中,根据勾股定理,
得BC2=AB2-AC2=502-302=402,∴BC=40 m.
小汽车2 s行驶40 m,则1 h行驶40×30×60=72 000 m,
即小汽车行驶速度为72 km/h,
∵72>70,∴小汽车超速了.
【素养闯关】
8.如图,小巷左、右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离为1.5 m,则小巷的宽为( )
A.2 m
B.2.5 m
C.2.6 m
D.2.7 m
D
9.如图,城心公园的著名景点B在大门A的正北方向,游客可以从大门A沿正西方向行至景点C,然后沿笔直的赏花步道到达景点B;也可以从大门A沿正东方向行至景点D,然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E,继续沿正北方向行至景点B(点A,B,C,D,E在同一平面内),其中AC=500米,BC=1 300米,AD=600米,BE=400米.
(1)求A,B两点的距离.
(2)为增强游客的游览体验,提升公园品质,将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F,且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE,求玻璃廊桥AF的长.
解:(1)在Rt△ABC中,∠CAB=90°,
由勾股定理,得AB===1 200(米),
∴A,B两点的距离为1 200米.
(2)∵BE=400米,AB=1 200米,∴AE=800米.
在Rt△ADE中,∠EAD=90°,
由勾股定理,得DE===1 000(米),
由面积法,得AD·AE=DE·AF,
∴AF===480(米),∴玻璃廊桥AF的长为480米.
10.(阅读理解题)阅读下列材料,并解答其后的问题:我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数书九章》中,利用“三斜求积术”十分巧妙地解决了已知三角形三边求其面积的问题,这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的.我们也称这个公式为“海伦-秦九韶公式”,该公式是:设在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为
S=.
(1)【举例应用】已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=7,则△ABC的面积为 .
(2)【实际应用】有一块四边形的草地如图所示,现测得AB=(2+4)m,BC=5 m,CD=7 m,AD=4 m,∠A=60°,求这块草地的面积.
4
解:过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接BD,如图.
在Rt△ADE中,∵∠A=60°,
∴∠ADE=30°,∴AE=AD=2,
∴BE=AB-AE=2+4-2=4,
DE===6,
∴BD===2.
∴S△BCD=5,
∵S△ABD=AB·DE=×(2+4)×6=12+24.
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12+24+5.
答:该块草地的面积为(12+24+5)m2.(共9张PPT)
第十七章回顾与提升
考点一 勾股定理及其应用
1.(2023唐山丰南区期中)如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,则BC边上的高为( )
A. B.
C. D.
C
2.(2022保定竞秀区期末)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边长,向外作四个正方形,面积分别为S1,S2,S3和S4.若S1=1,S2=4,S3=3,则S4的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC上一点,AD=BD,若AB=5,AC=3,则CD= .
B
4.(2023唐山丰润区期中)有一架秋千,当它静止时,踏板离地垂直高度DE=0.5 m,将它往前推送2 m(水平距离BC=2 m)时,秋千踏板离地的垂直高度BF=1.5 m,秋千的绳索始终拉得很直.
(1)求绳索AD的长.
(2)若将秋千往前推送1.5 m(水平距离BC=1.5 m),求秋千踏板离地的垂直高度BF.
解:(1)由题意可知,CE=BF=1.5 m,BC=2 m,
∵DE=0.5 m,∴CD=CE-DE=1.5-0.5=1(m).
设AD=AB=x m,则AC=(x-1)m.
∵BC⊥AE,∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即22+(x-1)2=x2,解得x=2.5,
答:绳索AD的长是2.5 m.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===2(m),
∴CD=AD-AC=2.5-2=0.5(m),
∴BF=CE=CD+DE=0.5+0.5=1(m).
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
5.a,b,c为直角三角形的三边,且c为斜边,h为斜边上的高,下列说法中正确结论的个数是( )
①a2,b2,c2能组成三角形;
②,,能组成三角形;
③c+h,a+b,h能组成直角三角形;
④,,能组成直角三角形.
