(共34张PPT)
第一节 一次方程（组）及其应用
■考点一 等式的性质
b±c
ac
b
c
第一节 一次方程（组）及其应用
■考点二 一次方程（组）的解法（常考）
步骤 具体做法 注意事项
去分母 方程两边同乘各分母的最小⑥______. （1）不要漏乘不含分母的项（尤其是常数项）；
（2）分子是一个整体，去分母后⑦______.
1.一元一次方程
定义：只含有④______ 个未知数，并且未知数的最高次数是⑤______ 的整式方程.
一般形式：ax+b=0（a≠0）.
解
法
步
骤
一
1
公倍数
加括号
第一节 一次方程（组）及其应用
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 括号前面是负号时，括号内各项均要变号.
移项 将含未知数的项移到方程 的一边，常数项移到另一边. 被移项要变号.
合并同类项 把方程化为 ax=b（a≠0）的 形式. 系数相加，不要漏掉符号，字母及其指数⑧ ______.
系数化为 1 方程两边同除以未知数的系 数或同乘未知数系数的倒数. 不要漏掉符号，分子、分母不要颠倒.
1.一元一次方程
解
法
步
骤
续表
不变
第一节 一次方程（组）及其应用
解的应用：若 x=m 是关于 x 的方程 kx+b=0 的解，则 km+b=0.
判断一个数是不是方程的解的方法：把这个数分别代入方程的两边，若方程的等号两边相等，则该数是方程的解；若方程的等号两边不相等，则不是方程的解.
1.一元一次方程
解
法
步
骤
续表
第一节 一次方程（组）及其应用
2.
二元一次
方程（组）
(1)二元一次方程
概念：含有⑨____ 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是⑩____ 的整式方程.
一般形式：ax+by=c（a，b，c 都是常数，且 a≠0，b≠0）.
（2）二元一次方程组
概念：一般地，含有相同未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程.
一般形式
a1x+b1y=c1，
a2x+b2y=c2.
两
1
第一节 一次方程（组）及其应用
2.
二元一次
方程（组）
（3）解的应用
若 是关于 x，y 的二元一次方程 ax+by=c 的解，则 am+bn=c；
若 是关于 x，y 的二元一次方程组 的解，
则
第一节 一次方程（组）及其应用
2.
二元一次
方程（组）
（4）解法
基本思路：二元一次方程组 一元一次方程.
方法
多适用于方程组中一个方程的常数项为 0 或某一个未知数的系数是 1 或-1 的情形.
把某个式子看成一个整体，用一个未知数去代替它，从而使问题得到简化，比较复杂的二元一次方程组就可以利用换元法简化方程.
代入消元法
加减消元法
多适用于方程组中两个方程的同一未知数系数相同或互为相反数的情形.
换元法
第一节 一次方程（组）及其应用
利用加减消元法解方程组时，给方程两边同乘一个数时，不要漏乘任何一项.
失分警示
使用加减消元法时，若遇到未知数系数不相同也不相反的情况时，可通过扩大适当的倍数变成系数相同或相反的两个方程，再用加减消元法求解.
满分备考
第一节 一次方程（组）及其应用
2.
二元一次
方程（组）
（5）三元一次方
程组的解法
解三元一次方程组的基本思想是“转化”，通过消元将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，通过求一元一次方程的解进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解.
第一节 一次方程（组）及其应用
一题串考点
已知方程
（1）若 y=1，补全解方程 的步骤：
去分母，得 ___________________；去括号，得 ____________；移项、合并同类项，得 ______________；系数化为 1，得 _________________；
（2）再给出一个二元一次方程 2x- ＝9 与已知方程构成方程组
3×2x-（x-1）＝-9
6x-x+1=-9
5x=-10
x=-2
第一节 一次方程（组）及其应用
补全用两种方法解这个方程组的步骤.
