2024-2025学年广东省大湾区高一（上）期末数学模拟试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广东省大湾区高一（上）期末数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在区间上的图象是连续不断地，设：，：在区间中至少存在一个零点，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则下列函数中是奇函数的是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数生物丰富度指数越大，水质越好如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则( )
A. B. C. D.
8.已知，设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式中不一定成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.若正数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.设函数若关于的方程有四个不同的解，，，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图像过原点，则 ______．
13.若，则 ______．
14.命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值：；
已知，求．
16.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求与；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米．
要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围？
当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．
18.本小题分
函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，且当时，．
Ⅰ求并证明函数为奇函数；
Ⅱ证明：函数在上单调递增；
Ⅲ若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
通过对函数奇偶性的学习，我们可分别做两个推广：
由偶函数知“函数的图象关于轴对称”的充要条件是“，”．
推广：“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“，”；
由奇函数知“函数的图象关于原点对称”的充要条件是“，”．
推广：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“，”．
已知函数．
求的定义域及单调区间．
判断的图象是否具有对称性若有，请写出它关于什么对称，并参考上述推广加以证明；若没有，说明理由．
求不等式的解集．
参考答案
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15.解：原式
，
，两边平方有，即，
两边平方有，则．
故．
16.解：全集，集合，．
，代入集合可得，
又因为，
所以，；
因为，
所以，
所以的取值范围是．
17.解：设的长为米，则 米，
因为，所以，
所以矩形的面积为，
由，得，解得或，
所以的长的取值范围是；单位：米．
矩形花坛的面积为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当的长度为米时，矩形花坛的面积最小，最小值为平方米．
18.解：Ⅰ因为，
令，则，
得；
令，
则，
得；
证明：，令，
依题意得，
即，所以是奇函数；
Ⅱ证明：由，
得，
即，
，，，
则，，
可得，
即，
所以函数在上单调递增；
Ⅲ因为，且函数为奇函数，
则，
可知是偶函数，且，
因为，
可得，
因为是偶函数，且，
可得，
又因为函数在上单调递增，
可得，
因为，
则，
可知，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：．
可得，解得，且，
所以的取值范围为．
19.解：，
由，解得，
所以的定义域为．
又，
由于函数的开口向下，对称轴方程为，，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
又函数为增函数，
由复合函数的单调性可得，的单调递增区间为，单调递减区间为；
的图象具有对称性，且的图象关于直线对称．
证明：因为，
根据推广可知的图象关于直线对称；
由和可得，解得，
故不等式的解集为．
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