2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中最小正周期为且是奇函数的为( )
A. B.
C. D.
4.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，设，，，则( )
A. B.
C. D.
5.基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数模型
描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的倍需要的时间约为参考数据：
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
6.若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
8.若集合，时，，均有恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若实数，满足，，则下列说法正确的为( )
A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为
C. 当时，的最小值为 D. 当时，的最小值为
11.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 函数有个零点
B. 关于的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 在区间内，函数的图象与轴围成的图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是______．
13.已知函数，且在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
14.函数的图象和函数的图象的连续两个交点为，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，为锐角，，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知函数，，．
当，且时，解关于的不等式；
若，，若，求的最小值．
17.本小题分
设函数．
当时，求方程的实数解；
当时，
(ⅰ)存在，使不等式成立，求的范围；
(ⅱ)设函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知．
求的单调递增区间；
若对任意的恒成立，求的取值范围；
已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，，，求的值．
19.本小题分
函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；
已知为二次函数，且具有性质，判断的奇偶性；
已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．
参考答案
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14.．
15.解：因为，为锐角，，
所以；
由题意得，
因为，
所以，，
所以．
16.解：当时，，
即，，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
，，若，
则，当且仅当时取等号，
因为，，
所以，
解得，即的最小值为．
17.解：，
当时，，
由题意得，
所以或，解得或；
当时，在上单调递增，
(ⅰ)存在，使不等式成立，
即成立，即成立，从而，
又时，
根据二次函数的性质可知，当时，，所以，
所以的范围为；
(ⅱ)当时，的值域为，
当时，的值域为，
根据题意，得，从而，解得．
故实数的取值范围为．
18.解：
，
令，，则，
故的单调递增区间为．
，
即对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
令，
因为，则，易知在单调递减，
又，所以，
则的最大值为，故；
因为函数，
所以，
因为，所以，
令，
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有个交点，即，
因为，
所以．
19.解：具有性质，不具有性质，理由如下：
对任意，得，
所以具有性质；
对任意，得，
易得只需取，则，
所以不具有性质；
为偶函数，理由如下：
设二次函数满足性质，
则对任意，满足，
若，取，矛盾；
所以，
此时，
即为偶函数；
由于，函数的定义域为，
易得，
若函数具有性质，
则对于任意实数，有，
所以，即，
由于函数在上单调递增，得，
即，
当时，易得，由，得，
得，得，
由题意得对任意实数恒成立，
所以，即，
故的取值范围为
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