2024-2025学年吉林省四平市四平第三高级中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省四平第三高级中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.一条光线从点射出，经轴反射后与圆：相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为( )
A. B. C. D.
7.已知，，若不等式恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的上、下焦点分别为，，是上支上的一点不在轴上，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数为偶函数
B.
C.
D. 函数的图象的对称轴方程为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象经过坐标原点
B. 当时，函数有且仅有一个极小值点
C. 若关于的不等式恒成立，则
D. “”是“函数为增函数”的必要不充分条件
11.如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则下列说法正确的是( )
A. 直线与为异面直线
B.
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的值为______．
13.已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点点在轴的上方，则______．
14.已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在前项和为的等比数列中，，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，且的面积为．
求；
求的周长．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，底面，，，，为的中点．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
18.本小题分
设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为．
求椭圆的标准方程；
若线段平行于轴，满足，动点在直线上，满足证明：过点且垂直于的直线过椭圆的右焦点．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调区间；
证明：．
参考答案
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15.解：设等比数列的公比为，
由，得，即，解得或，
当时，由，得，解得，此时，故舍去，
当时，由，解得，
所以；
由可知，
所以，
则，
两式相减得，
所以．
16.解：，
由正弦定理可得，，化简可得，，
由余弦定理可得，，
，
，
，，的面积为．
解得：，
由余弦定理，可得：，
解得：，解得：，
的周长．
17.解：证明：取中点，则，，且，即，
所以，且，
因为，所以∽，所以，
因为，所以，即，
因为，，，、平面，
所以平面，所以，
又，、平面，
所以平面C.
以为坐标原点，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
由知，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，所以，
所以，，
所以，，
故平面与平面的夹角大小为．

18.解：左顶点的坐标为，
，
，
解得或舍去，
椭圆的标准方程为，
证明：由题意，，，则依题意可知，
由可得，整理可得，
由，可得，
整理可得，
由可得，
，
，
，
故过点且垂直于的直线过椭圆的右焦点．
19.解：的定义域是，
，
故时，，在递增，
当时，令，解得：，
故在递增，在递减；
证明：要证，
即证，也即证，
令，
则，
故在递减，在递增，
故，
令，则，
故在递增，在递减，
故，
，
故，
即，
故．
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