解法一：代入法 解法二：加减消元法
由①，可得 ________③， 由②，可得 ________④， 由③，可得 y=________⑤， 把⑤代入④，得 _______________，解得 ______，把 x=____代入⑤，可得 __________，解得 y=______，∴ 原方程组的解是 ________. 由①，可得 ________③，
由②，可得 _________④，
③+④，可得 _______，解得 _______，
把 x=_____ 代入③，可得 ______，
解得 y=________，
∴ 原方程组的解是 ________．
4x-y=18
5x+y=-9
4x-18
5x+（4x-18）=-9
x=1
1
y=4×1-18
-14
x＝1，
y＝-14
4x-y=18
5x+y=-9
9x=9
x=1
1
4×1-y=18
-14
x＝1，
y＝-14
第一节 一次方程（组）及其应用
■考点三 一次方程（组）的应用（常考）
1. 解题的一般步骤：
第一节 一次方程（组）及其应用
常见类型 基本关系 等积变换问题 变换前图形的面积（体积）=变换后图形的面积（体积） 和差倍分问题 较大量=较小量+多余量；总量=倍数×单份的量；大数=小数+大数与小数之差 行程问题 相遇问题
2. 常见类型
sAB
第一节 一次方程（组）及其应用
行程问题 追及问题
续表
sAC
t乙+t
第一节 一次方程（组）及其应用
行程问题 环形问题 环形追及：快者路程-慢者路程=环形周长
环形相遇：甲路程+乙路程=环形周长
航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度
工程问题 工作效率= 甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率（通常把工作总量看成单位“1”） 续表
第一节 一次方程（组）及其应用
销售问题 售价=标价×折扣；销售额=售价×销量；
利润=售价-进价；利润=进价×利润率
配套问题 如果 a 件甲产品和 b 件乙产品配成一套，那么甲产品数的 b 倍等于乙产品数的 a 倍，即 b×甲产品数=a×乙产品数
球赛积分问题 胜场数+平场数+负场数=总场数；胜场积分+平场积分+负场积分=总场积分
续表
第一节 一次方程（组）及其应用
数字问题 常间接设未知数，如十位、个位上的数字分别为 a，b 的两位数为 _______；百位、十位、个位上的数字分别为 a，b，c 的三位数为 _____________.
续表
10a+b
100a+10b+c
第一节 一次方程（组）及其应用
日历问题 （1）日历中的数量关系：每一横排相邻两个数字之差为1；每一竖排相邻两个数字之差为 _____；左上到右下相邻两个数字之差为 8；右上到左下相邻两个数字之差为 6； （2）日历中矩形框内的数量关系：落在矩形框内的 9 个数字，中间一个数字是这 9 个数字的平均值；矩形框内，每一横排、竖排、斜排，中间的数字都是它们的平均值.
续表
7
■题型一 一次方程（组）的解法（常考）
·题型解法·
第一节 一次方程（组）及其应用
例 1 ［2024·邢台模拟］对于题目：“若方程组 的解
且整式 A=（a-3）+（a2+□a-1），求：整式 A 的值．”小明化简求值时，将系数□看错了，他求得 A 的值为 0.小宇求的结果，与题的正确答案一样，A 的值为 6．
（1）小明将系数□看成的数是多少？
（2）化简整式 A．
第一节 一次方程（组）及其应用
第一节 一次方程（组）及其应用
解：（1）∵ 方程组 的解，
∴2×1+a=0，∴a=-2，∵0=（a-3）+（a2+□a-1），
∴（-2-3）+［（-2）2＋（-2）□-1］=0，∴□=-1，
∴ 小明将系数□看成的数是 -1；
（2）∵A=（a-3）+（a2+□a-1）=6，
∴（-2-3）+［（-2）２＋（-2）□-1］＝6，
∴□=-4，∴A=（a-3）+（a2-4a-1），
∴A=a-3+a2-4a-1，即 A=a2-3a-4．
x-y=p
2x+y=10
x=1,
y=a,
练习一 ［原创］用“△”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 a△b=a2b+a-b，如：1△3=12×3+1-3=1，若 2△x=x+6（其中 x 为有理数），则 x 的值为 _________.
练习二 ［2024·河北模拟］对于实数 a，b，定义关于“ ”的一种运算：a
b=2a+b，例如 3 4=2×3+4=10．
（1）求 4 （-3）的值；
（2）若 x （-y）=2，（2y） x=-1，求 x+y 的值．
第一节 一次方程（组）及其应用
2
第一节 一次方程（组）及其应用
解：（1）根据题中的新定义，得原式=2×4+（-3）=8-3=5；
（2）根据题中的新定义化简，得
①+②得 3x+3y=1，则 x+y= ．
2x-y=2①，
x+4y=-1②，
■题型二 一次方程（组）的解法（常考）
·题型解法·
第一节 一次方程（组）及其应用
例 2 ［2023·河北 20 题］某磁性飞镖游戏的靶盘如图所示．珍珍玩了两局，每局投 10 次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下.在第一局中，珍珍投中 A 区 4 次，B 区 2 次，脱靶 4 次．投中位置 A 区 B 区 脱靶．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中 A 区 k 次，B 区 3 次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了 13 分，求 k 的值．
第一节 一次方程（组）及其应用
3x
第一节 一次方程（组）及其应用
解：珍珍第一局的得分为 4×3+2×1+4×（-2）=6（分）；
（2）根据题意，得 k×3+3×1+（10-k-3）×（-2）=6+13，解得 k=6.