A.1 B.2 C.3 D.4
B
6.如图,已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上一点,且CD=16 cm,BD= 12cm.
(1)求证:CD⊥AB.
(2)求该三角形的腰长.
(1)证明:BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,
∴BD2+CD2=BC2.∴∠BDC=90°,即CD⊥AB.
(2)解:设腰长为x cm,则AD=(x-12)cm.
由勾股定理可知AD2+CD2=AC2,
即(x-12)2+162=x2,
解得x=,∴腰长为 cm.
7.(实际应用题)某县辖A,C,D三镇在一条直线上,相互两镇间的公路里程如图所示,由于大山阻隔,原来从A,C两镇去D镇都需绕到B镇前往.为了发展经济,缩短A,C两镇到D镇的路程,现决定开凿隧道修通A,C两镇直达D镇的公路AD.请问公路修通后从A镇去D镇比原来缩短路程多少千米 (数据=32,≈46.65供选用)
解:∵AC2+AB2=102+242=100+576=676,
BC2=262=676.
∴AC2+AB2=BC2.由勾股定理的逆定理,得∠BAC=90°.
∴∠BAD=180°-∠BAC=90°.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AD====32(km).
24+40-32=32(km).
∴公路修通后从A镇去D镇比原来缩短路程32 km.
1.(不理解勾股数的概念致误)下列各组数中,是勾股数的一组是( )
A.6,7,8 B.5,12,13
C.0.6,0.8,1 D.2,4,5
2.(忽视对具体问题的讨论致误)在直角三角形中,两边长分别为6,8,那么第三条边长为
.
3.(忽视直角边和斜边的区别致误)在△ABC中,a=5,b=13,c=12,试判断△ABC是不是直角三角形.
A
10或2
解:∵在△ABC中,a=5,b=13,c=12,∴a2+c2=b2,
∴△ABC是以b为斜边的直角三角形.(共14张PPT)
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1.勾股数:能够成为直角三角形三条边长的三个 ,称为勾股数.
2.求直角三角形某边长度用 ;判断某三角形是否为直角三角形用 .
正整数
勾股定理
勾股定理的逆定理
知识点一 勾股数
1.在下列长度的各组线段中,是勾股数的一组是( )
A.0.3,0.4,0.5 B.6,8,10
C.4,5,6 D.,,1
2.将勾股数3,4,5扩大2倍、3倍、4倍、…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20,
…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数.请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数: .
B
①5,12,13;②7,24,25 (答案不唯一)
3.已知m>0,若3m+2,4m+8,5m+8是一组勾股数,求m的值.
解:易知3m+2<4m+8<5m+8.
由题意得(3m+2)2+(4m+8)2=(5m+8)2,
解得m=1.
名师点睛
判断一组数是否为勾股数的步骤:
(1)判断三个数是不是正整数.
(2)找出最大数.
(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方.
知识点二 勾股定理的逆定理的应用
4.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列选项正确的是( )
5.如图,某海域有相距10海里的两个小岛A和C,甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛,然后再从B岛走了6海里到达C岛,此时甲船位于B岛的( )
A.北偏东20°方向上
B.北偏西20°方向上
C.北偏西30°方向上
D.北偏西40°方向上
C
B
母题变式
(教材P33例2变式)(2023保定顺平期末)甲、乙两艘客轮同时离开港口O,航行的速度都是40 m/min,甲客轮用15 min到达点A,乙客轮用20 min到达点B,若A,B两点的直线距离为1 000 m,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行,求乙客轮的航行方向.
解:甲的路程:40×15=600(m),乙的路程:20×40=800(m).
∵6002+8002=1 0002,
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.
∵甲客轮沿着北偏东30°,
∴乙客轮的航行方向是南偏东60°.
名师点睛
由边长判定一个三角形为直角三角形,实质上是运用代数方法解决几何问题,即用三角形边长之间的数量关系判断三角形的形状.
