2024-2025学年湖北省云学名校联盟高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省云学名校联盟高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：与直线：相互垂直，则实数的值是
A. B. C. D.
2.圆：与圆：的位置关系是( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含
3.为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植棵恰好棵都成活的概率．先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定至的数字代表成活，代表不成活，再以每个随机数为一组代表次种植的结果．经计算机随机模拟产生如下组随机数：
据此估计，该树苗种植棵恰好棵都成活的概率为
A. B. C. D.
4.已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为
A. B. C. D.
5.已知数列的首项，且满足，则
A. B. C. D.
6.在空间直角坐标系中，有，，三点，则点到直线的距离为
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线：，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则
A. B. C. D.
8.如图，椭圆：，双曲线：，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为，且，若的离心率，则的离心率
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.柜子里有双不同的鞋，从中随机地一次性取出只，记事件“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是
A. 该试验的样本空间共有个样本点 B. 事件与事件互为对立事件
C. D. 事件与事件相互独立
10.如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是
A.
B. ，，
C. ，
D. ，
11.若等差数列的前项和为，首项为，公差为，设，，且，则下列说法正确的是
A. 若，则当且仅当时，有最大值
B. 若，则当且仅当时，数列的前项和有最大值
C. 若，则的取值范围为
D. 若函数的对称轴方程为，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，满足，，则________．
13.如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使且已知，，，则线段的长为________．
14.已知双曲线：的两个焦点分别为，在上方，，都在双曲线的下支上，是正三角形，点到直线的距离为，则双曲线的实轴长的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，且过点．
求椭圆的标准方程；
若经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的面积．
16.本小题分
甲、乙两名同学组成“梦队”与人工智能进行比赛．每轮比赛均由甲、乙分别与挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响．“梦队”在两轮比赛中挑战成功次的概率为．
求的值；
求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少次的概率．
17.本小题分
在四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且，，．
求和的值，再猜想数列的通项公式，并证明；
求数列的前项和；
若数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．
若圆：是直线族的包络曲线，求的取值范围；
对于给定的实数，若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围用表示和直线族的包络曲线；
在的条件下，过曲线上任意两点，分别作曲线的切线，，其交点为已知点，探究是否总成立？请说明理由．
参考答案
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15.解：由椭圆的定义，可知得，
将点带入得，
所以椭圆的标准方程为．
由已知可得椭圆的右焦点为，直线的方程为，
联立椭圆方程，得，，
设，，
所以，，
则，
点到直线的距离，
故．
16.解：设，，分别表示甲两轮挑战成功的次数分别为，，的事件，
，，分别表示乙两轮挑战成功的次数分别为，，的事件，
则，
，
，
，
，
，
设“梦队”在两轮比赛中挑战成功次为事件，
则，解得：负舍．
由知，，，
设“梦队”在两轮比赛中挑战成功至少次为事件，
则
．
17.解：底面为矩形，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又侧面为正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，
所以平面
取中点，连接，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，以为原点，过平行于的直线为轴，，为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，平面的一个法向量是，
因为与平面所成角的正切值为，
所以其正弦值为，所以，，
解得，，，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为．

18.解：由，
令得，令得，
猜想数列的通项公式为，
证明如下：由，
移项得，即，
故数列为等差数列，
又，，故公差，
因此，数列的通项公式为
由得，
当时，，故
当时，，
故，
综上所述，．
，
故，
两边乘以得：
，
得
，
．
19.解：由已知得圆心到直线的距离，
所以，
设，，其中为参数，
则；
点不在直线族的任意一条直线上，
所以无论取何值时，无解，
即，
若该方程无解，则，即，
所以对于给定的实数，的取值范围为，
直线族的包络曲线为，
证明如下：在上任取一点，
设在点处的切线方程为，
设在点处的切线方程为，
与联立得，
由相切得，即，则，
故在处的切线方程为，即，
在直线族：中，令，则，
即与完全等价，
所以直线族中的每一条直线都是抛物线的切线，抛物线的每一条切线都是该直线族中的某条直线，
所以该曲线上的每一点处的切线都是直线族中的直线直线族的包络曲线为；
已知，设，，
则，，，，
由知在点处的切线方程为，
同理在点处的切线方程为，
联立，可得，
所以．
因此，
同理．
所以，，
即，可得，
所以成立．

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