衍生一 变情境——由游戏到实际
甲、乙两城相距 800 km，一辆客车从甲城开往乙城，车速为 a（0＜a＜100） km/h，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为 90 km/h，设客车行驶时间为（t h）.
（1）当 t=5 时，客车与乙城的距离为 ________ km（用含 a 的代数式表示）；
（2）已知 a=70，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距 260 km.
①求客车与出租车相距 100 km 时客车的行驶时间；（列方程解答）
②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站 M 处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案：
第一节 一次方程（组）及其应用
（800-5a）
方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计.
方案二：在 M 处换乘客车返回乙城．试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？
第一节 一次方程（组）及其应用
第一节 一次方程（组）及其应用
解：（2）①设当客车与出租车相距 100 km 时客车的行驶时间是 t h.a：当客车和出租车没有相遇时，70t+90t+100=800，解得 t=4.375；b：当客车和出租车相遇后，70t+90t-100=800，解得 t=5.625.当客车与出租车相距 100 km 时客车的行驶时间是 4.375 h 或 5.625 h；
②小王选择方案二能更快到达乙城．
理由：设客车和出租车 x h 相遇，70x+90x=800，∴x=5，此时客车走的路程为 350 km，出租车走的路程为 450 km，
∴ 丙城与服务站 M 之间的距离为 350-260=90（km）.
第一节 一次方程（组）及其应用
方案一：小王需要的时间是（90+90+450）÷90=7（h）.方案二：小王需要的时间是 450÷70= （h），7＞ ，∴ 小王选择方案二能更快到达乙城．
衍生二 变考法———由一元变二元
甲、乙两个学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
经调查：两个乐团共 75 人（甲乐团人数不少于 40 人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费 5 600 元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
第一节 一次方程（组）及其应用
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调 a 人，从乙乐团抽调 b 人（要求从每个乐团抽调的人数不少于 5 人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责 3 位小朋友，乙乐团每位成员负责 5 位小朋友．这样恰好使得福利院 65 位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
第一节 一次方程（组）及其应用
第一节 一次方程（组）及其应用
解：（1）800 元；
（2）设甲乐团有 x 人，乙乐团有 y 人．
根据题意，得
解得 答：甲乐团有 40 人，乙乐团有 35 人；
x+y=75，
70x+80y=5 600，
x=40，
y=35.
第一节 一次方程（组）及其应用
解：（3）由题意，得 3a+5b=65，变形，得 b=13- a，因为每位乐团的人数不少于 5 人且人数为正整数，得 或
所以共有两种方案：从甲乐团抽调 5 人，从乙乐团抽调 10 人；或者从甲乐团抽调 10 人，从乙乐团抽调 7 人．
a=5，
b=10.
a=10，
b=7.(共20张PPT)
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
■考点一 不等式的概念及其性质
1. 不等式：一般地，用“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”等不等号连接起来的式子叫做不等式.
2. 不等式的解集：使不等式成立的未知数的①_________.
取值范围
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
运用不等式的性质 3 时，不等式的符号要变号.
失分警示
3.不等式的基本性质
不变
不变
＞
＞
改变
＜
＜
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
■考点二 一元一次不等式（组）的解法及解集表示（常考）
1. 一元一次不等式的解法及解集表示
x＜a
x≤a
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
2. 一元一次不等式组的解法及解集表示
x＞b
x＜a
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，含有字母时，要注
意对字母的取值进行讨论.
失分警示
续表
a＜x＜b
无解
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
求不等式组的整数解时，可以将不等式组的解集表示在数轴上，结合数轴判断范围内的整数.
