2024-2025学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，是双曲线的左，右焦点，是双曲线右支上一点，且是和的等差中项，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前项积，则取最小值时为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点的轨迹为椭圆
B. 若，则点的轨迹为椭圆
C. 若，则点的轨迹为直线
D. 若，则点的轨迹为双曲线的一支
6.设等差数列，的前项和分别为，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，且点在轴上方，的内切圆圆心为，若则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于，两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛物线的焦点为，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于，两点，设，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则下列结论正确的是( )
A. 当最大时，
B. 使的最大值为
C.
D. 在数列中，当时，取最大值
11.已知双曲线的右顶点为，过点作的一条切线与双曲线交于点，若中点为，且，过点作的另一条切线与双曲线交于点，设直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线方程为 B. 双曲线的离心率
C. D. 过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等比数列的各项均为正数，且，则 ．
13.已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
14.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点是椭圆上在第二象限的点，且的纵坐标为，若椭圆的离心率的范围是，则的范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列各项均为正数，设数列的前项和为，其中．
求数列的通项公式
令，求数列的前项和．
16.本小题分
已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点的直线交双曲线左支于，两点．
求双曲线的标准方程
若是坐标原点，且，求直线的斜率．
17.本小题分
设数列的前项和为，且．
求数列的通项公式
令，设为数列的前项和，是否存在常数，使对恒成立若存在，求出的最小值若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离少．
求点的轨迹方程
已知，，，是点的轨迹上不同的四点，点在轴下方，直线，交于点，且，设，的中点分别为点，．
证明：，，三点共线
若点为半椭圆上的动点，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
已知，，定义：数列共有项，对任意，，或中至少有一个仍是中的项，则称数列为“乘或除封闭数列”．
若且，判断数列是否为“乘或除封闭数列”
已知递增数列，，，，为“乘或除封闭数列”，求，，
已知各项均为正且单调递增数列为“乘或除封闭数列”，若，证明：数列是等比数列．
参考答案
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15.解：，当时，，得或舍，
当时，，，
即，
数列的各项均为正数，即，
，即数列是首项为，公差为的等差数列，
．
，，
，
得：
，

16.解：由题得，解得，
双曲线的标准方程为．
由题可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立双曲线的方程，
得，
设，，
则，，
直线交双曲线左支于，两点，
解得，
，
即，
解得或，
，时，．
17.解：，
当时，，即，
当时，，
得：，即，所以，
数列是首项为，公比为的等比数列，故，
由，可得，，
，
故
由于单调递增，可得，即，
则存在常数，使对恒成立，所以，即的最小值为．
18.解：设点，由题得，
将上式两边同时平方，得，
化简得：，
当时，，
当时，，此时轨迹不存在，
综上：点的轨迹方程为．
由，，
可知，分别为，的中点，且，
所以直线和直线的斜率相等，即，
设，，，，
则点的横坐标，
点的横坐标，
由，得，
因式分解得，
约分得，所以，即，
所以轴．
设，因为，分别为，的中点，
由，，
所以，
整理得，
同理得，
所以，是方程的两个根，
，
得，，
有，得轴，所以，，三点共线．
因为点为半椭圆上的动点，
则，且，
又，
所以
，
因为，
所以
，其中，
当时，取得最大值，
所以四边形面积的最大值为．
19.解：由题意知，数列为，，，，，因为和均不是中的项，
所以数列不是“乘或除封闭数列”；
由数列递增可知，则不是中的项，所以是中的项，所以，
因为，所以，，都是中的项，所以，得，
由，得，所以，，；
因为数列单调递增，且，则不是中的项，所以是中的项，所以，
因为不是中的项，所以是中的项，
所以，因为，，，，，共有项，
所以，类似地，，，，
则不是中的项，所以是中的项，，
所以，
由和得，所以是首项为的等比数列．
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