2024～2025 学年度第一学期期末重点校联考
高三数学参考答案
一、选择题（本题共 9小题，每题 5分，共 45 分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答 案 B D B B A C C D D
二、填空题（本题共 6小题，每题 5分，共 30 分，双空只对 1个空得 3分）
1 5
10． ； 11． ； 12． 6 ；
2 2
11 5 2
13 , 4 5． ； 14． ， ； 15． ( , 8) 8，0 0， .
250 11 3 3
三、解答题（本题共 5小题，共 75 分）
16．（本小题满分 14分）
解：（Ⅰ）因为 2a cos A b cosC c cos B．
由正弦定理得 2sin A cos A sin BcosC sinC cosB sin B C ．
又因为 A B C π，所以 sinA sin B C ，
从而得 2sinA cosA sinA． ……………………2分
又因为 sin A 0，
因此 cosA
1
，
2
又因为 A (0, )，
所以 A
π
． ……………………4分
3
（Ⅱ）因为VABC的面积为12 3，
即 S
1
bcsinA 12 3，
2
所以bc 48 ①． ……………………5分
b2 c2 a2 1
又由余弦定理 cosA ，a 2 13，
2bc 2
得b2 c2 100 ②． ……………………6分
因为b c．由①②解得b 8， c 6． ……………………8分
重点校期末高三数学参考答案 第 1 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}
cosB a
2 c2 b2 13
（Ⅲ）由余弦定理得 ，
2ac 13
sin B 1 cos2 B 2 39所以 ……………………10分
13
11
sin 2B 2sin BcosB 4 3 ， cos 2B 2cos2 B 1 ，
13 13
……………………12分
cos 2B A cos2BcosA sin2BsinA 23
26 ． ……………………14分
17．（本小题满分 15分）
解：（Ⅰ）依题意，以 A为原点，分别以 AB, AD, AE的方向为 x轴，y轴，z轴
正方向建立空间直角坐标系 A xyz (如图)，
可得 A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2, 4,0 ,D 0, 2,0 ,E 0,0, 4 ，F 2,4,2 .
……………………1分
因为 AE 平面 ABCD，且 AB 平面 ABCD，
所以 AE AB，
又 AD AB，且 AD AE A，
所以 AB 平面 ADE，
故 AB 2,0,0 是平面 ADE的一个法向量， ……………………3分
又 BF 0,4,2 ，
所以 BF AB 0， ……………………4分
又因为 BF 平面 ADE
所以 BF //平面 ADE . ……………………5分
（注：其他方法平行给分）
重点校期末高三数学参考答案 第 2 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}
m BD
（Ⅱ）设m x, y, z 为平面 BDF的一个法向量，则
0
，
m BF 0
又 BD 2,2,0 ， BF 0,4,2
x y 0
所以
2y z
.
0
不妨令 y=1，可得m 1,1, 2 . ……………………7分
又因为 AB 2,0,0 是平面 ADE的一个法向量
设平面 ADE与平面 BDF夹角为
AB m 1 2 6
则 cos cos AB,m
AB m 2 12 12 2 2 6
所以平面 ADE与平面 BDF 6夹角的余弦值为 .
6
（设角和结论至少写其一，否则扣 1分） ……………………10分
（Ⅲ）因为 EB 2,0, 4 ,m 1,1, 2
d EB m 1 2 4 2 5 6所以点 E到平面 BDF 的距离
m 6 3
……12分
在 BDF中：BD 2 2，DF 2 3 ,BF 2 5
所以 BD2 DF 2 BF 2
所以 BDF 90
S 1所以 BDF BD DF 2 6 ……………………14分2
1 20
所以四面体 B-DEF体积VB-DEF VE -BDF S3 BDF
d
3
……………………15分
（注：其他方法平行给分）
18．（本小题满分 15分）
解：（Ⅰ）∵ AB AF1 BF1 8
所以 4a 8,a 2 . ……………………1分
1 c 1
又因为 e ，即 ，所以c 1， ……………………2分
2 a 2
所以b a2 c2 3 . ……………………3分
x2 y2
故椭圆 E的方程为 1 . ……………………4分
4 3
重点校期末高三数学参考答案 第 3 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}
3
（Ⅱ）由题得： P(1, )
2
设直线 AB为： y k x 1 3，直线 l为： y k x 1 (k 0)
2
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
x2 y2
1,
由 4 3 消去 y，得 3 4k 2 x2 8k 2x 4k 2 12 0，
y k x 1 ,
2 2
则 x1 x2 8k3 4k 2 ， x x
4k 12
1 2 ， ……………………6分3 4k 2
x2 y2
1, 4 3
由 消去 y，得 3 4k 2 x2 8k 2 12k x 4k 2 12k 3 0，
y 3 k x 1 , 2
由 0
1
，可知k ，（此步不写扣1分，若求出k后验证 0，则不扣分）
2
3
设Q x3, y3 ，又 P 1,
2
，
x 8k
2 12k 4k 2 12k 3
则 3 1 2 ， x3 1 . ……………………9分3 4k 3 4k 2
因为四边形 PABQ为平行四边形，
x1 x3 x2 1所以 ，
2 2
即 x1 x2 1 x3， ……………………10分
故 x1 x2
2 4x1x2 1 x
2
3 .