【基础过关】
1.在下列四组数中,不是勾股数的一组数是( )
A.a=15,b=8,c=17 B.a=9,b=12,c=15
C.a=7,b=24,c=25 D.a=3,b=4,c=7
2.在一根长为30个单位的绳子上,依次分别标出A,B,C,D四个点,它们将绳子分成长为5个单位、12个单位和13个单位的三条线段.自己的一只手握绳子的两个端点(点A和点D),两个同伴分别握住点B和点C,将绳子拉直会得到一个( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能组成三角形
D
A
3.(2023泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
4.若8,a,17是一组勾股数,则a= .
C
15
5.(2022石家庄桥西区校级期末)如图,点A,B,C分别在边长为1的正方形网格顶点上,则∠ABC= .
母题变式
如图,在正方形网格中,每一小格的边长为1.P,A,B均为格点.
(1)AP= .
(2)点B到直线AP的距离是 .
(3)∠APB= .
45°
135°
6.(2022石家庄裕华区期末)如图,把一块直角三角形ABC(其中∠ACB=90°)土地划出一个△ADC后,测得CD=3米,AD=4米,BC=12米,AB=13米.
(1)根据条件,求AC的长度.
(2)判断△ACD的形状,并说明理由.
(3)求图中阴影部分土地的面积.
解:(1)∵∠ACB=90°,BC=12米,AB=13米,
∴AC===5(米).
(2)△ACD是直角三角形.
理由如下:∵CD=3米,AD=4米,AC=5米,
∴AD2+CD2=AC2=25,∴∠ADC=90°,
∴△ACD是直角三角形.
(3)S阴影=S△ABC-S△ACD=AC·BC-AD·CD =×5×12-×4×3 =30-6=24(平方米).
7.以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5).类似地,还可得到下列勾股数组(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.
(1)根据上述4个勾股数组的规律,写出第6个勾股数组.
(2)用含n(n≥2且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律,并证明.
解:(1)上述4个勾股数组的规律是32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262,
即(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2(n≥2,且n为整数),所以第6个勾股数组为(48,14,50).
(2)勾股数组为(n2-1,2n,n2+1).
证明如下:(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
【素养闯关】
8.(2023济宁中考)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于
( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
C
9.如图,四边形ABCD的三条边AB,BC,CD和BD都为5 cm,动点P从点A出发沿A→B→D以2 cm/s的速度运动到点D,动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8 cm/s的速度运动到点A.若两点同时开始运动,运动 5 s 时,P,Q相距3 cm.试确定两点运动5 s时,△APQ的形状.
解:运动5 s时,动点P运动的路程为2×5=10(cm),
即点P运动到点D(点P与点D重合),
动点Q运动的路程为2.8×5=14(cm),
∵DC=BC=BA=5 cm,
∴点Q在BA上,且BQ=14-10=4(cm).
在△BPQ中,∵BP=5 cm,BQ=4 cm,PQ=3 cm,
∴BQ2+PQ2=42+32=25=BP2,
∴△BPQ是直角三角形,且∠BQP=90°,
∴∠AQP=180°-90°=90°,
∴两点运动5 s时,△APQ是直角三角形.
10.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A驶向点B,已知点C为一海港,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300 km和400 km,且点A,B的距离为500 km,以台风中心为圆心,周围250 km以内为受影响区域.
(1)海港C受台风影响吗 为什么
(2)若台风的移动速度为20 km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长.
解:(1)海港C受台风影响.理由如下:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC=300 km, BC=400 km, AB=500 km,∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴S△ABC=AC·BC=AB·CD,
∴300×400=500CD,∴CD=240(km).
∵以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域,
∴海港C受到台风影响.
(2)当EC=250 km,FC=250 km时,正好影响海港C.
∵ED=FD==70(km),∴EF=140 km,140÷20=7(h).
即台风影响该海港持续的时间为7 h.(共12张PPT)
17.1 勾股定理
第1课时 勾股定理及证明
1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 .即两直角边的 等于斜边的 .
