2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足：，则( )
A. B. C. D.
2.函数的导函数在区间上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
4.椭圆的焦距为，则的值等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知向量，均为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
6.“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列，满足，，且数列的前项和有最大值，那么取最小正值时，等于( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数的导函数为，则( )
A. B. 是函数的极值点
C. 存在两个零点 D. 在上单调递增
10.如图，正方体的棱长为，动点，分别在线段，上，则下列命题正确的是( )
A. 直线与平面所成的角等于
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线和所成的角为
D. 线段长度的最小值为
11.已知是抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则( )
A. 点到直线的距离为定值 B. 以为直径的圆与相切
C. 的最小值为 D. 当最小时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中抽出道题，抽出的题不再放回，则在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为______．
13.在展开式中，的系数为______．
14.已知函数是定义在上的偶函数，记为函数的导函数，且满足，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为内角，，的对边，且．
求角；
若，的面积为，求的值．
16.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的重心．
求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为．
求椭圆的方程；
设点为椭圆上位于第一象限内一动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．
18.本小题分
已知函数，，．
当时，讨论函数的零点个数；
记函数的最小值为，求的最小值．
19.本小题分
设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上．
计算，，，并归纳出数列的通项公式；
将数列依次按项、项、项、项循环地分为，，，；，，，；，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：，
由正弦定理得，
所以，
由于，所以，则，
又，所以；
由得，
由余弦定理得，
，
．
16.解：证明：设的中点为，连接，，，
，，，
，
为的重心，，，
平面，平面，平面．
设为的中点，为正三角形，则，
平面平面，平面平面，
平面，
过分别作，的平行线，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则平面与平面所成锐二面角的余弦值为：
．
17.解：因为离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
因为椭圆的方程为，
所以，，
设，
则，即，
则直线的方程为，
令，得，
同理，直线的方程为，
令，得，
所以
，
所以四边形的面积为定值．
18.解：的定义域为，，
当时，，单调递增，又，，
所以函数有唯一零点，
当时，恒成立，所以函数无零点，
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
故当时，，所以函数无零点，
综上所述，当时，函数无零点，当时，有一个零点．
由题意得，，
则，令，则，
所以在上为增函数，即在上为增函数，
又，，所以在上存在唯一零点，且，
，即，
当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，的最小值，
因为，所以，所以，
由，得，在上为增函数，
因为，所以，，
所以在上存在唯一零点，且，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
又，
所以，
又函数在上为增函数，所以，
，
因为，所以，即在上的最小值为．
19.解：因为点在函数的图象上，
故，所以．
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以．
由此猜想：．
因为，所以数列依次按项、项、项、项循环地分为，，，；，，，；，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有个括号，故 是第组中第个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第个括号中所有第个数组成的数列是等差数列，且公差为同理，由各组第个括号中所有第个数、所有第个数、所有第个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为故各组第个括号中各数之和构成等差数列，且公差为注意到第一组中第个括号内各数之和是，
所以 又，所以
因为，故，
所以．
又，
故对一切都成立，就是对一切都成立．
设，则只需即可．
由于，
所以，故是单调递减，于是．
令，即 ，解得，或．
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是．
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