2 2 2 2 2 8k 4 4k 12 1 4k 12k 3
所以 3 4k 2
.
3 4k
2 3 4k 2
k 3得 4 . ……………………12分
此时直线 AB为：3x 4y 3 0，直线 l为：3x 4y＋3 0，
d= 3 3 6两平行线距离
32 42 5
AB = 1+k 2 (x 2又因为 1 x2 ) 4x1x
25
2 7 ……………………14分
所以四边形 PABQ S=
6 25 30
的面积 5 7 7
重点校期末高三数学参考答案 第 4 页（共 8 页）
{#{QQABDY4AoggAABAAARhCEQWgCACQkAEAAQgGQBAQIAIAyAFABAA=}#}
所以存在直线 l，使得四边形 PABQ为平行四边形，此时四边形 PABQ的
30
面积为
7
（注：其他方法平行给分） ……………………15分
19．（本小题满分 15分）
a1a2
解：（Ⅰ）由 a1 1, S1 a1 2 a2 a1 ，得
a2 2， ……………………1分
a a an 2 a S S n n 1
an 1an
当 时，由 n n n 1，得 n 2 an 1 an 2 a ，n an 1
整理得 anan 1 anan 1 2a
2
n
又因为 an 0
an 1 an 1 2an， ……………………3分
又因为 a2 a1 1
所以数列 an 是首项和公差均为 1的等差数列，
因此，数列 an 的通项公式为 an n n N* .…………………5分
（Ⅱ）（i）b a C1 a 2 3 nn 1 n 2Cn a3Cn anCn，
所以b 0C0n n 1C
1
n 2C
2
n 3C
3
n nC
n
n ，
b nCn n 1 Cn 1n n n 1C1 0n 0Cn，
0 1
两式相加可得 2bn n Cn Cn Cnn n 2n ,
bn n 2
n 1
故数列 b 的通项公式为b n 2n 1n n ； ……………………8分
所以T 1 20 2 21 3 22 n 2n 1n
又 2T 1 21n 2 2
2 3 23 L n 2n
将以上两式相减得
Tn 1 2
1 22 23 2n 1 n 2n 2n 1 n 2n (1 n)2n 1
所以T (n 1)2nn 1.（注：其他方法平行给分） ……………10分
2b
（ⅱ）由题， cn n 2
n
an
n cn 1
数列 dn 满足 d 1i ，
i 1 i 1 ai
n 2n 1
即 d 1i ，
i 1 i 1 i
重点校期末高三数学参考答案 第 5 页（共 8 页）
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则 d1 d d
1 1 1
2 n 1 2 3 2n 1，
所以 d1 d
1 1 1
2 dn 1 1 n 1 n 2 ，2 3 2 1
1 1 1 1
两式相减得 dn n 1 n 1 n 1 …………12分2 2 1 2 2 2n 1
1 1 1 1 2 n 1
所以 dn n 1 n 1 n 1 (2
n 1) 2n 1 1 1，2 2 2 2n 1 2n 1
……………………14分
当 n 1时， d1 1，所以 dn 1． ……………………15分
（注：其他方法平行给分）
20．（本小题满分 16分）
x
解：（Ⅰ） f x e m，
①当m 0， f x 0恒成立，无极值； ……………………1分
②当m 0时，令 f x 0，解得 x ln m ，
当 x ln m 时 f x 0，所以 f x 在 , ln m 单调递减；
当 x ln m 时 f x 0，所以 f x 在 ln m ，+ 单调递增.
所以 f x 极小值为 f (ln m ) m m ln m 1；无极大值.
……………………3分
综上，当m 0时， f x 无极值；
当m 0时， f x 极小值为 m m ln m 1，无极大值.