2.勾股定理的验证
勾股定理的验证方法比较多,最常用的方法为拼图法(割补法).
a2+b2=c2
平方和
平方
面积
之和
知识点一 运用勾股定理求直角三角形的边长
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AB=1,则AC的长为 .
2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对应的边长分别为a,b,c,∠C=90°.
(1)若a=6,b=8,求c.
(2)若a=5,c=13,求b.
(3)若c=34,a∶b=8∶15,求a和b.
名师点睛
运用勾股定理求第三边的长的过程为“一分二代三化简”.一分:分清斜边与直角边;二代:代入a2+b2=c2或变形式;三化简.若题目中的条件找不到斜边,则需要运用分类讨论思想求解.
解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴c====10.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴b====12.
(3)∵a∶b=8∶15,∴可设a=8k,b=15k,其中k>0.
在Rt△ABC中,∠C=90°,c=34,
∴(8k)2+(15k)2=342,解得k=2.
∴a=8k=8×2=16,b=15k=15×2=30.
知识点二 勾股定理的验证
3.(2022保定莲池区校级期末)如图,两个较大正方形的面积分别为576,625,则字母A所代表的正方形的边长为( )
A.1 B.49
C.16 D.7
4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=15,AC=17,以AB为直径作半圆,则此半圆的面积为
.
D
名师点睛
以直角三角形三边为基础,向外作半圆、正方形或等边三角形,它们都具有相同的结论,即斜边为基础所作的图形面积等于两直角边所作图形面积的和.
8π
【基础过关】
1.(2023衡水景县期中)两个边长分别为a,b,c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形,用两种不同的计算方法计算这个图形的面积,则可得等式为( )
A.(a+b)2=c2
B.(a-b)2=c2
C.a2-b2=c2
D.a2+b2=c2
D
2.(2023张家口模拟)在证明勾股定理时,甲、乙两位同学分别设计了方案:
甲:如图,用四个全等的直角三角形拼成,其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形,通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明;
乙:两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点F在BC边上,顶点C,D重合,通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明.
对于甲、乙两种方案,下列判断正确的是( )
A.甲、乙均对
B.甲对,乙不对
C.甲不对,乙对
D.甲、乙均不对
A
3.直角三角形有一条直角边为6,另两条边长是连续偶数,则该三角形周长为( )
A.20 B.22
C.24 D.26
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC-AC=2 cm,AB=10 cm,则Rt△ABC的面积是( )
A.24 cm2 B.36 cm2
C.48 cm2 D.60 cm2
C
A
5.若实数m,n满足|m-3|+=0,且m,n恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角形的斜边长为 .
6.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 .
5或4
图1 图2
76
7.如图是证明勾股定理的一种方法:用4个全等的直角三角形拼成一个图形,请你利用面积法证明勾股定理的真实性.
证明:∵大正方形的面积可以表示为(a+b)2,
也可以表示为c2+4×ab,
∴(a+b)2=c2+4×ab,
即a2+b2+2ab=c2+2ab.
∴a2+b2=c2.
8.如图,在长方形ABCD中,F是BC的延长线上一点,且BC=CF=5,连接AF,DF,若DF=,则AF的长度为多少
解:在Rt△CDF中,DF=,CF=5,
∴CD===2,
则AB=CD=2,
在Rt△ABF中,AB=2,BF=BC+CF=5+5=10,
∴AF===4.
【素养闯关】
9.(2023日照中考)已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内.如图,设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则( )
A.S1>S2 B.S1C.S1=S2 D.S1,S2大小无法确定
10.在△ABC中,AB=17,AC=10,高AD=8,则△ABC的周长是( )
A.54 B.44
C.36或48 D.54或33
11.如图,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,E是CD的中点,
若BC=5,AD=10,BE=,则AB的长是 .
C
C
12
12.(教材P29习题T14变式)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.求证:AD2+BD2=DE2.