①如图 1，解集的两端点都是空心圆圈，则端点值取不到，整数解是-1，0，1；
②如图 2，解集的两端点都是实心圆点，则端点值可以取到，整数解是-2，-1，0，1，2；③如图 3，虽然 是实心圆点，但是 不是整数，整数解是-2，-1，0，1.
满分备考
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
■考点三 一元一次不等式的应用（常考）
1. 用不等式解决实际问题的一般步骤：
隐藏不等关系，如带 1 800 元去购物，隐藏了购物所花
钱数≤1 800 元.
满分备考
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
2. 不等关系的一些常用关键词
＜
≥
≤
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
一题串考点
1. 按步骤解不等式（组）：
（1）解不等式①，得 _________；
（2）解不等式②，得 _________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示：
x＞-3
x≤2
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
（4）不等式组的解集是 ___________；
（5）不等式组的整数解为 _________________；
（6）不等式组的非负整数解为 __________；
2.（1）某品牌电热水壶的进价为每个 200 元，以每个 300 元的标价出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，准备打折销售，但要保证利润率不低于 5%，则最低可按标价的 _______ 折出售；
（2）把 m 个练习本分给 n 个学生，如果每人分 3 本，那么余 80 本；如果每人分 5 本，那么最后一个同学有练习本但不足 5 本，n 的值为 ___________.
-3＜x≤2
-2，-1，0，1，2
0，1，2
七
41 或 42
■题型一 一元一次不等式（组）的解法（常考）
·题型解法·
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
已知不等式的解集求字母取值范围 不等式 ax>a 的解集是 x>1 a>0
不等式 x>a 的解集是 x>2 a=2
不等式 x>a 的解都是 x>2的解 a≥2
不等式组 的解集是x>3 a=3
续表
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
不等式组 的解集是x>2 a≤2
不等式组 无解 a≥2
不等式组 有两个整数解 -1≤a＜0
例 1 ［2024·河北 4 题］下列数中，能使不等式 5x-1＜6 成立的 x 的值为 （ ）
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
A
练习 ［2023·沧州 14 中模拟］已知 是二元一次方程 x+my=9 的一个解．
（1）m 的值为 _______；
（2）若 x 的取值范围如图所示，则 y 的正整数值为 _______．
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
4
x=1，
y=2
1
■题型二 一元一次不等式（组）的应用（常考）
·题型解法·
列不等式解应用题需要以“至少“” 最多“” 不超过”“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
例 2 ［2024·邯郸模拟改编］巴黎奥运会我国取得了好成绩.某校举行了以“奥运知多少”为主题的知识竞赛，一共有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得 4 分，答错扣 1 分，不答得 0 分．
（1）若某参赛同学有 2 道题没有作答，最后他的总得分为 82 分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于 92 分才可以被评为“奥运知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“奥运知识小达人”？
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
解：（1）设该参赛同学一共答对了 x 道题，则答错了（25-2-x）道题，依题意得 4x-（25-2-x）=82，解得 x=21．答：该参赛同学一共答对了 21 道题；
（2）设参赛者需答对 y 道题才能被评为“奥运知识小达人”，则答错了
（25-y）道题，依题意得 4y-（25-y）≥92，解得 y≥ ，又 ∵y 为正整数，∴y 的最小值为 24．
答：参赛者至少需答对 24 道题才能被评为“奥运知识小达人”．
练习 为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某校给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买 3根跳绳和 5 个毽子共需 41 元；购买 6 根跳绳和 4 个毽子共需 58 元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是 54，且购买的总费用不超过 300 元，若要求购买跳绳的数量多于 25 根.
①求共有哪几种购买方案；
②比较哪一种购买方案更省钱．
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
解：（1）设购买一根跳绳需要 x 元，购买一个毽子需要 y 元，
由题意得 解得
答：购买一根跳绳需要 7 元，购买一个毽子需要 4 元；
（2）①设购买跳绳 m 根，则购买毽子（54-m）个，由题意得
解得 25＜m≤28，∵m 为正整数，
∴m 的值为 26 或 27 或 28，∴ 共有三种购买方案：
m＞25，
7m+4（54-m）≤300,
x=7，
y=4.
