2024-2025学年湖北省高二（上）期末联考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖北省高二（上）期末联考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 509.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 其它版本 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-19 19:19:34 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖北省高二（上）期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
3.设数列，都是等比数列，则在个数列，，，中，一定是等比数列的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.直线的一个方向向量的坐标为，直线过点且与垂直，则的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知是等差数列，，，则的前项和为( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱柱的各条棱长均相等，棱的中点为，则直线与直线所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从只鞋子中随机地取出只，则取出的只鞋子颜色均不相同的概率为( )
A. B. C. D.
8.圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于”“点数大于”“点数大于”“点数为奇数”则下列说法正确的有( )
A. B. ，为对立事件
C. 与互斥 D.
10.已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有( )
A. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上
B. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上
C. 当时，曲线是椭圆的一部分
D. 当时，曲线是双曲线的一部分
11.已知正方体的棱长为，点在面包含边界内运动，且点在面包含边界内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等若平面，则下列说法正确的有( )
A. B. 直线不可能与平面垂直
C. 的轨迹为抛物线的一部分 D. 线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则 ．
13.双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则 ．
14.数列中，且满足，，则数列的前项的和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且，设．
求证：数列是等比数列
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点．
若弦被点平分，求直线的方程．
若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，．
求证：平面
求直线与平面所成的角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点为，焦点在轴上且焦距为，过右焦点的直线不与轴重合交椭圆于，两点，当直线与轴垂直时，．
求椭圆的方程
证明：直线，的斜率之积为定值．
19.本小题分
已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入个球或放入个球，从剩下的另一个盒子里取出个球或取出个球每一次操作中某个盒子里“放入个球”“放入个球”及“取出个球”“取出个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立．
若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率
求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率
求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：已知，可得，
即有，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
解：由知，，则，
所以，
所以
．
16.解：已知圆，则圆心，半径，
由圆的性质知，弦被点平分即为，
又，则，故，
所以直线的方程为：，即．
当的斜率不存在时，直线为，此时，符合题意，
当直线的斜率存在时，设，变形为，
圆心到直线的距离，
由勾股定理得，，则，
解得，直线：；
综上，直线的方程为或．
17.解：证明如图，取的中点，连接交于，连接，，
因为，，所以，
又，所以，
由于，，所以，从而有，
又平面，平面，所以平面；
设平行六面体各条棱长为．
因为平面平面，且，所以平面，
由于，所以，，，由余弦定理，，
以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由得，
从而，
设平面的一个法向量为，则，
可取，故，
18.解：设椭圆的标准方程为，
，
由，，解得，．
因此椭圆的方程为；
证明：因为直线不与轴重合，设，
设点，，联立，消元得，
得，且恒成立，
所以，
将代入化简得，
所以直线，的斜率之积为．
19.解：设第次操作后，两个盒子里球的个数分别为，，
列举所有种可能的情形：，，，，，，，，
满足的有种情形，所以；
设，，在第次操作结果有种等可能的情形，
当，或，，或，或，时，，
当，或，时，，
当，或，时，，
仅有中所述种情形是减少的，故一次操作后，两个盒子里球的个数之和减少的概率为；
由的讨论知，每一次操作，，两个盒子里球的个数之和有种可能的变化：增加个、不变、减少个，要满足本次操作后，，两个盒子里球的个数之和为，即比初始值增加个，则只可能是每一次操作均增加个小球．
由知，每次操作小球增加个的概率为，
由于每一次操作结果均独立，本次操作均增加个的概率为个相乘，即为，
故A，两个盒子里球的个数之和为的概率为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
3.设数列，都是等比数列，则在个数列，，，中，一定是等比数列的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.直线的一个方向向量的坐标为，直线过点且与垂直，则的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知是等差数列，，，则的前项和为( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱柱的各条棱长均相等，棱的中点为，则直线与直线所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从只鞋子中随机地取出只，则取出的只鞋子颜色均不相同的概率为( )
A. B. C. D.
8.圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于”“点数大于”“点数大于”“点数为奇数”则下列说法正确的有( )
A. B. ，为对立事件
C. 与互斥 D.
10.已知，设两条直线，交点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有( )
A. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上
B. 当时，曲线是椭圆的一部分，且椭圆焦点在轴上
C. 当时，曲线是椭圆的一部分
D. 当时，曲线是双曲线的一部分
11.已知正方体的棱长为，点在面包含边界内运动，且点在面包含边界内运动，且到直线的距离与其到平面的距离相等若平面，则下列说法正确的有( )
A. B. 直线不可能与平面垂直
C. 的轨迹为抛物线的一部分 D. 线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则 ．
13.双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则 ．
14.数列中，且满足，，则数列的前项的和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且，设．
求证：数列是等比数列
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知圆内有一点，过作直线与圆交于，两点．
若弦被点平分，求直线的方程．
若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，．
求证：平面
求直线与平面所成的角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点为，焦点在轴上且焦距为，过右焦点的直线不与轴重合交椭圆于，两点，当直线与轴垂直时，．
求椭圆的方程
证明：直线，的斜率之积为定值．
19.本小题分
已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入个球或放入个球，从剩下的另一个盒子里取出个球或取出个球每一次操作中某个盒子里“放入个球”“放入个球”及“取出个球”“取出个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立．
若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率
求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率
求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：已知，可得，
即有，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
解：由知，，则，
所以，
所以
．
16.解：已知圆，则圆心，半径，
由圆的性质知，弦被点平分即为，
又，则，故，
所以直线的方程为：，即．
当的斜率不存在时，直线为，此时，符合题意，
当直线的斜率存在时，设，变形为，
圆心到直线的距离，
由勾股定理得，，则，
解得，直线：；
综上，直线的方程为或．
17.解：证明如图，取的中点，连接交于，连接，，
因为，，所以，
又，所以，
由于，，所以，从而有，
又平面，平面，所以平面；
设平行六面体各条棱长为．
因为平面平面，且，所以平面，
由于，所以，，，由余弦定理，，
以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
由得，
从而，
设平面的一个法向量为，则，
可取，故，
18.解：设椭圆的标准方程为，
，
由，，解得，．
因此椭圆的方程为；
证明：因为直线不与轴重合，设，
设点，，联立，消元得，
得，且恒成立，
所以，
将代入化简得，
所以直线，的斜率之积为．
19.解：设第次操作后，两个盒子里球的个数分别为，，
列举所有种可能的情形：，，，，，，，，
满足的有种情形，所以；
设，，在第次操作结果有种等可能的情形，
当，或，，或，或，时，，
当，或，时，，
当，或，时，，
仅有中所述种情形是减少的，故一次操作后，两个盒子里球的个数之和减少的概率为；
由的讨论知，每一次操作，，两个盒子里球的个数之和有种可能的变化：增加个、不变、减少个，要满足本次操作后，，两个盒子里球的个数之和为，即比初始值增加个，则只可能是每一次操作均增加个小球．
由知，每次操作小球增加个的概率为，
由于每一次操作结果均独立，本次操作均增加个的概率为个相乘，即为，
故A，两个盒子里球的个数之和为的概率为．
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