证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE.
∴∠BCD=∠ACE.
∵BC=AC,DC=EC,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴AE=BD,∠B=∠CAE.
∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45°.∴∠CAE=45°.
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°.
在Rt△ADE中,根据勾股定理,得AD2+AE2=DE2,
∴AD2+BD2=DE2.(共10张PPT)
17.1 勾股定理
第3课时 勾股定理的应用(2)
1.有理数和无理数都可以在数轴上表示出来,即 和数轴上的点是一一对应的.
2.平面图形问题从所给的问题中找出或构造 三角形,根据 列式计算.
3.立体图形问题是将立体图形转化为 ,根据已知条件构造直角三角形,借助勾股定理求斜边长.
实数
直角
勾股定理
平面图形
知识点一 勾股定理与无理数
1.将一个长为2,宽为1的长方形ABCD按如图方式放在数轴上,使点A与原点O重合,若以点O为圆心,AC长为半径画圆,则这个圆与数轴的交点所表示的数是( )
A. B.-
C.± D.±2.5
2.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
C
D
3.如图,在数轴上画出表示的点.
解:(1)在数轴上找出表示4的点B.
(2)过点B作直线l垂直于OB,在直线l上截取BC=1.
(3)以原点O为圆心,以OC为半径作弧,弧与数轴交于点A.
如图,点A即为所求.
名师点睛
作长为的线段的方法:把n写成n=a2+b2(a,b为正整数)的形式,然后作两条直角边,使两条直角边长分别为a,b,则斜边长为.
知识点二 勾股定理与图形的计算
4.(2023黄骅一模)在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠EFD=90°,∠BAC=∠E=30°,BC=4,
DF=1,点F与点B重合,将△DEF沿BA方向平移,得到△D'E'F',当平移距离为5时,连接AE',则AE'的长度为( )
A. B.
C.2 D.2
5.如图,在 Rt△ABC中,AB=6,BC=4,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D 重合,折痕为MN,则线段BN的长为( )
A. B. C. D.5
D
C
6.(教材P27练习T2变式)如图,已知等边三角形ABC的两个顶点坐标分别为 A(-4,0),
B(2,0),CH⊥AB于点 H,试求点 C的坐标和△ABC的面积.
解:∵A(-4,0),B(2,0),∴OB=2,AB=6.
∵△ABC是等边三角形,CH⊥AB,
∴AC=6,AH=BH=3,∴OH=BH-OB=1.
根据勾股定理,得CH==3.
∴C(-1,3),
S△ABC=AB·CH=×6×3=9.
【基础过关】
1.如图,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )
A.+1 B.-+1
C.-1 D.
母题变式
如图,以数轴上的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数1的点为圆心、正方形的对角线长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是( )
A.- B.1-
C.-1+ D.-1-
C
B
2.(2023保定雄县期末)如图,在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中,标记格点A,B,C,D,则下列线段长度为的是( )
A.线段AB B.线段BC
C.线段AC D.线段BD
3.(2023张家口宣化区期中)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2,且∠AOB=30°,则OC的长度为( )
A.2 B.2
C.4 D.2
B
D
4.(2023保定定州期末)如图是一个滑梯示意图,左边是楼梯,右边是滑道,已知滑道AC与AE的长度一样,滑梯的高度BC=4 m,BE=1 m.则滑道AC的长度为 m.
8.5
【素养闯关】
5.在平面直角坐标系中,点D的坐标为(5,0),点P在第一象限且点P的纵坐标为3,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .
6.如图,4×4方格纸上每个小正方形的边长都为1.
(1)在方格纸上画一个面积为8的正方形(四个顶点都在格点上).
(2)用圆规在数轴上找出表示的点(保留作图痕迹).
(1,3)或(4,3)或(9,3)
解:(1)如图所示,正方形ABCD的边长为=2,
∴正方形ABCD的面积为(2)2=8,
则正方形ABCD即为所求.
(2)图中的点E是表示的点.
