2024-2025学年福建省部分优质高中高二上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省部分优质高中高二上学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的一个方向向量，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知点关于轴的对称点为，则等于( )
A. B. C. D.
3.双曲线：的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.设椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D. 向量与的夹角是
8.已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为，过的焦点的直线交于两点．当时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点为上第二象限内一点，则( )
A. 若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为，则的方程为
B. 若，则的最小值是
C. 若内切圆的半径为，则点的坐标为
D. 若线段的中垂线过点，则直线的斜率为
11.已知圆与圆，下列说法正确的是( )
A. 过点作圆的切线有且只有一条
B. 圆和圆共有条公切线
C. 若，分别为两圆上的点，则，两点间的最大距离为
D. 若，为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围 ．
13.已知为抛物线的焦点，为上在第一象限内的两点，且满足，，线段的中点的纵坐标为，则的方程为 ．
14.九章算术中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库入口形状的几何体如图，在羡除中，四边形，均为等腰梯形，，，互相平行，平面平面，梯形，的高分别为，，且，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点．
求椭圆的标准方程；
直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程．
16.本小题分
已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为．
求垂心的坐标；
若关于直线的对称点为，求点到直线的距离．
17.本小题分
已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点．
求证：平面；
若平面与平面的夹角的正弦值为，
求长；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，．
求双曲线的方程；
若直线的斜率为，求；
当时，求的最小值．
参考答案
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15.解：
椭圆经过点，，
椭圆的长轴长是短轴长的倍，，
椭圆的标准方程为；
如图，设，
由消去得：，
由，可得，
则，
线段中点的横坐标为，
，
解得，则，因两个值都满足，
故直线的方程为，即或．

16.解：因为点不在这两条直线上，
如图所示：设的边上的高为，边上的高为，
设 ，
联立得 ，解得
所以垂心 ；
，
由“三条高线交于一点”可得：，
所以，
因为 ，
设所在直线方程为，
代入解得： ，
所以，
联立直线与的方程，可得
解得，所以，
所以整理后可得： ，
设关于直线的对称点，则有，
且的中点在上，
所以
整理得，解得
所以，
所以到直线的距离为 ．
17.解：
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，则由
即，得
解得或，因为，故舍去
所以，．
由得，，所以，
令数列的前项和为，则，
即，
，
两式相减得：
，
所以．
设数列的前项和为
由，，得，
则，即；
故



18.解：
以为原点，所在直线分别为轴轴轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则．
因为，
故，所以．
由已知，且，平面．
所以平面．
设平面的法向量，因为，
所以，所以，令，得；
设平面的法向量，
所以，所以，令，得；
设平面与平面 的 夹角为，则，
因为，所以，所以，
解得取正，所以长为．
由可知，故是直线与平面所成角的一个平面角，
在直角中，，
又，则与互余，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：由圆与双曲线只有两个交点可知：，
又根据题意，双曲线过点，所以，
所以双曲线的标准方程为：．
如图：
因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
设直线的方程为：，即，
由，
不妨令，则直线的方程为：，
代入得：，
整理得：，
设，，则，，
所以，
所以，
若，亦可得，
综上：．
设直线的方程为，由，
不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，，
则，因为，
所以，，
将代入双曲线可得：，
整理得：，
设，，则，，
因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
因为，所以，
即的最小值为．

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