3x+5y=41，6x+4y=58，
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
方案一：购买跳绳 26 根，毽子 28 个；
方案二：购买跳绳 27 根，毽子 27 个；
方案三：购买跳绳 28 根，毽子 26 个；
②方案一的费用为 7 ×26 +4 ×28 =294（元），
方案二的费用为 7×27+4×27=297（元），
方案三的费用为 7×28+4×26=300（元），
∵294＜297＜300，∴方案一，购买跳绳 26 根，毽子 28 个更省钱．(共22张PPT)
第三节 一元二次方程及其应用
■考点一 一元二次方程（8 年 2 考）
相
关
概
念
1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_______ 的整式方程.
2. 一般形式：
3. 一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边③_________ 的未知数的值.
若 x=m 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，则 am2
+bm+c=0.
2
相等
第三节 一元二次方程及其应用
一元二次方程的判定方法：
（1）是整式方程；（2）二次项系数②_______；（3）未知数的最高次数是 2，且只含有一个未知数.
满分备考
不为 0
第三节 一元二次方程及其应用
■考点二 一元二次方程的解法（常考）
方法 适用类型 注意事项
直接开 平方法 （1）方程缺少一次项时，即方程 ax2+c=0（a≠0，ac＜0）； （2）形如（nx+m）2=p（p≥0）的方程. 开方后取值符号是“±”.
第三节 一元二次方程及其应用
续表
配方法 （1）二次项系数化为 1 后，一次项系数是偶数的一元二次方程，如：3x2+6x-9=0； （2）各项系数比较小且便于配方的方程. （1）在配方过程中，二次项系数化为 1 后，一定要在等号两边同时加上④_____________________；
（2）将方程的二次项系数化为 1 后，一次项的正负决定配方后括号里面是加或减.
一次项系数一半的平方
第三节 一元二次方程及其应用
续表
公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为 x=⑤____________（b2-4ac≥0） （1）使用求根公式时，要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为⑥____；
（2）将 a，b，c 代入求根公式时应注意其符号；
（3）若 b2-4ac＜0，则原方程⑦_______.
0
无实数根
第三节 一元二次方程及其应用
续表
因式分 解法 （1）缺少常数项，即方程 ax2 +bx=0（a≠0）； （2）一元二次方程的一边化为 0 后，另一边易于分解成两个一次因式的乘积，如：（x-1）2 =（2x+1）2. （1）等式右边必须化为 0；
（2）方程两边都有含 x 的相同因式时，不能约去，以免丢根，如对于一元二次方程（x-3）（x+3）=（x-3），不能两边同时约去 x-3，会造成漏解.
第三节 一元二次方程及其应用
续表
换元法 较复杂的一元二次方程，如（2x+3）2+3（2x+3）-4=0，可把 2x+3 设为 y，得到简单方程 y2 +3y-4=0，解得 y1=1，y2=-4，即 2x+3=1 或 2x+3=-4，解得 x1=-1，x2=-3.5. 换元后求得新的方程的解记得还原，即求出原来未知数的值.
解一元二次方程选择方法的一般顺序：直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法. 第三节 一元二次方程及其应用
已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0.
（1）当 c=0 时，ax2+bx+c=0 必有一根为 0；（2）当 a+b+c=0 时，ax2
+bx+c=0 必有一根为 1；（3）当 a-b+c=0 时，ax2+bx+c=0 必有一根为-1.
满分备考
第三节 一元二次方程及其应用
■考点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.根的判别式=b2
-4ac与根的关系
一般地，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
根的判别式.
与根的关系
（1）b2-4ac＞0 方程有⑧___________ 的实数根；
（2）b2-4ac＝0 方程有⑨_________ 的实数根；
（3）b2-4ac<0 方程⑩_________ 实数根.
两个不相等
两个相等
无
第三节 一元二次方程及其应用
应用时若是一元二次方程， 则要考虑一元二次方程二次项系数不为 0 的情况； 若没有说明是一元二次方程，则还有可能是一元一次方程（即二次项系数为 0），需要分类讨论.
失分警示
第三节 一元二次方程及其应用
2.根与系数的关系
若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）
的两实数根分别为 x1，x2，则 x1+x2= _______，
x1·x2= ________.
根与系数关系的常见变形
满分备考
（x1+x2）2-2x1x2
x1x2+（x1+x2）+1
第三节 一元二次方程及其应用
■考点四 一元二次方程的应用（常考）
1. 一般步骤：
第三节 一元二次方程及其应用
2.
常
见
类
型
平均变化率
变化率= ×100%．
若起始量为 a，平均增长率为 x，终止量为 b，增长次数为 2，则有 ________；
若起始量为 a，平均下降率为 x，终止量为 b，下降次数为 2，则有 ________.
