2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市松雷中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市松雷中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.某校为了解学生的课外锻炼身体的情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外锻炼时间进行了统计，统计数据如表所示，则该校学生一周进行课外锻炼的时间的第百分位数是( )
锻炼时间
人数
A. B. C. D.
3.已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.若直线：与：平行，则，间的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是，的等差中项，直线与圆交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，若成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列判断正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增 D. 当时，
10.下列说法正确的是( )
A. 若等比数列满足：，则
B. 在等差数列中，满足，则数列的前项和为定值
C. 若等差数列的前项和为，，，则的最大值是
D. 若等差数列中，，，则使的最大的为
11.已知椭圆：的右焦点为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 当时，直线的倾斜角为
C. 若，为抛物线上一点，则的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，，则______．
13.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为______．
14.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”已知椭圆，若直线：上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆
若直线过定点，且与圆相切，求的方程；若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．
16.本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，．
求角；
若，为中点，，求的长度．
17.本小题分
设数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有．
求的通项公式．
求数列的前项和设，计算结果用含的式子表示
18.本小题分
如图，四面体中，，，，为的中点．
证明：平面平面；
设，，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为，
求椭圆的标准方程；
设直线：与椭圆交于、两点．
若直线过椭圆右焦点，且的面积为，求实数的值；
若直线过定点，且，在轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．
若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径，
即
解之得．
所求直线方程是，．
依题意设，又已知圆的圆心，，
由两圆外切，可知
可知，
解得，或，
或，
所求圆的方程为或．
16.解：，
，
，
由正弦定理可得：，
，
，，解得．
，，
，
由正弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
解得．
17.解：数列的前项和为，若对于任意的正整数，都有，
当时，，解得，
由，可得，
两式相减，得，整理得，
于是，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
所以的通项公式是．
由知，
设数列的前项和为，
则，
令，
因此，
两式相减得：，
则，于是，
所以．
18.证明：，为的中点．，
又，，，≌，
，又为的中点．，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
解：连接，由知，，
故EF最小时，的面积最小，时，的面积最小，
又平面，平面，，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
过作于点，则平面，
故，即为直线与平面所成的角，
由，，知是为边长的等边三角形，
故AC，由已知可得，，又，，
，所以，
，
在中，由余弦定理得，
．
故CF与平面所成的角的正弦值为．
19.解：双曲线的渐近线方程为，设椭圆的半焦距为，
椭圆的右焦点为，由到渐近线的距离为可得：
，因为，所以解得，
再由椭圆的一个顶点为，可得，
所以由，
即椭圆的标准方程为；
直线：过椭圆右焦点可得：，即，
所以由直线方程为：，
联立，消去得：，
恒成立，
设两交点，，则有，
所以，
又椭圆左焦点到直线：的距离为，
所以，
解得：或舍去，即；
假设存在点使得以，为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点，且，可知直线方程为，
联立，消去得，
由，且，解得，
设两交点，，中点，
则有，
所以，
即，整理得，
又因为，所以，则．
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