……………………4分
（Ⅱ）因为 f (x) g(x) 0对任意的 x 0, 恒成立，
ex即 mx ln x 1 1 0对任意的 x 0, 恒成立.
设 h x ex mx ln x 1 1，且 h(0) 0，
h x ex m 1 x h x ex m 1 ，令 ， ………5分
x 1 x 1
x ex 1则 1 x 2 在 x 0, 为增函数，且 0 0 ，
所以 x 0 1恒成立，即 x h x ex m 在 x 0, 单调递增，
x 1
其中 0 h 0 m 2， ……………………6分
重点校期末高三数学参考答案 第 6 页（共 8 页）
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若m 2，则 x h x 0恒成立，此时h(x)单调递增，又 h(0) 0，
所以 h(x) 0恒成立，
即 ex mx ln x 1 1 0在 x 0, 上恒成立，即结论成立；
……………………8分
若m 2，则 (0) 0，
又 ln m h ln m e ln m 1 1 m 0ln m 1 ln m 1 ，
故由零点存在性定理可知，在 0, ln m 内存在 x0，使得 x0 0，
（若直接写：当m 2时， (0) 0 .则存在 x0 0, ，使 x 0, x0 时
x h x 0，接下方答案，则不扣分）
当 x (0, x0 )时， x h x 0，所以h(x)单调递减，又 h(0) 0，
所以当 x (0, x0 )时， h(x) 0，即 f (x)+g(x) 0，不合题意，舍去；
综上：实数m的取值范围是 2, . （注：其他方法平行给分）
……………………10分
1
（Ⅲ）构造函数 t x ex 1 x x2， x 0，
2
t x ex 1 x，
令 v x t x ex 1 x，
则 v x ex 1，
当 x 0 v x ex时， 1 0恒成立，
所以 v x t x ex 1 x在 x 0上单调递增，
1
所以 t (x) t (0) 0，故 t x ex 1 x x2在 x 0单调递增，
2
t(x) t(0) 0，即ex 1 x
1
x2，……………………12分
2
构造函数u x ln x 2x 1 ， x 0，
x 2
1 2 x 2 2x x
2
u x 0
x 1 x 2 2 x ， 1 x 2 2
所以u x 在 x 0上为单调递增，
所以u x u 0 0，即 ln x 2x 1 ，……………………14分
x 2
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又因为 x 0时， ex 1 0， ln x 1 0 1， x x2 0 2x ， 0，2 x 2
所以 ex 1 ln x 1 x 1 x2 2x x2
2 x 2
，
即 x 0时， (ex 1)g(x) x2，
g(x) x
2
即 x 证毕. （注：其他方法平行给分） ………………16分e 1
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高三数学
出题学校：宝坻一中蓟州一中
第1卷（共45分）
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分)
1.已知集合U={x∈N|-1≤x≤5}，A={x∈R|x2-7x+12=0},B={2,3,5},
则C(AUB)=
A.{
B.{0,1
c.{0,-1}
D.{-1,0,1}
2.已知a,beR,则“分>1”是“a>6”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知具有线性相关关系的变量x,y,设其样本点为4(x,y)(i=1,2,3,…,8),
经验回归方程为=-2x+a,若∑x=40,立=-64，则à=
A.-2
B.2
C.-4
D.4
4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A.f(x)=Vx2-1
B.f(x)=lg(x-1)2
C.f(x)=In(Vx2+1-x)
D.f(x)=cosx+x2
e网
5.已知a=0.45,b=1ogo.50.4,c=0.54，则a,b,c三者的大小关系是
A.b>c>a
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>b>a
6.在数列{a}中，已知a1+an=5·2”,则{a}的前10项和为
A.310
B.682
C.3410
D.10230
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7.已知函数f(x)=√3sin2wx+cos2ox(w>0)的最小正周期为π，则下列说
法正确的是
A.0=2
B.f)关于点（否）对称
C.将函数()的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴
对称
D.f在区间[-引上的最大值为
8.
已知双商线C:兰茶-a>06>0,4为c的左顶点，范物线，16ax的
准线与x轴交于B,若在C的渐近线上存在点P，,使得∠APB=90°，则C的离
心率的取值范围为
9.六氟化硫，化学式为$F。,在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定
气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构
为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若
此正八面体的棱长为2，则下列说法正确的是
A.正八面体的体积为42
B.正八面体的表面积为83+4
C.正八面体的外接球体积为4m
D。正八面体的内切球表面积为
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