利润问题
利润=售价-成本，利润率= ×100%；
“每每问题”：若单价每涨 a 元，少卖 b 件，则涨价 y 元，少卖的数量为 件
a（1+x）2=b
a（1-x）2=b
第三节 一元二次方程及其应用
2.
常
见
类
型
面积
问题
握手、单循环赛
与互送礼物问题
握手、单循环赛总次数为 _____（n 为人数）.
送礼物总份数为 _______（n 为人数）.
n（n-1）
第三节 一元二次方程及其应用
一题串考点
已知关于 x 的方程（m-1）x2-x-2=0．
（1）若方程是一元二次方程，则 m________；
（2）若方程有实数根，则 m_________；
（3）若一元二次方程（m-1）x2-x-2=0 的一个根是-1，则另一个根是 _____，m 的值为 ______；
（4）若 x1，x2 是方程 3x2-x-2=0 的两个根，则代数式 x12x2+x1x22 的值为 _________；
（5）当 m=5 时，方程（m-1）x2-4x-2=0 的根为 ____________________.
≠1
2
2
■题型一 一元二次方程的解法及根的判别式（常考）
·题型解法·
第三节 一元二次方程及其应用
例 1 ［2024·河北 9 题］琪琪在计算正数 a 的平方时，误算成 a 与 2 的积，求得的答案比正确答案小 1，则 a= （ ）
A． 1 B． -1
C． +1 D． 1 或 +1
第三节 一元二次方程及其应用
C
练习一 ［2024·邯郸丛台区模拟］问题：“解方程 x2-3x+3=0.”嘉嘉说：“其中一个解是 x=1.”琪琪说：“方程有两个实数根，这两个实数根的和为 3.”珍珍说：“b2-4ac＜0，此方程无实数根.”说法正确的是 _________.
练习二 已知关于 x 的一元二次方程 kx2+4x+1=0．
（1）若 x=-1 是方程的一个解，则 k 的值为 _________；
（2）若该方程有两个实数根，则 k 的取值范围为 _____________．
第三节 一元二次方程及其应用
珍珍
3
k≤4 且 k≠0
■题型二 一元二次方程的应用（常考）
·题型解法·
在应用一元二次方程解决实际问题中，当求出结果之后，要注意双检验，一是检验结果是否正确，二是检验结果是否符合实际意义或题目要求，一般情况下符合条件的只有一个.
第三节 一元二次方程及其应用
例 2 ［原创］公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔 4 月到 6 月的销量，该品牌头盔 4 月销售 150 个，6 月销售 216 个，且从 4 月到 6 月销售量的月增长率相同．
（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 _________；
（2）若此种头盔的进价为 30 元/个，测算在市场中，当售价为 40 元/个时，月销售量为 600 个，若在此基础上售价每上涨 1 元/个，则月销售量将减少 10 个，为使月销售利润达到 10 000 元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为 _______ 元/个.
第三节 一元二次方程及其应用
20%
50
衍生一 变情境
为了展销头盔，经销商请来工程队搭建展示区.如图，工程队利用一面墙（墙长为 25 m）建展示棚（矩形 ABCD），用 100 m 的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩形展示棚，则展示棚的边长 BC 的长度为 ______ m.
第三节 一元二次方程及其应用
20
衍生二 变图形
工程队搭建第二个展示区时，利用了互相垂直的两面墙 AE，AF，另两边用围栏围成一个矩形展示区 ABCD，中间再用围栏分割成两个矩形，围栏总长 180 m，已知墙 AE 长 90 m，墙 AF 长为 60 m．若矩形 ABCD 的面积为 4 000 m2，则 BC 的长度为 _________ m.
第三节 一元二次方程及其应用
50(共18张PPT)
第二节 分式方程及其应用
■考点一 分式方程及其解法（常考）
1. 定义：分母中含有①_______ 的方程，叫做分式方程.
未知数
第二节 分式方程及其应用
2. 解法：
最简公分母
x-5
最简公分母
无解
第二节 分式方程及其应用
3. 增根
使得原分式方程的分母的值为 0 的根叫做原分式方程的增根.
产生的原因
增根是由于“去分母”造成的.去分母时，方程两边
同乘的最简公分母为 0 时，对于整式方程来说，求
出的根能使整式方程成立，而对于原分式方程来说，
分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
第二节 分式方程及其应用
在举例中的解方程，容易出现以下三种错误：
①去分母时，等式右边常数项 2 漏乘最简公分母；②去分母时，等式右边第一项漏掉负号；③解出整式方程的解后漏掉验根步骤.
失分警示
分式方程的增根与无解并非同一概念.
（1）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程最简公分母为 0 的根.（2）分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；
二是整式方程的解使得最简公分母为 0.
满分备考
第二节 分式方程及其应用
■考点二 分式方程的应用（常考）
1. 一般步骤
第二节 分式方程及其应用
2. 常见关系式
第二节 分式方程及其应用
列分式方程解应用题必须双检验：①检验是不是分式方程的解；
②检验是否符合实际意义.
满分备考
第二节 分式方程及其应用
一题串考点
1. 已知关于 x 的分式方程
（1）若分式方程的根是 x=5，则 a 的值为 ______；
（2）若 a 的值为 1，补全解分式方程 的步骤：方程两边乘 _______________，去分母，得 ___________________________，解得 ____________，经验验，当 x=_____ 时，_______________，所以，原分式方程的解为 ___________；
（3）若分式方程有增根，则 a 的值为 ______；
（4）若分式方程无解，则 a 的值为 ________________.
-1
x（x-2）
x（x-1）-5（x-2）=x（x-2）
x（x-2）≠0
2
-3 或 2
第二节 分式方程及其应用
2.（1）小明打车前往火车站，小明可以选择两条不同路线：路线 A 的全程是 25 km，但交通比较拥堵．路线 B 的全程是 32 km，走路线 B 的平均车速比走路线 A 能提高 60%．已知走路线 B 比走路线 A 全程少用 10 min．若设走路线 A 的平均速度为 x km/h，根据题意，可列方程为 ___________________；
（2）甲、乙两名工人生产同一种零件，甲每天比乙多生产 8 个，甲生产 600 个零件与乙生产 400个零件所用天数相同．设乙每小时生产 x 个零件，可列出方程为 __________；
（3）经核算：用 1 650 元购买甲种纪念品比用 4 400 元购买乙种纪念品多 10 个，且乙种纪念品的单价是甲种纪念品的 4 倍．甲种纪念品的单价为 ________ 元，乙种纪念品的单价为 _______ 元．
55
220
■题型一 分式方程的解法（常考）
·题型解法·
第二节 分式方程及其应用
例 1 ［2024·保定模拟］ 数学课上，李老师和同学们做一个游戏.他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①②③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是 ，翻开纸片③是 ．
（1）求纸片①上的代数式；
（2）李老师说，他心里想着一个数，能使①与 相等，请求出李老师心中的数 x.
第二节 分式方程及其应用
第二节 分式方程及其应用
解：（1）根据题意，得①=②+③= + =- ；
（2）根据题意，得- = ，去分母，得-2x=3x+6，解得 x=- ，检验：
把 x=- 代入得 x（x+2）≠0，
∴ 分式方程的解为 x=- ，则李老师心中的数为 - ．
拓题一 若纸片③×（-1）- =1 有增根，则 a 的值为 _________；
拓题二 李老师又增加两张硬纸片④⑤，纸片④翻过来是 ，纸片⑤翻过来是 -3，④-③=⑤，得到 - = -3.小芳解这个方程的过程如下：
第二节 分式方程及其应用
4
任务一：为了计算简便，第一步方程变形的依据是 _________________；
任务二：上述解题过程中应用到“等式基本性质 2”的步骤有哪两步？
任务三：聪聪这道题没有得满分的原因是什么？请你写出此题的正确答案．
第二节 分式方程及其应用
分式的基本性质
解：任务二：第二步和第六步；
任务三：没有对根进行检验，当 x=2 时，2-x=x-2=0，分式无意义，故方程无解．
■题型二 分式方程的应用（常考）
·题型解法·
第二节 分式方程及其应用
例 2 某地计划修建长 12 km 的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的 1.5 倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前 4 天完成．求甲、 乙两个施工队每天各修建多少千米？
第二节 分式方程及其应用
解：设乙施工队每天修建 x km，则甲施工队每天修建 1.5x km，依题意，得 - =4，解得 x=1，经检验，x=1 是原分式方程的解且符合题意，
∴1.5×1=1.5（km），∴ 甲施工队每天修建 1.5 km，乙施工队每天修建 1 km.
练习一 ［古代问题］《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 800 里远的城市，所需时间比规定时间多 1 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 2 天，已知快马的速度是慢马的 倍，求规定时间．设规定时间为 x 天，则可列出的分式方程为___________.
第二节 分式方程及其应用
= ×
练习二 某班要到距离学校 120 km 的地方进行研学活动，现有 A 型客车、B 型小轿车各一辆，已知在行驶过程中小轿车的速度比客车的速度快 20 km/h，两车同时出发，当小轿车到达目的地后客车距离目的地还有 30 km，问小轿车和客车的速度分别是多少？
第二节 分式方程及其应用
解：设客车的速度是 x km/h，则小轿车的速度是（x+20） km/h，依题意，得 = ，解得 x=60．经检验 x=60 是原方程的解且符合题意，x+20=80 km/h．
答：客车的速度是 60 km/h，则小轿车的速度是 80 km/h．(共8张PPT)
在本章的综合与实践方面，可采取项目学习形式，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式（组）表示数学问题中的数量关系和变化规律，从而使实际问题得到解决.
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
1. 根据以下素材，探索完成任务．
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
如何合理设计生产计划？ 素材 1 某手机制造公司计划生产 A，B 两种型号的手机投放到市场销售.已知
A 型号手机每部成本 3 000 元，售价 3 500 元；B 型号手机每部成本 4 000 元，售价 5 000 元
素材 2 生产成本不超过 1 100 万元
续表
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
如何合理设计生产计划？ 任务一 若生产了 2 000 部 A 型号手机，则最多生产多少部 B 型号手机？
任务二 若一共生产 3 000 部手机，总利润不低于 249.9 万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高多少万元？
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
解：任务一：设生产 x 部 B 型号手机，根据题意，得 0.3×2000+0.4x≤1 100，解得 x≤1250.答：最多生产 1250 部 B 型号手机；
任务二：设生产 y 部 A 型号手机，则生产（3000-y）部 B 型号手机，根据题意得，
解得 1 000≤y≤1002，∵y 为正整数，∴y 的值为 1000 或 1001 或 1002，∴ 有 3 种生产方案：
（0.35-0.3）y+（0.5-0.4）（3000-y）≥249.9，
0.3y+0.4（3000-y）≤1100，
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
①生产 1000 部 A 型号手机，2000 部 B 型号手机，
利润=（0.35-0.3）×1000+（0.5-0.4）×2000=250（万元）；
②生产 1001 部 A 型号手机，1999 部 B 型号手机，
利润=（0.35-0.3）×1001+（0.5-0.4）×1 999=249.95（万元）；
③生产 1002 部 A 型号手机，1998 部 B 型号手机，
利润=（0.35-0.3）×1002+（0.5-0.4）×1998=249.9（万元）；
∵250＞249.95＞249.9，∴ 生产利润最高为 250 万元．
2.根据如下素材，完成表中的两个任务．
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
背景 在中国传统节日“端午节”期间，某企业准备购买粽子慰问敬老院老人
素材 1 经过市场调查，发现某商场恰好开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打九折，乙品牌粽子打八折
素材 2 已知打折前，买 5 盒甲品牌粽子和 5 盒乙品牌粽子共需 900 元 ；买 4 盒甲品牌粽子和 6 盒乙品牌粽子共需 880 元
续表
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
问题解决 任务一 确定单价 打折前，甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
任务二 拟定方案 在商场促销期间，该企业准备为敬老院购买甲、乙两种
品牌粽子共 50 盒，总费用不超过 3 500 元，问最多可购买多少盒甲品牌粽子？
综合与实践 应用方程与不等式解决生活中的问题
解：任务一：设打折前甲品牌粽子的售价为 x 元/盒，乙品牌粽子的售价为y 元/盒，根据题意，得 解得
答：打折前甲品牌粽子的售价为 100 元/盒，乙品牌粽子的售价为 80 元/盒；
任务二：设购买 m 盒甲品牌粽子，则购买（50-m）盒乙品牌粽子，根据题意，得 100×0.9m+80×0.8（50-m）≤3500，解得 m≤ ，又 ∵m 为正整数，∴m 的最大值为 11．答：最多可购买 11 盒甲品牌粽子．
5x+5y=900，
4x+6y=880，
x=100，
y=80．
